Полюсы ±√a: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²−a) = 0 — задание 19 ЕГЭ по профильной математике
Дробь = 0, «ровно два различных решения». 3 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
При каких значениях параметра a уравнение
3x2 − 30x + a2 − 22ax2 − a = 0
имеет ровно 2 различных решения?
3x2 − 30x + a2 − 22ax2 − a = 0
имеет ровно 2 различных решения?
Показать ответ
(−3; 0) ∪ (0; 4) ∪ (4; 9) ∪ (9; 25)
Решение
Два различных корня у числителя ⟺ D/4 = 225 − 3·(a2 − 22a) > 0 ⟺ a2 − 22a − 75 < 0 ⟺ −3 < a < 25.
Знаменатель обнуляется при x2 = a: при a > 0 это полюсы x = ±√a, при a ≤ 0 полюсов нет.
Подстановка x = ±√a (обозначим s = √a) даёт s(s3 − 19s ∓ 30) = 0, откуда выкалываются a = 4, a = 9. Кроме того a = 0: там числитель равен x(3x − 30), а x = 0 — полюс, остаётся один корень.
Ответ: (−3; 0) ∪ (0; 4) ∪ (4; 9) ∪ (9; 25).
Знаменатель обнуляется при x2 = a: при a > 0 это полюсы x = ±√a, при a ≤ 0 полюсов нет.
Подстановка x = ±√a (обозначим s = √a) даёт s(s3 − 19s ∓ 30) = 0, откуда выкалываются a = 4, a = 9. Кроме того a = 0: там числитель равен x(3x − 30), а x = 0 — полюс, остаётся один корень.
Ответ: (−3; 0) ∪ (0; 4) ∪ (4; 9) ∪ (9; 25).
Пример 2
При каких значениях параметра a уравнение
2x2 − 16x + a2 − 14ax2 − a = 0
имеет ровно 2 различных решения?
2x2 − 16x + a2 − 14ax2 − a = 0
имеет ровно 2 различных решения?
Показать ответ
(−2; 0) ∪ (0; 4) ∪ (4; 16)
Решение
Два различных корня у числителя ⟺ D/4 = 64 − 2·(a2 − 14a) > 0 ⟺ a2 − 14a − 32 < 0 ⟺ −2 < a < 16.
Знаменатель обнуляется при x2 = a: при a > 0 это полюсы x = ±√a, при a ≤ 0 полюсов нет.
Подстановка x = ±√a (обозначим s = √a) даёт s(s3 − 12s ∓ 16) = 0, откуда выкалываются a = 4. Кроме того a = 0: там числитель равен x(2x − 16), а x = 0 — полюс, остаётся один корень.
Ответ: (−2; 0) ∪ (0; 4) ∪ (4; 16).
Знаменатель обнуляется при x2 = a: при a > 0 это полюсы x = ±√a, при a ≤ 0 полюсов нет.
Подстановка x = ±√a (обозначим s = √a) даёт s(s3 − 12s ∓ 16) = 0, откуда выкалываются a = 4. Кроме того a = 0: там числитель равен x(2x − 16), а x = 0 — полюс, остаётся один корень.
Ответ: (−2; 0) ∪ (0; 4) ∪ (4; 16).
Пример 3
При каких значениях параметра a уравнение
4x2 − 48x + a2 − 32ax2 − a = 0
имеет ровно 2 различных решения?
4x2 − 48x + a2 − 32ax2 − a = 0
имеет ровно 2 различных решения?
Показать ответ
(−4; 0) ∪ (0; 4) ∪ (4; 16) ∪ (16; 36)
Решение
Два различных корня у числителя ⟺ D/4 = 576 − 4·(a2 − 32a) > 0 ⟺ a2 − 32a − 144 < 0 ⟺ −4 < a < 36.
Знаменатель обнуляется при x2 = a: при a > 0 это полюсы x = ±√a, при a ≤ 0 полюсов нет.
Подстановка x = ±√a (обозначим s = √a) даёт s(s3 − 28s ∓ 48) = 0, откуда выкалываются a = 4, a = 16. Кроме того a = 0: там числитель равен x(4x − 48), а x = 0 — полюс, остаётся один корень.
Ответ: (−4; 0) ∪ (0; 4) ∪ (4; 16) ∪ (16; 36).
Знаменатель обнуляется при x2 = a: при a > 0 это полюсы x = ±√a, при a ≤ 0 полюсов нет.
Подстановка x = ±√a (обозначим s = √a) даёт s(s3 − 28s ∓ 48) = 0, откуда выкалываются a = 4, a = 16. Кроме того a = 0: там числитель равен x(4x − 48), а x = 0 — полюс, остаётся один корень.
Ответ: (−4; 0) ∪ (0; 4) ∪ (4; 16) ∪ (16; 36).
Другие темы задания №19
1Линейный знаменатель: (k²x²−a²)/(px−q−ra) = 02Разность квадратов внизу: (k²x²−a²)/((x+m)²−a²) = 03Параметр в свободном члене: (x²−2mx+a)/((kx−a)(x−a)) = 04(ca−x²+bx)/(x−a²) = 0 — полюс x = a², кубическое уравнение выкалываний5Раскладывающийся знаменатель: (x²−2mx+a²+2ta)/((kx+a)(x−a)) = 06Выкалывания через резольвенту: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²+px−qa) = 07Параметр в обеих частях: (x²+2ux−ca)/(x²−2vx+a²−2wa) = 08Модуль в числителе: (|kx|−x−c−a)/(x²−px−qa) = 09Модуль и a² внизу: (|kx−b|+ra−b)/(x²−2mx+a²) = 010Промежуток области определения: (x²−a(a−1)x−a³)/√(квадратный) = 011(x²−2mx+a²)/√((a+b−x)(a−c+x)) = 0 на отрезке12((x−a−p)(x+a−q))/√(2mx−x²−a²) = 0 на отрезке
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.