Разность квадратов внизу: (k²x²−a²)/((x+m)²−a²) = 0 — задание 19 ЕГЭ по профильной математике
Дробь = 0, «ровно два различных решения». 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
4x2 − a2x2 + 12x + 36 − a2 = 0
имеет ровно два различных корня.
4x2 − a2x2 + 12x + 36 − a2 = 0
имеет ровно два различных корня.
Показать ответ
(−∞; −12) ∪ (−12; −4) ∪ (−4; 0) ∪ (0; 4) ∪ (4; 12) ∪ (12; +∞)
Решение
Числитель обнуляется при x = ±a/2 — два различных корня ровно при a ≠ 0.
Знаменатель равен (x + 6)2 − a2, то есть обращается в нуль при x = −6 + a и x = −6 − a.
Совпадение корня с полюсом даёт четыре значения: a = ±12 и a = ±4; при каждом из них остаётся один корень.
Ответ: (−∞; −12) ∪ (−12; −4) ∪ (−4; 0) ∪ (0; 4) ∪ (4; 12) ∪ (12; +∞).
Знаменатель равен (x + 6)2 − a2, то есть обращается в нуль при x = −6 + a и x = −6 − a.
Совпадение корня с полюсом даёт четыре значения: a = ±12 и a = ±4; при каждом из них остаётся один корень.
Ответ: (−∞; −12) ∪ (−12; −4) ∪ (−4; 0) ∪ (0; 4) ∪ (4; 12) ∪ (12; +∞).
Пример 2
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
16x2 − a2x2 + 30x + 225 − a2 = 0
имеет ровно два различных корня.
16x2 − a2x2 + 30x + 225 − a2 = 0
имеет ровно два различных корня.
Показать ответ
(−∞; −20) ∪ (−20; −12) ∪ (−12; 0) ∪ (0; 12) ∪ (12; 20) ∪ (20; +∞)
Решение
Числитель обнуляется при x = ±a/4 — два различных корня ровно при a ≠ 0.
Знаменатель равен (x + 15)2 − a2, то есть обращается в нуль при x = −15 + a и x = −15 − a.
Совпадение корня с полюсом даёт четыре значения: a = ±20 и a = ±12; при каждом из них остаётся один корень.
Ответ: (−∞; −20) ∪ (−20; −12) ∪ (−12; 0) ∪ (0; 12) ∪ (12; 20) ∪ (20; +∞).
Знаменатель равен (x + 15)2 − a2, то есть обращается в нуль при x = −15 + a и x = −15 − a.
Совпадение корня с полюсом даёт четыре значения: a = ±20 и a = ±12; при каждом из них остаётся один корень.
Ответ: (−∞; −20) ∪ (−20; −12) ∪ (−12; 0) ∪ (0; 12) ∪ (12; 20) ∪ (20; +∞).
Пример 3
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
9x2 − a2x2 + 16x + 64 − a2 = 0
имеет ровно два различных корня.
9x2 − a2x2 + 16x + 64 − a2 = 0
имеет ровно два различных корня.
Показать ответ
(−∞; −12) ∪ (−12; −6) ∪ (−6; 0) ∪ (0; 6) ∪ (6; 12) ∪ (12; +∞)
Решение
Числитель обнуляется при x = ±a/3 — два различных корня ровно при a ≠ 0.
Знаменатель равен (x + 8)2 − a2, то есть обращается в нуль при x = −8 + a и x = −8 − a.
Совпадение корня с полюсом даёт четыре значения: a = ±12 и a = ±6; при каждом из них остаётся один корень.
Ответ: (−∞; −12) ∪ (−12; −6) ∪ (−6; 0) ∪ (0; 6) ∪ (6; 12) ∪ (12; +∞).
Знаменатель равен (x + 8)2 − a2, то есть обращается в нуль при x = −8 + a и x = −8 − a.
Совпадение корня с полюсом даёт четыре значения: a = ±12 и a = ±6; при каждом из них остаётся один корень.
Ответ: (−∞; −12) ∪ (−12; −6) ∪ (−6; 0) ∪ (0; 6) ∪ (6; 12) ∪ (12; +∞).
Пример 4
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
25x2 − a2x2 + 24x + 144 − a2 = 0
имеет ровно два различных корня.
25x2 − a2x2 + 24x + 144 − a2 = 0
имеет ровно два различных корня.
Показать ответ
(−∞; −15) ∪ (−15; −10) ∪ (−10; 0) ∪ (0; 10) ∪ (10; 15) ∪ (15; +∞)
Решение
Числитель обнуляется при x = ±a/5 — два различных корня ровно при a ≠ 0.
Знаменатель равен (x + 12)2 − a2, то есть обращается в нуль при x = −12 + a и x = −12 − a.
Совпадение корня с полюсом даёт четыре значения: a = ±15 и a = ±10; при каждом из них остаётся один корень.
Ответ: (−∞; −15) ∪ (−15; −10) ∪ (−10; 0) ∪ (0; 10) ∪ (10; 15) ∪ (15; +∞).
Знаменатель равен (x + 12)2 − a2, то есть обращается в нуль при x = −12 + a и x = −12 − a.
Совпадение корня с полюсом даёт четыре значения: a = ±15 и a = ±10; при каждом из них остаётся один корень.
Ответ: (−∞; −15) ∪ (−15; −10) ∪ (−10; 0) ∪ (0; 10) ∪ (10; 15) ∪ (15; +∞).
Пример 5
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
4x2 − a2x2 + 18x + 81 − a2 = 0
имеет ровно два различных корня.
4x2 − a2x2 + 18x + 81 − a2 = 0
имеет ровно два различных корня.
Показать ответ
(−∞; −18) ∪ (−18; −6) ∪ (−6; 0) ∪ (0; 6) ∪ (6; 18) ∪ (18; +∞)
Решение
Числитель обнуляется при x = ±a/2 — два различных корня ровно при a ≠ 0.
Знаменатель равен (x + 9)2 − a2, то есть обращается в нуль при x = −9 + a и x = −9 − a.
Совпадение корня с полюсом даёт четыре значения: a = ±18 и a = ±6; при каждом из них остаётся один корень.
Ответ: (−∞; −18) ∪ (−18; −6) ∪ (−6; 0) ∪ (0; 6) ∪ (6; 18) ∪ (18; +∞).
Знаменатель равен (x + 9)2 − a2, то есть обращается в нуль при x = −9 + a и x = −9 − a.
Совпадение корня с полюсом даёт четыре значения: a = ±18 и a = ±6; при каждом из них остаётся один корень.
Ответ: (−∞; −18) ∪ (−18; −6) ∪ (−6; 0) ∪ (0; 6) ∪ (6; 18) ∪ (18; +∞).
Другие темы задания №19
1Линейный знаменатель: (k²x²−a²)/(px−q−ra) = 02Параметр в свободном члене: (x²−2mx+a)/((kx−a)(x−a)) = 03(ca−x²+bx)/(x−a²) = 0 — полюс x = a², кубическое уравнение выкалываний4Полюсы ±√a: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²−a) = 05Раскладывающийся знаменатель: (x²−2mx+a²+2ta)/((kx+a)(x−a)) = 06Выкалывания через резольвенту: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²+px−qa) = 07Параметр в обеих частях: (x²+2ux−ca)/(x²−2vx+a²−2wa) = 08Модуль в числителе: (|kx|−x−c−a)/(x²−px−qa) = 09Модуль и a² внизу: (|kx−b|+ra−b)/(x²−2mx+a²) = 010Промежуток области определения: (x²−a(a−1)x−a³)/√(квадратный) = 011(x²−2mx+a²)/√((a+b−x)(a−c+x)) = 0 на отрезке12((x−a−p)(x+a−q))/√(2mx−x²−a²) = 0 на отрезке
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.