(x²−2mx+a²)/√((a+b−x)(a−c+x)) = 0 на отрезке — задание 19 ЕГЭ по профильной математике
«Ровно один корень на отрезке». 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
x2 − 6x + a2 = 0
имеет ровно один корень на отрезке [0; 6].
x2 − 6x + a2 = 0
имеет ровно один корень на отрезке [0; 6].
Показать ответ
(−3; 0) ∪ (0; 3)
Решение
ОДЗ: (a − x + 6)(a + x − 6) > 0. Это парабола по x ветвями вниз с корнями x = a + 6 и x = 6 − a, поэтому ОДЗ — интервал между ними.
Числитель: x2 − 6x + a2 = 0, корни x = 3 ± √(9 − a2) — существуют при |a| ≤ 3.
Нужно, чтобы РОВНО ОДИН из корней попал в пересечение ОДЗ с отрезком [0; 6]. Конфигурация меняется только когда корень совпадает с концом отрезка, с границей ОДЗ, когда корни сливаются (a = ±3) или когда ОДЗ вырождается.
Ответ: (−3; 0) ∪ (0; 3).
Числитель: x2 − 6x + a2 = 0, корни x = 3 ± √(9 − a2) — существуют при |a| ≤ 3.
Нужно, чтобы РОВНО ОДИН из корней попал в пересечение ОДЗ с отрезком [0; 6]. Конфигурация меняется только когда корень совпадает с концом отрезка, с границей ОДЗ, когда корни сливаются (a = ±3) или когда ОДЗ вырождается.
Ответ: (−3; 0) ∪ (0; 3).
Пример 2
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
x2 − 10x + a2 = 0
имеет ровно один корень на отрезке [2; 5].
x2 − 10x + a2 = 0
имеет ровно один корень на отрезке [2; 5].
Показать ответ
[−5; −4] ∪ (4; 5]
Решение
ОДЗ: (a − x + 4)(a + x − 6) > 0. Это парабола по x ветвями вниз с корнями x = a + 4 и x = 6 − a, поэтому ОДЗ — интервал между ними.
Числитель: x2 − 10x + a2 = 0, корни x = 5 ± √(25 − a2) — существуют при |a| ≤ 5.
Нужно, чтобы РОВНО ОДИН из корней попал в пересечение ОДЗ с отрезком [2; 5]. Конфигурация меняется только когда корень совпадает с концом отрезка, с границей ОДЗ, когда корни сливаются (a = ±5) или когда ОДЗ вырождается.
Ответ: [−5; −4] ∪ (4; 5].
Числитель: x2 − 10x + a2 = 0, корни x = 5 ± √(25 − a2) — существуют при |a| ≤ 5.
Нужно, чтобы РОВНО ОДИН из корней попал в пересечение ОДЗ с отрезком [2; 5]. Конфигурация меняется только когда корень совпадает с концом отрезка, с границей ОДЗ, когда корни сливаются (a = ±5) или когда ОДЗ вырождается.
Ответ: [−5; −4] ∪ (4; 5].
Пример 3
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
x2 − 10x + a2 = 0
имеет ровно один корень на отрезке [2; 5].
x2 − 10x + a2 = 0
имеет ровно один корень на отрезке [2; 5].
Показать ответ
[−5; −4] ∪ [4; 5]
Решение
ОДЗ: (a − x + 4)(a + x − 4) > 0. Это парабола по x ветвями вниз с корнями x = a + 4 и x = 4 − a, поэтому ОДЗ — интервал между ними.
Числитель: x2 − 10x + a2 = 0, корни x = 5 ± √(25 − a2) — существуют при |a| ≤ 5.
Нужно, чтобы РОВНО ОДИН из корней попал в пересечение ОДЗ с отрезком [2; 5]. Конфигурация меняется только когда корень совпадает с концом отрезка, с границей ОДЗ, когда корни сливаются (a = ±5) или когда ОДЗ вырождается.
Ответ: [−5; −4] ∪ [4; 5].
Числитель: x2 − 10x + a2 = 0, корни x = 5 ± √(25 − a2) — существуют при |a| ≤ 5.
Нужно, чтобы РОВНО ОДИН из корней попал в пересечение ОДЗ с отрезком [2; 5]. Конфигурация меняется только когда корень совпадает с концом отрезка, с границей ОДЗ, когда корни сливаются (a = ±5) или когда ОДЗ вырождается.
Ответ: [−5; −4] ∪ [4; 5].
Пример 4
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
x2 − 10x + a2 = 0
имеет ровно один корень на отрезке [0; 5].
x2 − 10x + a2 = 0
имеет ровно один корень на отрезке [0; 5].
Показать ответ
[−5; −3) ∪ (3; 5]
Решение
ОДЗ: (a − x + 4)(a + x − 4) > 0. Это парабола по x ветвями вниз с корнями x = a + 4 и x = 4 − a, поэтому ОДЗ — интервал между ними.
Числитель: x2 − 10x + a2 = 0, корни x = 5 ± √(25 − a2) — существуют при |a| ≤ 5.
Нужно, чтобы РОВНО ОДИН из корней попал в пересечение ОДЗ с отрезком [0; 5]. Конфигурация меняется только когда корень совпадает с концом отрезка, с границей ОДЗ, когда корни сливаются (a = ±5) или когда ОДЗ вырождается.
Ответ: [−5; −3) ∪ (3; 5].
Числитель: x2 − 10x + a2 = 0, корни x = 5 ± √(25 − a2) — существуют при |a| ≤ 5.
Нужно, чтобы РОВНО ОДИН из корней попал в пересечение ОДЗ с отрезком [0; 5]. Конфигурация меняется только когда корень совпадает с концом отрезка, с границей ОДЗ, когда корни сливаются (a = ±5) или когда ОДЗ вырождается.
Ответ: [−5; −3) ∪ (3; 5].
Пример 5
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
x2 − 10x + a2 = 0
имеет ровно один корень на отрезке [0; 5].
x2 − 10x + a2 = 0
имеет ровно один корень на отрезке [0; 5].
Показать ответ
[−5; −4) ∪ (3; 5]
Решение
ОДЗ: (a − x + 6)(a + x − 4) > 0. Это парабола по x ветвями вниз с корнями x = a + 6 и x = 4 − a, поэтому ОДЗ — интервал между ними.
Числитель: x2 − 10x + a2 = 0, корни x = 5 ± √(25 − a2) — существуют при |a| ≤ 5.
Нужно, чтобы РОВНО ОДИН из корней попал в пересечение ОДЗ с отрезком [0; 5]. Конфигурация меняется только когда корень совпадает с концом отрезка, с границей ОДЗ, когда корни сливаются (a = ±5) или когда ОДЗ вырождается.
Ответ: [−5; −4) ∪ (3; 5].
Числитель: x2 − 10x + a2 = 0, корни x = 5 ± √(25 − a2) — существуют при |a| ≤ 5.
Нужно, чтобы РОВНО ОДИН из корней попал в пересечение ОДЗ с отрезком [0; 5]. Конфигурация меняется только когда корень совпадает с концом отрезка, с границей ОДЗ, когда корни сливаются (a = ±5) или когда ОДЗ вырождается.
Ответ: [−5; −4) ∪ (3; 5].
Другие темы задания №19
1Линейный знаменатель: (k²x²−a²)/(px−q−ra) = 02Разность квадратов внизу: (k²x²−a²)/((x+m)²−a²) = 03Параметр в свободном члене: (x²−2mx+a)/((kx−a)(x−a)) = 04(ca−x²+bx)/(x−a²) = 0 — полюс x = a², кубическое уравнение выкалываний5Полюсы ±√a: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²−a) = 06Раскладывающийся знаменатель: (x²−2mx+a²+2ta)/((kx+a)(x−a)) = 07Выкалывания через резольвенту: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²+px−qa) = 08Параметр в обеих частях: (x²+2ux−ca)/(x²−2vx+a²−2wa) = 09Модуль в числителе: (|kx|−x−c−a)/(x²−px−qa) = 010Модуль и a² внизу: (|kx−b|+ra−b)/(x²−2mx+a²) = 011Промежуток области определения: (x²−a(a−1)x−a³)/√(квадратный) = 012((x−a−p)(x+a−q))/√(2mx−x²−a²) = 0 на отрезке
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.