Промежуток области определения: (x²−a(a−1)x−a³)/√(квадратный) = 0 — задание 19 ЕГЭ по профильной математике
Дробь = 0, «ровно два различных решения». 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
x2 − a(a − 1)x − a3 = 0
имеет ровно два различных корня.
x2 − a(a − 1)x − a3 = 0
имеет ровно два различных корня.
Показать ответ
(−4; −1) ∪ (−1; 0) ∪ (0; 2)
Решение
ОДЗ: 32 + 14x − x2 > 0 ⟺ x ∈ (−2; 16).
Числитель раскладывается: x2 − a(a − 1)x − a3 = (x − a2)(x + a), корни x = a2 и x = −a.
Нужны два различных корня, оба в ОДЗ: a2 ∈ (−2; 16) ⟺ |a| < 4; −a ∈ (−2; 16) ⟺ −16 < a < 2. Вместе −4 < a < 2.
Совпадают корни при a2 = −a, то есть при a = 0 и a = −1 — эти значения выкалываем.
Ответ: (−4; −1) ∪ (−1; 0) ∪ (0; 2).
Числитель раскладывается: x2 − a(a − 1)x − a3 = (x − a2)(x + a), корни x = a2 и x = −a.
Нужны два различных корня, оба в ОДЗ: a2 ∈ (−2; 16) ⟺ |a| < 4; −a ∈ (−2; 16) ⟺ −16 < a < 2. Вместе −4 < a < 2.
Совпадают корни при a2 = −a, то есть при a = 0 и a = −1 — эти значения выкалываем.
Ответ: (−4; −1) ∪ (−1; 0) ∪ (0; 2).
Пример 2
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
x2 − a(a − 1)x − a3 = 0
имеет ровно два различных корня.
x2 − a(a − 1)x − a3 = 0
имеет ровно два различных корня.
Показать ответ
(−4; −1) ∪ (−1; 0) ∪ (0; 3)
Решение
ОДЗ: 48 + 13x − x2 > 0 ⟺ x ∈ (−3; 16).
Числитель раскладывается: x2 − a(a − 1)x − a3 = (x − a2)(x + a), корни x = a2 и x = −a.
Нужны два различных корня, оба в ОДЗ: a2 ∈ (−3; 16) ⟺ |a| < 4; −a ∈ (−3; 16) ⟺ −16 < a < 3. Вместе −4 < a < 3.
Совпадают корни при a2 = −a, то есть при a = 0 и a = −1 — эти значения выкалываем.
Ответ: (−4; −1) ∪ (−1; 0) ∪ (0; 3).
Числитель раскладывается: x2 − a(a − 1)x − a3 = (x − a2)(x + a), корни x = a2 и x = −a.
Нужны два различных корня, оба в ОДЗ: a2 ∈ (−3; 16) ⟺ |a| < 4; −a ∈ (−3; 16) ⟺ −16 < a < 3. Вместе −4 < a < 3.
Совпадают корни при a2 = −a, то есть при a = 0 и a = −1 — эти значения выкалываем.
Ответ: (−4; −1) ∪ (−1; 0) ∪ (0; 3).
Пример 3
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
x2 − a(a − 1)x − a3 = 0
имеет ровно два различных корня.
x2 − a(a − 1)x − a3 = 0
имеет ровно два различных корня.
Показать ответ
(−4; −1) ∪ (−1; 0) ∪ (0; 4)
Решение
ОДЗ: 80 + 11x − x2 > 0 ⟺ x ∈ (−5; 16).
Числитель раскладывается: x2 − a(a − 1)x − a3 = (x − a2)(x + a), корни x = a2 и x = −a.
Нужны два различных корня, оба в ОДЗ: a2 ∈ (−5; 16) ⟺ |a| < 4; −a ∈ (−5; 16) ⟺ −16 < a < 5. Вместе −4 < a < 4.
Совпадают корни при a2 = −a, то есть при a = 0 и a = −1 — эти значения выкалываем.
Ответ: (−4; −1) ∪ (−1; 0) ∪ (0; 4).
Числитель раскладывается: x2 − a(a − 1)x − a3 = (x − a2)(x + a), корни x = a2 и x = −a.
Нужны два различных корня, оба в ОДЗ: a2 ∈ (−5; 16) ⟺ |a| < 4; −a ∈ (−5; 16) ⟺ −16 < a < 5. Вместе −4 < a < 4.
Совпадают корни при a2 = −a, то есть при a = 0 и a = −1 — эти значения выкалываем.
Ответ: (−4; −1) ∪ (−1; 0) ∪ (0; 4).
Пример 4
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
x2 − a(a − 1)x − a3 = 0
имеет ровно два различных корня.
x2 − a(a − 1)x − a3 = 0
имеет ровно два различных корня.
Показать ответ
(−4; −1) ∪ (−1; 0) ∪ (0; 1)
Решение
ОДЗ: 16 + 15x − x2 > 0 ⟺ x ∈ (−1; 16).
Числитель раскладывается: x2 − a(a − 1)x − a3 = (x − a2)(x + a), корни x = a2 и x = −a.
Нужны два различных корня, оба в ОДЗ: a2 ∈ (−1; 16) ⟺ |a| < 4; −a ∈ (−1; 16) ⟺ −16 < a < 1. Вместе −4 < a < 1.
Совпадают корни при a2 = −a, то есть при a = 0 и a = −1 — эти значения выкалываем.
Ответ: (−4; −1) ∪ (−1; 0) ∪ (0; 1).
Числитель раскладывается: x2 − a(a − 1)x − a3 = (x − a2)(x + a), корни x = a2 и x = −a.
Нужны два различных корня, оба в ОДЗ: a2 ∈ (−1; 16) ⟺ |a| < 4; −a ∈ (−1; 16) ⟺ −16 < a < 1. Вместе −4 < a < 1.
Совпадают корни при a2 = −a, то есть при a = 0 и a = −1 — эти значения выкалываем.
Ответ: (−4; −1) ∪ (−1; 0) ∪ (0; 1).
Пример 5
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
x2 − a(a − 1)x − a3 = 0
имеет ровно два различных корня.
x2 − a(a − 1)x − a3 = 0
имеет ровно два различных корня.
Показать ответ
(−2; −1) ∪ (−1; 0) ∪ (0; 1)
Решение
ОДЗ: 4 + 3x − x2 > 0 ⟺ x ∈ (−1; 4).
Числитель раскладывается: x2 − a(a − 1)x − a3 = (x − a2)(x + a), корни x = a2 и x = −a.
Нужны два различных корня, оба в ОДЗ: a2 ∈ (−1; 4) ⟺ |a| < 2; −a ∈ (−1; 4) ⟺ −4 < a < 1. Вместе −2 < a < 1.
Совпадают корни при a2 = −a, то есть при a = 0 и a = −1 — эти значения выкалываем.
Ответ: (−2; −1) ∪ (−1; 0) ∪ (0; 1).
Числитель раскладывается: x2 − a(a − 1)x − a3 = (x − a2)(x + a), корни x = a2 и x = −a.
Нужны два различных корня, оба в ОДЗ: a2 ∈ (−1; 4) ⟺ |a| < 2; −a ∈ (−1; 4) ⟺ −4 < a < 1. Вместе −2 < a < 1.
Совпадают корни при a2 = −a, то есть при a = 0 и a = −1 — эти значения выкалываем.
Ответ: (−2; −1) ∪ (−1; 0) ∪ (0; 1).
Другие темы задания №19
1Линейный знаменатель: (k²x²−a²)/(px−q−ra) = 02Разность квадратов внизу: (k²x²−a²)/((x+m)²−a²) = 03Параметр в свободном члене: (x²−2mx+a)/((kx−a)(x−a)) = 04(ca−x²+bx)/(x−a²) = 0 — полюс x = a², кубическое уравнение выкалываний5Полюсы ±√a: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²−a) = 06Раскладывающийся знаменатель: (x²−2mx+a²+2ta)/((kx+a)(x−a)) = 07Выкалывания через резольвенту: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²+px−qa) = 08Параметр в обеих частях: (x²+2ux−ca)/(x²−2vx+a²−2wa) = 09Модуль в числителе: (|kx|−x−c−a)/(x²−px−qa) = 010Модуль и a² внизу: (|kx−b|+ra−b)/(x²−2mx+a²) = 011(x²−2mx+a²)/√((a+b−x)(a−c+x)) = 0 на отрезке12((x−a−p)(x+a−q))/√(2mx−x²−a²) = 0 на отрезке
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.