Модуль в числителе: (|kx|−x−c−a)/(x²−px−qa) = 0 — задание 19 ЕГЭ по профильной математике
Дробь = 0, «ровно два различных решения». 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
При каких значениях параметра a уравнение
|2x| − x − 2 − ax2 − 2x − 3a = 0
имеет ровно 2 различных решения?
|2x| − x − 2 − ax2 − 2x − 3a = 0
имеет ровно 2 различных решения?
Показать ответ
(−2; 0) ∪ (0; 1) ∪ (1; 16) ∪ (16; +∞)
Решение
Числитель равен нулю: при x ≥ 0 получаем x = 2 + a, то есть x = 2 + a; при x < 0 получаем −3x = 2 + a, то есть x = −(2 + a)/3.
Первый корень неотрицателен, второй отрицателен ровно при a > −2; при a = −2 оба равны нулю (один корень), при a < −2 корней нет.
Осталось выколотьa, при которых корень попал в полюс: подстановка каждого корня в знаменатель даёт квадратные уравнения на a с корнями a = 0, a = 1, a = 16.
Ответ: (−2; 0) ∪ (0; 1) ∪ (1; 16) ∪ (16; +∞).
Первый корень неотрицателен, второй отрицателен ровно при a > −2; при a = −2 оба равны нулю (один корень), при a < −2 корней нет.
Осталось выколотьa, при которых корень попал в полюс: подстановка каждого корня в знаменатель даёт квадратные уравнения на a с корнями a = 0, a = 1, a = 16.
Ответ: (−2; 0) ∪ (0; 1) ∪ (1; 16) ∪ (16; +∞).
Пример 2
При каких значениях параметра a уравнение
|4x| − x − 7 − ax2 − x − 2a = 0
имеет ровно 2 различных решения?
|4x| − x − 7 − ax2 − x − 2a = 0
имеет ровно 2 различных решения?
Показать ответ
(−7; 3) ∪ (3; 28) ∪ (28; +∞)
Решение
Числитель равен нулю: при x ≥ 0 получаем 3x = 7 + a, то есть x = (7 + a)/3; при x < 0 получаем −5x = 7 + a, то есть x = −(7 + a)/5.
Первый корень неотрицателен, второй отрицателен ровно при a > −7; при a = −7 оба равны нулю (один корень), при a < −7 корней нет.
Осталось выколотьa, при которых корень попал в полюс: подстановка каждого корня в знаменатель даёт квадратные уравнения на a с корнями a = 3, a = 28.
Ответ: (−7; 3) ∪ (3; 28) ∪ (28; +∞).
Первый корень неотрицателен, второй отрицателен ровно при a > −7; при a = −7 оба равны нулю (один корень), при a < −7 корней нет.
Осталось выколотьa, при которых корень попал в полюс: подстановка каждого корня в знаменатель даёт квадратные уравнения на a с корнями a = 3, a = 28.
Ответ: (−7; 3) ∪ (3; 28) ∪ (28; +∞).
Пример 3
При каких значениях параметра a уравнение
|2x| − x − 5 − ax2 − 3x − 4a = 0
имеет ровно 2 различных решения?
|2x| − x − 5 − ax2 − 3x − 4a = 0
имеет ровно 2 различных решения?
Показать ответ
(−5; 7) ∪ (7; 10) ∪ (10; +∞)
Решение
Числитель равен нулю: при x ≥ 0 получаем x = 5 + a, то есть x = 5 + a; при x < 0 получаем −3x = 5 + a, то есть x = −(5 + a)/3.
Первый корень неотрицателен, второй отрицателен ровно при a > −5; при a = −5 оба равны нулю (один корень), при a < −5 корней нет.
Осталось выколотьa, при которых корень попал в полюс: подстановка каждого корня в знаменатель даёт квадратные уравнения на a с корнями a = 7, a = 10.
Ответ: (−5; 7) ∪ (7; 10) ∪ (10; +∞).
Первый корень неотрицателен, второй отрицателен ровно при a > −5; при a = −5 оба равны нулю (один корень), при a < −5 корней нет.
Осталось выколотьa, при которых корень попал в полюс: подстановка каждого корня в знаменатель даёт квадратные уравнения на a с корнями a = 7, a = 10.
Ответ: (−5; 7) ∪ (7; 10) ∪ (10; +∞).
Пример 4
При каких значениях параметра a уравнение
|6x| − x − 5 − ax2 − x − a = 0
имеет ровно 2 различных решения?
|6x| − x − 5 − ax2 − x − a = 0
имеет ровно 2 различных решения?
Показать ответ
(−5; 0) ∪ (0; 2) ∪ (2; 20) ∪ (20; 30) ∪ (30; +∞)
Решение
Числитель равен нулю: при x ≥ 0 получаем 5x = 5 + a, то есть x = (5 + a)/5; при x < 0 получаем −7x = 5 + a, то есть x = −(5 + a)/7.
Первый корень неотрицателен, второй отрицателен ровно при a > −5; при a = −5 оба равны нулю (один корень), при a < −5 корней нет.
Осталось выколотьa, при которых корень попал в полюс: подстановка каждого корня в знаменатель даёт квадратные уравнения на a с корнями a = 0, a = 2, a = 20, a = 30.
Ответ: (−5; 0) ∪ (0; 2) ∪ (2; 20) ∪ (20; 30) ∪ (30; +∞).
Первый корень неотрицателен, второй отрицателен ровно при a > −5; при a = −5 оба равны нулю (один корень), при a < −5 корней нет.
Осталось выколотьa, при которых корень попал в полюс: подстановка каждого корня в знаменатель даёт квадратные уравнения на a с корнями a = 0, a = 2, a = 20, a = 30.
Ответ: (−5; 0) ∪ (0; 2) ∪ (2; 20) ∪ (20; 30) ∪ (30; +∞).
Пример 5
При каких значениях параметра a уравнение
|3x| − x − 6 − ax2 − 4x − 2a = 0
имеет ровно 2 различных решения?
|3x| − x − 6 − ax2 − 4x − 2a = 0
имеет ровно 2 различных решения?
Показать ответ
(−6; −2) ∪ (−2; 6) ∪ (6; +∞)
Решение
Числитель равен нулю: при x ≥ 0 получаем 2x = 6 + a, то есть x = (6 + a)/2; при x < 0 получаем −4x = 6 + a, то есть x = −(6 + a)/4.
Первый корень неотрицателен, второй отрицателен ровно при a > −6; при a = −6 оба равны нулю (один корень), при a < −6 корней нет.
Осталось выколотьa, при которых корень попал в полюс: подстановка каждого корня в знаменатель даёт квадратные уравнения на a с корнями a = −2, a = 6.
Ответ: (−6; −2) ∪ (−2; 6) ∪ (6; +∞).
Первый корень неотрицателен, второй отрицателен ровно при a > −6; при a = −6 оба равны нулю (один корень), при a < −6 корней нет.
Осталось выколотьa, при которых корень попал в полюс: подстановка каждого корня в знаменатель даёт квадратные уравнения на a с корнями a = −2, a = 6.
Ответ: (−6; −2) ∪ (−2; 6) ∪ (6; +∞).
Другие темы задания №19
1Линейный знаменатель: (k²x²−a²)/(px−q−ra) = 02Разность квадратов внизу: (k²x²−a²)/((x+m)²−a²) = 03Параметр в свободном члене: (x²−2mx+a)/((kx−a)(x−a)) = 04(ca−x²+bx)/(x−a²) = 0 — полюс x = a², кубическое уравнение выкалываний5Полюсы ±√a: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²−a) = 06Раскладывающийся знаменатель: (x²−2mx+a²+2ta)/((kx+a)(x−a)) = 07Выкалывания через резольвенту: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²+px−qa) = 08Параметр в обеих частях: (x²+2ux−ca)/(x²−2vx+a²−2wa) = 09Модуль и a² внизу: (|kx−b|+ra−b)/(x²−2mx+a²) = 010Промежуток области определения: (x²−a(a−1)x−a³)/√(квадратный) = 011(x²−2mx+a²)/√((a+b−x)(a−c+x)) = 0 на отрезке12((x−a−p)(x+a−q))/√(2mx−x²−a²) = 0 на отрезке
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.