(ca−x²+bx)/(x−a²) = 0 — полюс x = a², кубическое уравнение выкалываний — задание 19 ЕГЭ по профильной математике
Дробь = 0, «ровно два различных решения». 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
8a − x2 + 6xx − 2a2 = 0
имеет ровно два различных корня.
8a − x2 + 6xx − 2a2 = 0
имеет ровно два различных корня.
Показать ответ
(−9/8; −1) ∪ (−1; 0) ∪ (0; 2) ∪ (2; +∞)
Решение
Числитель равен нулю ⟺ x2 − 6x − 8a = 0; два различных корня ⟺ D = 36 + 32a > 0 ⟺ a > −9/8.
Полюс x = 2a2. Он совпадает с корнем ⟺ 4a4 − 12a2 − 8a = 0 ⟺ a(a − (−1))(a − (−1))(a − (2)) = 0, то есть при a = 0 и a ∈ {−1; 2} (записи со знаком − читаются как отрицательные числа).
Из промежутка a > −9/8 выкалываем эти значения.
Ответ: (−9/8; −1) ∪ (−1; 0) ∪ (0; 2) ∪ (2; +∞).
Полюс x = 2a2. Он совпадает с корнем ⟺ 4a4 − 12a2 − 8a = 0 ⟺ a(a − (−1))(a − (−1))(a − (2)) = 0, то есть при a = 0 и a ∈ {−1; 2} (записи со знаком − читаются как отрицательные числа).
Из промежутка a > −9/8 выкалываем эти значения.
Ответ: (−9/8; −1) ∪ (−1; 0) ∪ (0; 2) ∪ (2; +∞).
Пример 2
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
2a − x2 + 3xx − a2 = 0
имеет ровно два различных корня.
2a − x2 + 3xx − a2 = 0
имеет ровно два различных корня.
Показать ответ
(−9/8; −1) ∪ (−1; 0) ∪ (0; 2) ∪ (2; +∞)
Решение
Числитель равен нулю ⟺ x2 − 3x − 2a = 0; два различных корня ⟺ D = 9 + 8a > 0 ⟺ a > −9/8.
Полюс x = a2. Он совпадает с корнем ⟺ a4 − 3a2 − 2a = 0 ⟺ a(a − (−1))(a − (−1))(a − (2)) = 0, то есть при a = 0 и a ∈ {−1; 2} (записи со знаком − читаются как отрицательные числа).
Из промежутка a > −9/8 выкалываем эти значения.
Ответ: (−9/8; −1) ∪ (−1; 0) ∪ (0; 2) ∪ (2; +∞).
Полюс x = a2. Он совпадает с корнем ⟺ a4 − 3a2 − 2a = 0 ⟺ a(a − (−1))(a − (−1))(a − (2)) = 0, то есть при a = 0 и a ∈ {−1; 2} (записи со знаком − читаются как отрицательные числа).
Из промежутка a > −9/8 выкалываем эти значения.
Ответ: (−9/8; −1) ∪ (−1; 0) ∪ (0; 2) ∪ (2; +∞).
Пример 3
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
54a − x2 + 27xx − a2 = 0
имеет ровно два различных корня.
54a − x2 + 27xx − a2 = 0
имеет ровно два различных корня.
Показать ответ
(−27/8; −3) ∪ (−3; 0) ∪ (0; 6) ∪ (6; +∞)
Решение
Числитель равен нулю ⟺ x2 − 27x − 54a = 0; два различных корня ⟺ D = 729 + 216a > 0 ⟺ a > −27/8.
Полюс x = a2. Он совпадает с корнем ⟺ a4 − 27a2 − 54a = 0 ⟺ a(a − (−3))(a − (−3))(a − (6)) = 0, то есть при a = 0 и a ∈ {−3; 6} (записи со знаком − читаются как отрицательные числа).
Из промежутка a > −27/8 выкалываем эти значения.
Ответ: (−27/8; −3) ∪ (−3; 0) ∪ (0; 6) ∪ (6; +∞).
Полюс x = a2. Он совпадает с корнем ⟺ a4 − 27a2 − 54a = 0 ⟺ a(a − (−3))(a − (−3))(a − (6)) = 0, то есть при a = 0 и a ∈ {−3; 6} (записи со знаком − читаются как отрицательные числа).
Из промежутка a > −27/8 выкалываем эти значения.
Ответ: (−27/8; −3) ∪ (−3; 0) ∪ (0; 6) ∪ (6; +∞).
Пример 4
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
6a − x2 + 7xx − a2 = 0
имеет ровно два различных корня.
6a − x2 + 7xx − a2 = 0
имеет ровно два различных корня.
Показать ответ
(−49/24; −2) ∪ (−2; −1) ∪ (−1; 0) ∪ (0; 3) ∪ (3; +∞)
Решение
Числитель равен нулю ⟺ x2 − 7x − 6a = 0; два различных корня ⟺ D = 49 + 24a > 0 ⟺ a > −49/24.
Полюс x = a2. Он совпадает с корнем ⟺ a4 − 7a2 − 6a = 0 ⟺ a(a − (−2))(a − (−1))(a − (3)) = 0, то есть при a = 0 и a ∈ {−2; −1; 3} (записи со знаком − читаются как отрицательные числа).
Из промежутка a > −49/24 выкалываем эти значения.
Ответ: (−49/24; −2) ∪ (−2; −1) ∪ (−1; 0) ∪ (0; 3) ∪ (3; +∞).
Полюс x = a2. Он совпадает с корнем ⟺ a4 − 7a2 − 6a = 0 ⟺ a(a − (−2))(a − (−1))(a − (3)) = 0, то есть при a = 0 и a ∈ {−2; −1; 3} (записи со знаком − читаются как отрицательные числа).
Из промежутка a > −49/24 выкалываем эти значения.
Ответ: (−49/24; −2) ∪ (−2; −1) ∪ (−1; 0) ∪ (0; 3) ∪ (3; +∞).
Пример 5
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
54a − x2 + 21xx − 3a2 = 0
имеет ровно два различных корня.
54a − x2 + 21xx − 3a2 = 0
имеет ровно два различных корня.
Показать ответ
(−49/24; −2) ∪ (−2; −1) ∪ (−1; 0) ∪ (0; 3) ∪ (3; +∞)
Решение
Числитель равен нулю ⟺ x2 − 21x − 54a = 0; два различных корня ⟺ D = 441 + 216a > 0 ⟺ a > −49/24.
Полюс x = 3a2. Он совпадает с корнем ⟺ 9a4 − 63a2 − 54a = 0 ⟺ a(a − (−2))(a − (−1))(a − (3)) = 0, то есть при a = 0 и a ∈ {−2; −1; 3} (записи со знаком − читаются как отрицательные числа).
Из промежутка a > −49/24 выкалываем эти значения.
Ответ: (−49/24; −2) ∪ (−2; −1) ∪ (−1; 0) ∪ (0; 3) ∪ (3; +∞).
Полюс x = 3a2. Он совпадает с корнем ⟺ 9a4 − 63a2 − 54a = 0 ⟺ a(a − (−2))(a − (−1))(a − (3)) = 0, то есть при a = 0 и a ∈ {−2; −1; 3} (записи со знаком − читаются как отрицательные числа).
Из промежутка a > −49/24 выкалываем эти значения.
Ответ: (−49/24; −2) ∪ (−2; −1) ∪ (−1; 0) ∪ (0; 3) ∪ (3; +∞).
Другие темы задания №19
1Линейный знаменатель: (k²x²−a²)/(px−q−ra) = 02Разность квадратов внизу: (k²x²−a²)/((x+m)²−a²) = 03Параметр в свободном члене: (x²−2mx+a)/((kx−a)(x−a)) = 04Полюсы ±√a: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²−a) = 05Раскладывающийся знаменатель: (x²−2mx+a²+2ta)/((kx+a)(x−a)) = 06Выкалывания через резольвенту: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²+px−qa) = 07Параметр в обеих частях: (x²+2ux−ca)/(x²−2vx+a²−2wa) = 08Модуль в числителе: (|kx|−x−c−a)/(x²−px−qa) = 09Модуль и a² внизу: (|kx−b|+ra−b)/(x²−2mx+a²) = 010Промежуток области определения: (x²−a(a−1)x−a³)/√(квадратный) = 011(x²−2mx+a²)/√((a+b−x)(a−c+x)) = 0 на отрезке12((x−a−p)(x+a−q))/√(2mx−x²−a²) = 0 на отрезке
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.