Раскладывающийся знаменатель: (x²−2mx+a²+2ta)/((kx+a)(x−a)) = 0 — задание 19 ЕГЭ по профильной математике
Дробь = 0, «ровно два различных решения». 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
x2 − 16x + a2 + 30a4x2 − 3ax − a2 = 0
имеет ровно два различных решения.
x2 − 16x + a2 + 30a4x2 − 3ax − a2 = 0
имеет ровно два различных решения.
Показать ответ
(−32; −7) ∪ (−7; 0) ∪ (0; 2)
Решение
Знаменатель раскладывается: 4x2 − 3ax − a2 = (4x + a)(x − a), полюсы x = −a/4 и x = a.
У числителя два различных корня ⟺ D/4 = 64 − (a2 + 30a) > 0 ⟺ a ∈ (−32; 2).
Корень пропадает, когда совпадает с полюсом: подстановка x = a даёт a(a + 7) = 0, подстановка x = −a/4 — ещё одно значение; всего выкалываются a = −32, a = −7, a = 0.
Ответ: (−32; −7) ∪ (−7; 0) ∪ (0; 2).
У числителя два различных корня ⟺ D/4 = 64 − (a2 + 30a) > 0 ⟺ a ∈ (−32; 2).
Корень пропадает, когда совпадает с полюсом: подстановка x = a даёт a(a + 7) = 0, подстановка x = −a/4 — ещё одно значение; всего выкалываются a = −32, a = −7, a = 0.
Ответ: (−32; −7) ∪ (−7; 0) ∪ (0; 2).
Пример 2
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
x2 − 8x + a2 + 6a3x2 − 2ax − a2 = 0
имеет ровно два различных решения.
x2 − 8x + a2 + 6a3x2 − 2ax − a2 = 0
имеет ровно два различных решения.
Показать ответ
(−8; −39/5) ∪ (−39/5; 0) ∪ (0; 1) ∪ (1; 2)
Решение
Знаменатель раскладывается: 3x2 − 2ax − a2 = (3x + a)(x − a), полюсы x = −a/3 и x = a.
У числителя два различных корня ⟺ D/4 = 16 − (a2 + 6a) > 0 ⟺ a ∈ (−8; 2).
Корень пропадает, когда совпадает с полюсом: подстановка x = a даёт a(a − 1) = 0, подстановка x = −a/3 — ещё одно значение; всего выкалываются a = −39/5, a = 0, a = 1.
Ответ: (−8; −39/5) ∪ (−39/5; 0) ∪ (0; 1) ∪ (1; 2).
У числителя два различных корня ⟺ D/4 = 16 − (a2 + 6a) > 0 ⟺ a ∈ (−8; 2).
Корень пропадает, когда совпадает с полюсом: подстановка x = a даёт a(a − 1) = 0, подстановка x = −a/3 — ещё одно значение; всего выкалываются a = −39/5, a = 0, a = 1.
Ответ: (−8; −39/5) ∪ (−39/5; 0) ∪ (0; 1) ∪ (1; 2).
Пример 3
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
x2 − 24x + a2 + 18a2x2 − ax − a2 = 0
имеет ровно два различных решения.
x2 − 24x + a2 + 18a2x2 − ax − a2 = 0
имеет ровно два различных решения.
Показать ответ
(−24; 0) ∪ (0; 3) ∪ (3; 6)
Решение
Знаменатель раскладывается: 2x2 − ax − a2 = (2x + a)(x − a), полюсы x = −a/2 и x = a.
У числителя два различных корня ⟺ D/4 = 144 − (a2 + 18a) > 0 ⟺ a ∈ (−24; 6).
Корень пропадает, когда совпадает с полюсом: подстановка x = a даёт a(a − 3) = 0, подстановка x = −a/2 — ещё одно значение; всего выкалываются a = −24, a = 0, a = 3.
Ответ: (−24; 0) ∪ (0; 3) ∪ (3; 6).
У числителя два различных корня ⟺ D/4 = 144 − (a2 + 18a) > 0 ⟺ a ∈ (−24; 6).
Корень пропадает, когда совпадает с полюсом: подстановка x = a даёт a(a − 3) = 0, подстановка x = −a/2 — ещё одно значение; всего выкалываются a = −24, a = 0, a = 3.
Ответ: (−24; 0) ∪ (0; 3) ∪ (3; 6).
Пример 4
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
x2 − 6x + a2 + 8a2x2 − ax − a2 = 0
имеет ровно два различных решения.
x2 − 6x + a2 + 8a2x2 − ax − a2 = 0
имеет ровно два различных решения.
Показать ответ
(−9; −44/5) ∪ (−44/5; −1) ∪ (−1; 0) ∪ (0; 1)
Решение
Знаменатель раскладывается: 2x2 − ax − a2 = (2x + a)(x − a), полюсы x = −a/2 и x = a.
У числителя два различных корня ⟺ D/4 = 9 − (a2 + 8a) > 0 ⟺ a ∈ (−9; 1).
Корень пропадает, когда совпадает с полюсом: подстановка x = a даёт a(a + 1) = 0, подстановка x = −a/2 — ещё одно значение; всего выкалываются a = −44/5, a = −1, a = 0.
Ответ: (−9; −44/5) ∪ (−44/5; −1) ∪ (−1; 0) ∪ (0; 1).
У числителя два различных корня ⟺ D/4 = 9 − (a2 + 8a) > 0 ⟺ a ∈ (−9; 1).
Корень пропадает, когда совпадает с полюсом: подстановка x = a даёт a(a + 1) = 0, подстановка x = −a/2 — ещё одно значение; всего выкалываются a = −44/5, a = −1, a = 0.
Ответ: (−9; −44/5) ∪ (−44/5; −1) ∪ (−1; 0) ∪ (0; 1).
Пример 5
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
x2 − 18x + a2 + 24a3x2 − 2ax − a2 = 0
имеет ровно два различных решения.
x2 − 18x + a2 + 24a3x2 − 2ax − a2 = 0
имеет ровно два различных решения.
Показать ответ
(−27; −3) ∪ (−3; 0) ∪ (0; 3)
Решение
Знаменатель раскладывается: 3x2 − 2ax − a2 = (3x + a)(x − a), полюсы x = −a/3 и x = a.
У числителя два различных корня ⟺ D/4 = 81 − (a2 + 24a) > 0 ⟺ a ∈ (−27; 3).
Корень пропадает, когда совпадает с полюсом: подстановка x = a даёт a(a + 3) = 0, подстановка x = −a/3 — ещё одно значение; всего выкалываются a = −27, a = −3, a = 0.
Ответ: (−27; −3) ∪ (−3; 0) ∪ (0; 3).
У числителя два различных корня ⟺ D/4 = 81 − (a2 + 24a) > 0 ⟺ a ∈ (−27; 3).
Корень пропадает, когда совпадает с полюсом: подстановка x = a даёт a(a + 3) = 0, подстановка x = −a/3 — ещё одно значение; всего выкалываются a = −27, a = −3, a = 0.
Ответ: (−27; −3) ∪ (−3; 0) ∪ (0; 3).
Другие темы задания №19
1Линейный знаменатель: (k²x²−a²)/(px−q−ra) = 02Разность квадратов внизу: (k²x²−a²)/((x+m)²−a²) = 03Параметр в свободном члене: (x²−2mx+a)/((kx−a)(x−a)) = 04(ca−x²+bx)/(x−a²) = 0 — полюс x = a², кубическое уравнение выкалываний5Полюсы ±√a: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²−a) = 06Выкалывания через резольвенту: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²+px−qa) = 07Параметр в обеих частях: (x²+2ux−ca)/(x²−2vx+a²−2wa) = 08Модуль в числителе: (|kx|−x−c−a)/(x²−px−qa) = 09Модуль и a² внизу: (|kx−b|+ra−b)/(x²−2mx+a²) = 010Промежуток области определения: (x²−a(a−1)x−a³)/√(квадратный) = 011(x²−2mx+a²)/√((a+b−x)(a−c+x)) = 0 на отрезке12((x−a−p)(x+a−q))/√(2mx−x²−a²) = 0 на отрезке
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.