Параметр в свободном члене: (x²−2mx+a)/((kx−a)(x−a)) = 0 — задание 19 ЕГЭ по профильной математике
Дробь = 0, «ровно два различных решения». 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
x2 − 10x + a6x2 − 7ax + a2 = 0
имеет ровно два различных решения.
x2 − 10x + a6x2 − 7ax + a2 = 0
имеет ровно два различных решения.
Показать ответ
(−∞; 0) ∪ (0; 9) ∪ (9; 24) ∪ (24; 25)
Решение
Знаменатель раскладывается: 6x2 − 7ax + a2 = (6x − a)(x − a), полюсы x = a/6 и x = a.
Числитель x2 − 10x + a имеет два различных корня ⟺ D/4 = 25 − a > 0 ⟺ a < 25.
Корень пропадает, если он полюс: подстановка x = a даёт a(a − 9) = 0, подстановка x = a/6 даёт a(a − 24) = 0.
Значит из промежутка a < 25 выкалываем a = 0, a = 9, a = 24.
Ответ: (−∞; 0) ∪ (0; 9) ∪ (9; 24) ∪ (24; 25).
Числитель x2 − 10x + a имеет два различных корня ⟺ D/4 = 25 − a > 0 ⟺ a < 25.
Корень пропадает, если он полюс: подстановка x = a даёт a(a − 9) = 0, подстановка x = a/6 даёт a(a − 24) = 0.
Значит из промежутка a < 25 выкалываем a = 0, a = 9, a = 24.
Ответ: (−∞; 0) ∪ (0; 9) ∪ (9; 24) ∪ (24; 25).
Пример 2
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
x2 − 10x + a4x2 − 5ax + a2 = 0
имеет ровно два различных решения.
x2 − 10x + a4x2 − 5ax + a2 = 0
имеет ровно два различных решения.
Показать ответ
(−∞; 0) ∪ (0; 9) ∪ (9; 24) ∪ (24; 25)
Решение
Знаменатель раскладывается: 4x2 − 5ax + a2 = (4x − a)(x − a), полюсы x = a/4 и x = a.
Числитель x2 − 10x + a имеет два различных корня ⟺ D/4 = 25 − a > 0 ⟺ a < 25.
Корень пропадает, если он полюс: подстановка x = a даёт a(a − 9) = 0, подстановка x = a/4 даёт a(a − 24) = 0.
Значит из промежутка a < 25 выкалываем a = 0, a = 9, a = 24.
Ответ: (−∞; 0) ∪ (0; 9) ∪ (9; 24) ∪ (24; 25).
Числитель x2 − 10x + a имеет два различных корня ⟺ D/4 = 25 − a > 0 ⟺ a < 25.
Корень пропадает, если он полюс: подстановка x = a даёт a(a − 9) = 0, подстановка x = a/4 даёт a(a − 24) = 0.
Значит из промежутка a < 25 выкалываем a = 0, a = 9, a = 24.
Ответ: (−∞; 0) ∪ (0; 9) ∪ (9; 24) ∪ (24; 25).
Пример 3
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
x2 − 12x + a2x2 − 3ax + a2 = 0
имеет ровно два различных решения.
x2 − 12x + a2x2 − 3ax + a2 = 0
имеет ровно два различных решения.
Показать ответ
(−∞; 0) ∪ (0; 11) ∪ (11; 20) ∪ (20; 36)
Решение
Знаменатель раскладывается: 2x2 − 3ax + a2 = (2x − a)(x − a), полюсы x = a/2 и x = a.
Числитель x2 − 12x + a имеет два различных корня ⟺ D/4 = 36 − a > 0 ⟺ a < 36.
Корень пропадает, если он полюс: подстановка x = a даёт a(a − 11) = 0, подстановка x = a/2 даёт a(a − 20) = 0.
Значит из промежутка a < 36 выкалываем a = 0, a = 11, a = 20.
Ответ: (−∞; 0) ∪ (0; 11) ∪ (11; 20) ∪ (20; 36).
Числитель x2 − 12x + a имеет два различных корня ⟺ D/4 = 36 − a > 0 ⟺ a < 36.
Корень пропадает, если он полюс: подстановка x = a даёт a(a − 11) = 0, подстановка x = a/2 даёт a(a − 20) = 0.
Значит из промежутка a < 36 выкалываем a = 0, a = 11, a = 20.
Ответ: (−∞; 0) ∪ (0; 11) ∪ (11; 20) ∪ (20; 36).
Пример 4
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
x2 − 6x + a7x2 − 8ax + a2 = 0
имеет ровно два различных решения.
x2 − 6x + a7x2 − 8ax + a2 = 0
имеет ровно два различных решения.
Показать ответ
(−∞; −7) ∪ (−7; 0) ∪ (0; 5) ∪ (5; 9)
Решение
Знаменатель раскладывается: 7x2 − 8ax + a2 = (7x − a)(x − a), полюсы x = a/7 и x = a.
Числитель x2 − 6x + a имеет два различных корня ⟺ D/4 = 9 − a > 0 ⟺ a < 9.
Корень пропадает, если он полюс: подстановка x = a даёт a(a − 5) = 0, подстановка x = a/7 даёт a(a − -7) = 0.
Значит из промежутка a < 9 выкалываем a = 0, a = 5, a = −7.
Ответ: (−∞; −7) ∪ (−7; 0) ∪ (0; 5) ∪ (5; 9).
Числитель x2 − 6x + a имеет два различных корня ⟺ D/4 = 9 − a > 0 ⟺ a < 9.
Корень пропадает, если он полюс: подстановка x = a даёт a(a − 5) = 0, подстановка x = a/7 даёт a(a − -7) = 0.
Значит из промежутка a < 9 выкалываем a = 0, a = 5, a = −7.
Ответ: (−∞; −7) ∪ (−7; 0) ∪ (0; 5) ∪ (5; 9).
Пример 5
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
x2 − 6x + a2x2 − 3ax + a2 = 0
имеет ровно два различных решения.
x2 − 6x + a2x2 − 3ax + a2 = 0
имеет ровно два различных решения.
Показать ответ
(−∞; 0) ∪ (0; 5) ∪ (5; 8) ∪ (8; 9)
Решение
Знаменатель раскладывается: 2x2 − 3ax + a2 = (2x − a)(x − a), полюсы x = a/2 и x = a.
Числитель x2 − 6x + a имеет два различных корня ⟺ D/4 = 9 − a > 0 ⟺ a < 9.
Корень пропадает, если он полюс: подстановка x = a даёт a(a − 5) = 0, подстановка x = a/2 даёт a(a − 8) = 0.
Значит из промежутка a < 9 выкалываем a = 0, a = 5, a = 8.
Ответ: (−∞; 0) ∪ (0; 5) ∪ (5; 8) ∪ (8; 9).
Числитель x2 − 6x + a имеет два различных корня ⟺ D/4 = 9 − a > 0 ⟺ a < 9.
Корень пропадает, если он полюс: подстановка x = a даёт a(a − 5) = 0, подстановка x = a/2 даёт a(a − 8) = 0.
Значит из промежутка a < 9 выкалываем a = 0, a = 5, a = 8.
Ответ: (−∞; 0) ∪ (0; 5) ∪ (5; 8) ∪ (8; 9).
Другие темы задания №19
1Линейный знаменатель: (k²x²−a²)/(px−q−ra) = 02Разность квадратов внизу: (k²x²−a²)/((x+m)²−a²) = 03(ca−x²+bx)/(x−a²) = 0 — полюс x = a², кубическое уравнение выкалываний4Полюсы ±√a: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²−a) = 05Раскладывающийся знаменатель: (x²−2mx+a²+2ta)/((kx+a)(x−a)) = 06Выкалывания через резольвенту: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²+px−qa) = 07Параметр в обеих частях: (x²+2ux−ca)/(x²−2vx+a²−2wa) = 08Модуль в числителе: (|kx|−x−c−a)/(x²−px−qa) = 09Модуль и a² внизу: (|kx−b|+ra−b)/(x²−2mx+a²) = 010Промежуток области определения: (x²−a(a−1)x−a³)/√(квадратный) = 011(x²−2mx+a²)/√((a+b−x)(a−c+x)) = 0 на отрезке12((x−a−p)(x+a−q))/√(2mx−x²−a²) = 0 на отрезке
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.