Выкалывания через резольвенту: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²+px−qa) = 0 — задание 19 ЕГЭ по профильной математике
Дробь = 0, «ровно два различных решения». 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
x2 − 10x + a2 − 24ax2 + 2x − 5a = 0
имеет ровно два различных решения.
x2 − 10x + a2 − 24ax2 + 2x − 5a = 0
имеет ровно два различных решения.
Показать ответ
(−1; 0) ∪ (0; 7) ∪ (7; 24) ∪ (24; 25)
Решение
У числителя два различных корня ⟺ D/4 = 25 − (a2 − 24a) > 0 ⟺ a ∈ (−1; 25).
Если корень числителя совпал с полюсом, он не годится. Вычитая знаменатель из числителя, получаем −12x + a2 − 19a = 0, то есть общий корень равен x = (a2 − 19a)/12; подстановка его в знаменатель даёт уравнение на a с корнями a = 0, a = 7, a = 24 — эти значения выкалываем.
Ответ: (−1; 0) ∪ (0; 7) ∪ (7; 24) ∪ (24; 25).
Если корень числителя совпал с полюсом, он не годится. Вычитая знаменатель из числителя, получаем −12x + a2 − 19a = 0, то есть общий корень равен x = (a2 − 19a)/12; подстановка его в знаменатель даёт уравнение на a с корнями a = 0, a = 7, a = 24 — эти значения выкалываем.
Ответ: (−1; 0) ∪ (0; 7) ∪ (7; 24) ∪ (24; 25).
Пример 2
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
x2 − 16x + a2 − 30ax2 + 4x − 3a = 0
имеет ровно два различных решения.
x2 − 16x + a2 − 30ax2 + 4x − 3a = 0
имеет ровно два различных решения.
Показать ответ
(−2; 0) ∪ (0; 7) ∪ (7; 15) ∪ (15; 32)
Решение
У числителя два различных корня ⟺ D/4 = 64 − (a2 − 30a) > 0 ⟺ a ∈ (−2; 32).
Если корень числителя совпал с полюсом, он не годится. Вычитая знаменатель из числителя, получаем −20x + a2 − 27a = 0, то есть общий корень равен x = (a2 − 27a)/20; подстановка его в знаменатель даёт уравнение на a с корнями a = 0, a = 7, a = 15, a = 32 — эти значения выкалываем.
Ответ: (−2; 0) ∪ (0; 7) ∪ (7; 15) ∪ (15; 32).
Если корень числителя совпал с полюсом, он не годится. Вычитая знаменатель из числителя, получаем −20x + a2 − 27a = 0, то есть общий корень равен x = (a2 − 27a)/20; подстановка его в знаменатель даёт уравнение на a с корнями a = 0, a = 7, a = 15, a = 32 — эти значения выкалываем.
Ответ: (−2; 0) ∪ (0; 7) ∪ (7; 15) ∪ (15; 32).
Пример 3
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
x2 − 24x + a2 − 18ax2 + 4x − a = 0
имеет ровно два различных решения.
x2 − 24x + a2 − 18ax2 + 4x − a = 0
имеет ровно два различных решения.
Показать ответ
(−6; 0) ∪ (0; 21) ∪ (21; 24)
Решение
У числителя два различных корня ⟺ D/4 = 144 − (a2 − 18a) > 0 ⟺ a ∈ (−6; 24).
Если корень числителя совпал с полюсом, он не годится. Вычитая знаменатель из числителя, получаем −28x + a2 − 17a = 0, то есть общий корень равен x = (a2 − 17a)/28; подстановка его в знаменатель даёт уравнение на a с корнями a = 0, a = 21 — эти значения выкалываем.
Ответ: (−6; 0) ∪ (0; 21) ∪ (21; 24).
Если корень числителя совпал с полюсом, он не годится. Вычитая знаменатель из числителя, получаем −28x + a2 − 17a = 0, то есть общий корень равен x = (a2 − 17a)/28; подстановка его в знаменатель даёт уравнение на a с корнями a = 0, a = 21 — эти значения выкалываем.
Ответ: (−6; 0) ∪ (0; 21) ∪ (21; 24).
Пример 4
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
x2 − 6x + a2 − 8ax2 + 2x − 6a = 0
имеет ровно два различных решения.
x2 − 6x + a2 − 8ax2 + 2x − 6a = 0
имеет ровно два различных решения.
Показать ответ
(−1; 0) ∪ (0; 8) ∪ (8; 9)
Решение
У числителя два различных корня ⟺ D/4 = 9 − (a2 − 8a) > 0 ⟺ a ∈ (−1; 9).
Если корень числителя совпал с полюсом, он не годится. Вычитая знаменатель из числителя, получаем −8x + a2 − 2a = 0, то есть общий корень равен x = (a2 − 2a)/8; подстановка его в знаменатель даёт уравнение на a с корнями a = 0, a = 8 — эти значения выкалываем.
Ответ: (−1; 0) ∪ (0; 8) ∪ (8; 9).
Если корень числителя совпал с полюсом, он не годится. Вычитая знаменатель из числителя, получаем −8x + a2 − 2a = 0, то есть общий корень равен x = (a2 − 2a)/8; подстановка его в знаменатель даёт уравнение на a с корнями a = 0, a = 8 — эти значения выкалываем.
Ответ: (−1; 0) ∪ (0; 8) ∪ (8; 9).
Пример 5
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
x2 − 32x + a2 − 24ax2 + 3x − a = 0
имеет ровно два различных решения.
x2 − 32x + a2 − 24ax2 + 3x − a = 0
имеет ровно два различных решения.
Показать ответ
(−8; 0) ∪ (0; 28) ∪ (28; 32)
Решение
У числителя два различных корня ⟺ D/4 = 256 − (a2 − 24a) > 0 ⟺ a ∈ (−8; 32).
Если корень числителя совпал с полюсом, он не годится. Вычитая знаменатель из числителя, получаем −35x + a2 − 23a = 0, то есть общий корень равен x = (a2 − 23a)/35; подстановка его в знаменатель даёт уравнение на a с корнями a = 0, a = 28 — эти значения выкалываем.
Ответ: (−8; 0) ∪ (0; 28) ∪ (28; 32).
Если корень числителя совпал с полюсом, он не годится. Вычитая знаменатель из числителя, получаем −35x + a2 − 23a = 0, то есть общий корень равен x = (a2 − 23a)/35; подстановка его в знаменатель даёт уравнение на a с корнями a = 0, a = 28 — эти значения выкалываем.
Ответ: (−8; 0) ∪ (0; 28) ∪ (28; 32).
Другие темы задания №19
1Линейный знаменатель: (k²x²−a²)/(px−q−ra) = 02Разность квадратов внизу: (k²x²−a²)/((x+m)²−a²) = 03Параметр в свободном члене: (x²−2mx+a)/((kx−a)(x−a)) = 04(ca−x²+bx)/(x−a²) = 0 — полюс x = a², кубическое уравнение выкалываний5Полюсы ±√a: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²−a) = 06Раскладывающийся знаменатель: (x²−2mx+a²+2ta)/((kx+a)(x−a)) = 07Параметр в обеих частях: (x²+2ux−ca)/(x²−2vx+a²−2wa) = 08Модуль в числителе: (|kx|−x−c−a)/(x²−px−qa) = 09Модуль и a² внизу: (|kx−b|+ra−b)/(x²−2mx+a²) = 010Промежуток области определения: (x²−a(a−1)x−a³)/√(квадратный) = 011(x²−2mx+a²)/√((a+b−x)(a−c+x)) = 0 на отрезке12((x−a−p)(x+a−q))/√(2mx−x²−a²) = 0 на отрезке
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.