Модуль и a² внизу: (|kx−b|+ra−b)/(x²−2mx+a²) = 0 — задание 19 ЕГЭ по профильной математике
Дробь = 0, «ровно два различных решения». 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
|3x − 10| + a − 10x2 − 20x + a2 = 0
имеет ровно два различных решения.
|3x − 10| + a − 10x2 − 20x + a2 = 0
имеет ровно два различных решения.
Показать ответ
(−∞; −10) ∪ (−10; 0) ∪ (0; 6) ∪ (6; 8) ∪ (8; 10)
Решение
Уравнение числителя: |3x − 10| = 10 − a. Оно имеет два различных корня ровно при 10 − a > 0, то есть при a < 10; корни x = 20/3 − 1/3a и x = 1/3a.
Знаменатель x2 − 20x + a2 обнуляется в полюсах; подстановка каждого корня даёт квадратные уравнения на a с корнями a = −10, a = 0, a = 6, a = 8 — их выкалываем.
Ответ: (−∞; −10) ∪ (−10; 0) ∪ (0; 6) ∪ (6; 8) ∪ (8; 10).
Знаменатель x2 − 20x + a2 обнуляется в полюсах; подстановка каждого корня даёт квадратные уравнения на a с корнями a = −10, a = 0, a = 6, a = 8 — их выкалываем.
Ответ: (−∞; −10) ∪ (−10; 0) ∪ (0; 6) ∪ (6; 8) ∪ (8; 10).
Пример 2
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
|2x − 12| + 2a − 12x2 − 10x + a2 = 0
имеет ровно два различных решения.
|2x − 12| + 2a − 12x2 − 10x + a2 = 0
имеет ровно два различных решения.
Показать ответ
(−∞; 0) ∪ (0; 3) ∪ (3; 4) ∪ (4; 5) ∪ (5; 6)
Решение
Уравнение числителя: |2x − 12| = 12 − 2a. Оно имеет два различных корня ровно при 12 − 2a > 0, то есть при a < 6; корни x = 12 − a и x = a.
Знаменатель x2 − 10x + a2 обнуляется в полюсах; подстановка каждого корня даёт квадратные уравнения на a с корнями a = 0, a = 3, a = 4, a = 5 — их выкалываем.
Ответ: (−∞; 0) ∪ (0; 3) ∪ (3; 4) ∪ (4; 5) ∪ (5; 6).
Знаменатель x2 − 10x + a2 обнуляется в полюсах; подстановка каждого корня даёт квадратные уравнения на a с корнями a = 0, a = 3, a = 4, a = 5 — их выкалываем.
Ответ: (−∞; 0) ∪ (0; 3) ∪ (3; 4) ∪ (4; 5) ∪ (5; 6).
Пример 3
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
|3x − 10| + a − 10x2 − 10x + a2 = 0
имеет ровно два различных решения.
|3x − 10| + a − 10x2 − 10x + a2 = 0
имеет ровно два различных решения.
Показать ответ
(−∞; −4) ∪ (−4; 0) ∪ (0; 3) ∪ (3; 5) ∪ (5; 10)
Решение
Уравнение числителя: |3x − 10| = 10 − a. Оно имеет два различных корня ровно при 10 − a > 0, то есть при a < 10; корни x = 20/3 − 1/3a и x = 1/3a.
Знаменатель x2 − 10x + a2 обнуляется в полюсах; подстановка каждого корня даёт квадратные уравнения на a с корнями a = −4, a = 0, a = 3, a = 5 — их выкалываем.
Ответ: (−∞; −4) ∪ (−4; 0) ∪ (0; 3) ∪ (3; 5) ∪ (5; 10).
Знаменатель x2 − 10x + a2 обнуляется в полюсах; подстановка каждого корня даёт квадратные уравнения на a с корнями a = −4, a = 0, a = 3, a = 5 — их выкалываем.
Ответ: (−∞; −4) ∪ (−4; 0) ∪ (0; 3) ∪ (3; 5) ∪ (5; 10).
Пример 4
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
|2x − 15| + a − 15x2 − 20x + a2 = 0
имеет ровно два различных решения.
|2x − 15| + a − 15x2 − 20x + a2 = 0
имеет ровно два различных решения.
Показать ответ
(−∞; −6) ∪ (−6; 0) ∪ (0; 8) ∪ (8; 10) ∪ (10; 15)
Решение
Уравнение числителя: |2x − 15| = 15 − a. Оно имеет два различных корня ровно при 15 − a > 0, то есть при a < 15; корни x = 15 − 1/2a и x = 1/2a.
Знаменатель x2 − 20x + a2 обнуляется в полюсах; подстановка каждого корня даёт квадратные уравнения на a с корнями a = −6, a = 0, a = 8, a = 10 — их выкалываем.
Ответ: (−∞; −6) ∪ (−6; 0) ∪ (0; 8) ∪ (8; 10) ∪ (10; 15).
Знаменатель x2 − 20x + a2 обнуляется в полюсах; подстановка каждого корня даёт квадратные уравнения на a с корнями a = −6, a = 0, a = 8, a = 10 — их выкалываем.
Ответ: (−∞; −6) ∪ (−6; 0) ∪ (0; 8) ∪ (8; 10) ∪ (10; 15).
Пример 5
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
|3x − 5| + a − 5x2 − 10x + a2 = 0
имеет ровно два различных решения.
|3x − 5| + a − 5x2 − 10x + a2 = 0
имеет ровно два различных решения.
Показать ответ
(−∞; −5) ∪ (−5; 0) ∪ (0; 3) ∪ (3; 4) ∪ (4; 5)
Решение
Уравнение числителя: |3x − 5| = 5 − a. Оно имеет два различных корня ровно при 5 − a > 0, то есть при a < 5; корни x = 10/3 − 1/3a и x = 1/3a.
Знаменатель x2 − 10x + a2 обнуляется в полюсах; подстановка каждого корня даёт квадратные уравнения на a с корнями a = −5, a = 0, a = 3, a = 4 — их выкалываем.
Ответ: (−∞; −5) ∪ (−5; 0) ∪ (0; 3) ∪ (3; 4) ∪ (4; 5).
Знаменатель x2 − 10x + a2 обнуляется в полюсах; подстановка каждого корня даёт квадратные уравнения на a с корнями a = −5, a = 0, a = 3, a = 4 — их выкалываем.
Ответ: (−∞; −5) ∪ (−5; 0) ∪ (0; 3) ∪ (3; 4) ∪ (4; 5).
Другие темы задания №19
1Линейный знаменатель: (k²x²−a²)/(px−q−ra) = 02Разность квадратов внизу: (k²x²−a²)/((x+m)²−a²) = 03Параметр в свободном члене: (x²−2mx+a)/((kx−a)(x−a)) = 04(ca−x²+bx)/(x−a²) = 0 — полюс x = a², кубическое уравнение выкалываний5Полюсы ±√a: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²−a) = 06Раскладывающийся знаменатель: (x²−2mx+a²+2ta)/((kx+a)(x−a)) = 07Выкалывания через резольвенту: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²+px−qa) = 08Параметр в обеих частях: (x²+2ux−ca)/(x²−2vx+a²−2wa) = 09Модуль в числителе: (|kx|−x−c−a)/(x²−px−qa) = 010Промежуток области определения: (x²−a(a−1)x−a³)/√(квадратный) = 011(x²−2mx+a²)/√((a+b−x)(a−c+x)) = 0 на отрезке12((x−a−p)(x+a−q))/√(2mx−x²−a²) = 0 на отрезке
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.