((x−a−p)(x+a−q))/√(2mx−x²−a²) = 0 на отрезке — задание 19 ЕГЭ по профильной математике
«Ровно один корень на отрезке». 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
(x − a − 4)(x + a − 6) = 0
имеет ровно один корень на отрезке [0; 3].
(x − a − 4)(x + a − 6) = 0
имеет ровно один корень на отрезке [0; 3].
Показать ответ
(−3; −1] ∪ [3; 4)
Решение
Числитель обнуляется при x = a + 4 и x = 6 − a (они совпадают при a = 1).
ОДЗ: 10x − x2 − a2 > 0, то есть точка обязана лежать строго внутри окружности-условия; подстановка каждого корня даёт квадратное неравенство на a.
Требуется, чтобы ровно один из корней одновременно лежал на отрезке [0; 3] и удовлетворял ОДЗ.
Ответ: (−3; −1] ∪ [3; 4).
ОДЗ: 10x − x2 − a2 > 0, то есть точка обязана лежать строго внутри окружности-условия; подстановка каждого корня даёт квадратное неравенство на a.
Требуется, чтобы ровно один из корней одновременно лежал на отрезке [0; 3] и удовлетворял ОДЗ.
Ответ: (−3; −1] ∪ [3; 4).
Пример 2
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
(x − a − 4)(x + a − 4) = 0
имеет ровно один корень на отрезке [3; 7].
(x − a − 4)(x + a − 4) = 0
имеет ровно один корень на отрезке [3; 7].
Показать ответ
[−3; −1) ∪ {0} ∪ (1; 3]
Решение
Числитель обнуляется при x = a + 4 и x = 4 − a (они совпадают при a = 0).
ОДЗ: 10x − x2 − a2 > 0, то есть точка обязана лежать строго внутри окружности-условия; подстановка каждого корня даёт квадратное неравенство на a.
Требуется, чтобы ровно один из корней одновременно лежал на отрезке [3; 7] и удовлетворял ОДЗ.
Ответ: [−3; −1) ∪ {0} ∪ (1; 3].
ОДЗ: 10x − x2 − a2 > 0, то есть точка обязана лежать строго внутри окружности-условия; подстановка каждого корня даёт квадратное неравенство на a.
Требуется, чтобы ровно один из корней одновременно лежал на отрезке [3; 7] и удовлетворял ОДЗ.
Ответ: [−3; −1) ∪ {0} ∪ (1; 3].
Пример 3
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
(x − a − 4)(x + a − 4) = 0
имеет ровно один корень на отрезке [0; 6].
(x − a − 4)(x + a − 4) = 0
имеет ровно один корень на отрезке [0; 6].
Показать ответ
(−3; −2) ∪ {0} ∪ (2; 3)
Решение
Числитель обнуляется при x = a + 4 и x = 4 − a (они совпадают при a = 0).
ОДЗ: 10x − x2 − a2 > 0, то есть точка обязана лежать строго внутри окружности-условия; подстановка каждого корня даёт квадратное неравенство на a.
Требуется, чтобы ровно один из корней одновременно лежал на отрезке [0; 6] и удовлетворял ОДЗ.
Ответ: (−3; −2) ∪ {0} ∪ (2; 3).
ОДЗ: 10x − x2 − a2 > 0, то есть точка обязана лежать строго внутри окружности-условия; подстановка каждого корня даёт квадратное неравенство на a.
Требуется, чтобы ровно один из корней одновременно лежал на отрезке [0; 6] и удовлетворял ОДЗ.
Ответ: (−3; −2) ∪ {0} ∪ (2; 3).
Пример 4
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
(x − a − 4)(x + a − 4) = 0
имеет ровно один корень на отрезке [2; 7].
(x − a − 4)(x + a − 4) = 0
имеет ровно один корень на отрезке [2; 7].
Показать ответ
[−3; −2) ∪ {0} ∪ (2; 3]
Решение
Числитель обнуляется при x = a + 4 и x = 4 − a (они совпадают при a = 0).
ОДЗ: 10x − x2 − a2 > 0, то есть точка обязана лежать строго внутри окружности-условия; подстановка каждого корня даёт квадратное неравенство на a.
Требуется, чтобы ровно один из корней одновременно лежал на отрезке [2; 7] и удовлетворял ОДЗ.
Ответ: [−3; −2) ∪ {0} ∪ (2; 3].
ОДЗ: 10x − x2 − a2 > 0, то есть точка обязана лежать строго внутри окружности-условия; подстановка каждого корня даёт квадратное неравенство на a.
Требуется, чтобы ровно один из корней одновременно лежал на отрезке [2; 7] и удовлетворял ОДЗ.
Ответ: [−3; −2) ∪ {0} ∪ (2; 3].
Пример 5
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
(x − a − 4)(x + a − 6) = 0
имеет ровно один корень на отрезке [0; 4].
(x − a − 4)(x + a − 6) = 0
имеет ровно один корень на отрезке [0; 4].
Показать ответ
(−3; 0] ∪ [2; 4)
Решение
Числитель обнуляется при x = a + 4 и x = 6 − a (они совпадают при a = 1).
ОДЗ: 10x − x2 − a2 > 0, то есть точка обязана лежать строго внутри окружности-условия; подстановка каждого корня даёт квадратное неравенство на a.
Требуется, чтобы ровно один из корней одновременно лежал на отрезке [0; 4] и удовлетворял ОДЗ.
Ответ: (−3; 0] ∪ [2; 4).
ОДЗ: 10x − x2 − a2 > 0, то есть точка обязана лежать строго внутри окружности-условия; подстановка каждого корня даёт квадратное неравенство на a.
Требуется, чтобы ровно один из корней одновременно лежал на отрезке [0; 4] и удовлетворял ОДЗ.
Ответ: (−3; 0] ∪ [2; 4).
Другие темы задания №19
1Линейный знаменатель: (k²x²−a²)/(px−q−ra) = 02Разность квадратов внизу: (k²x²−a²)/((x+m)²−a²) = 03Параметр в свободном члене: (x²−2mx+a)/((kx−a)(x−a)) = 04(ca−x²+bx)/(x−a²) = 0 — полюс x = a², кубическое уравнение выкалываний5Полюсы ±√a: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²−a) = 06Раскладывающийся знаменатель: (x²−2mx+a²+2ta)/((kx+a)(x−a)) = 07Выкалывания через резольвенту: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²+px−qa) = 08Параметр в обеих частях: (x²+2ux−ca)/(x²−2vx+a²−2wa) = 09Модуль в числителе: (|kx|−x−c−a)/(x²−px−qa) = 010Модуль и a² внизу: (|kx−b|+ra−b)/(x²−2mx+a²) = 011Промежуток области определения: (x²−a(a−1)x−a³)/√(квадратный) = 012(x²−2mx+a²)/√((a+b−x)(a−c+x)) = 0 на отрезке
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.