√(1−px) = a−k|x| — более двух корней — задание 19 ЕГЭ по профильной математике
Иррациональные уравнения. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
= a − |x|
имеет более двух корней.
= a − |x|
имеет более двух корней.
Показать ответ
(1; 5/4)
Решение
ОДЗ: x ≤ 1. Правая часть обязана быть неотрицательной: |x| ≤ a, откуда сразу a ≥ 0 и −a1 ≤ x ≤ a1.
При x ≥ 0 возведение в квадрат даёт x2 − 2ax + x + a2 − 1 = 0, при x < 0 — x2 + 2ax + x + a2 − 1 = 0.
Оба дискриминанта равны 1 ∓ 4a + 4, корень попадает в нуль при a2 = 1, а на правый конец промежутка — при a = 1.
Между соседними критическими значениями число корней постоянно; больше двух их оказывается только на (1; 5/4).
Ответ: (1; 5/4).
При x ≥ 0 возведение в квадрат даёт x2 − 2ax + x + a2 − 1 = 0, при x < 0 — x2 + 2ax + x + a2 − 1 = 0.
Оба дискриминанта равны 1 ∓ 4a + 4, корень попадает в нуль при a2 = 1, а на правый конец промежутка — при a = 1.
Между соседними критическими значениями число корней постоянно; больше двух их оказывается только на (1; 5/4).
Ответ: (1; 5/4).
Пример 2
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
= a − 3|x|
имеет более двух корней.
= a − 3|x|
имеет более двух корней.
Показать ответ
(1; 5/4)
Решение
ОДЗ: x ≤ 1/3. Правая часть обязана быть неотрицательной: 3|x| ≤ a, откуда сразу a ≥ 0 и −a3 ≤ x ≤ a3.
При x ≥ 0 возведение в квадрат даёт 9x2 − 6ax + 3x + a2 − 1 = 0, при x < 0 — 9x2 + 6ax + 3x + a2 − 1 = 0.
Оба дискриминанта равны 9 ∓ 36a + 36, корень попадает в нуль при a2 = 1, а на правый конец промежутка — при a = 1.
Между соседними критическими значениями число корней постоянно; больше двух их оказывается только на (1; 5/4).
Ответ: (1; 5/4).
При x ≥ 0 возведение в квадрат даёт 9x2 − 6ax + 3x + a2 − 1 = 0, при x < 0 — 9x2 + 6ax + 3x + a2 − 1 = 0.
Оба дискриминанта равны 9 ∓ 36a + 36, корень попадает в нуль при a2 = 1, а на правый конец промежутка — при a = 1.
Между соседними критическими значениями число корней постоянно; больше двух их оказывается только на (1; 5/4).
Ответ: (1; 5/4).
Пример 3
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
= a − 2|x|
имеет более двух корней.
= a − 2|x|
имеет более двух корней.
Показать ответ
[2; 17/8)
Решение
ОДЗ: x ≤ 1. Правая часть обязана быть неотрицательной: 2|x| ≤ a, откуда сразу a ≥ 0 и −a2 ≤ x ≤ a2.
При x ≥ 0 возведение в квадрат даёт 4x2 − 4ax + x + a2 − 1 = 0, при x < 0 — 4x2 + 4ax + x + a2 − 1 = 0.
Оба дискриминанта равны 1 ∓ 8a + 16, корень попадает в нуль при a2 = 1, а на правый конец промежутка — при a = 2.
Между соседними критическими значениями число корней постоянно; больше двух их оказывается только на [2; 17/8).
Ответ: [2; 17/8).
При x ≥ 0 возведение в квадрат даёт 4x2 − 4ax + x + a2 − 1 = 0, при x < 0 — 4x2 + 4ax + x + a2 − 1 = 0.
Оба дискриминанта равны 1 ∓ 8a + 16, корень попадает в нуль при a2 = 1, а на правый конец промежутка — при a = 2.
Между соседними критическими значениями число корней постоянно; больше двух их оказывается только на [2; 17/8).
Ответ: [2; 17/8).
Пример 4
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
= a − 5|x|
имеет более двух корней.
= a − 5|x|
имеет более двух корней.
Показать ответ
[5/2; 13/5)
Решение
ОДЗ: x ≤ 1/2. Правая часть обязана быть неотрицательной: 5|x| ≤ a, откуда сразу a ≥ 0 и −a5 ≤ x ≤ a5.
При x ≥ 0 возведение в квадрат даёт 25x2 − 10ax + 2x + a2 − 1 = 0, при x < 0 — 25x2 + 10ax + 2x + a2 − 1 = 0.
Оба дискриминанта равны 4 ∓ 40a + 100, корень попадает в нуль при a2 = 1, а на правый конец промежутка — при a = 5/2.
Между соседними критическими значениями число корней постоянно; больше двух их оказывается только на [5/2; 13/5).
Ответ: [5/2; 13/5).
При x ≥ 0 возведение в квадрат даёт 25x2 − 10ax + 2x + a2 − 1 = 0, при x < 0 — 25x2 + 10ax + 2x + a2 − 1 = 0.
Оба дискриминанта равны 4 ∓ 40a + 100, корень попадает в нуль при a2 = 1, а на правый конец промежутка — при a = 5/2.
Между соседними критическими значениями число корней постоянно; больше двух их оказывается только на [5/2; 13/5).
Ответ: [5/2; 13/5).
Пример 5
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
= a − 4|x|
имеет более двух корней.
= a − 4|x|
имеет более двух корней.
Показать ответ
[2; 17/8)
Решение
ОДЗ: x ≤ 1/2. Правая часть обязана быть неотрицательной: 4|x| ≤ a, откуда сразу a ≥ 0 и −a4 ≤ x ≤ a4.
При x ≥ 0 возведение в квадрат даёт 16x2 − 8ax + 2x + a2 − 1 = 0, при x < 0 — 16x2 + 8ax + 2x + a2 − 1 = 0.
Оба дискриминанта равны 4 ∓ 32a + 64, корень попадает в нуль при a2 = 1, а на правый конец промежутка — при a = 2.
Между соседними критическими значениями число корней постоянно; больше двух их оказывается только на [2; 17/8).
Ответ: [2; 17/8).
При x ≥ 0 возведение в квадрат даёт 16x2 − 8ax + 2x + a2 − 1 = 0, при x < 0 — 16x2 + 8ax + 2x + a2 − 1 = 0.
Оба дискриминанта равны 4 ∓ 32a + 64, корень попадает в нуль при a2 = 1, а на правый конец промежутка — при a = 2.
Между соседними критическими значениями число корней постоянно; больше двух их оказывается только на [2; 17/8).
Ответ: [2; 17/8).
Другие темы задания №19
1Линейный знаменатель: (k²x²−a²)/(px−q−ra) = 02Разность квадратов внизу: (k²x²−a²)/((x+m)²−a²) = 03Параметр в свободном члене: (x²−2mx+a)/((kx−a)(x−a)) = 04(ca−x²+bx)/(x−a²) = 0 — полюс x = a², кубическое уравнение выкалываний5Полюсы ±√a: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²−a) = 06Раскладывающийся знаменатель: (x²−2mx+a²+2ta)/((kx+a)(x−a)) = 07Выкалывания через резольвенту: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²+px−qa) = 08Параметр в обеих частях: (x²+2ux−ca)/(x²−2vx+a²−2wa) = 09Модуль в числителе: (|kx|−x−c−a)/(x²−px−qa) = 010Модуль и a² внизу: (|kx−b|+ra−b)/(x²−2mx+a²) = 011Промежуток области определения: (x²−a(a−1)x−a³)/√(квадратный) = 012(x²−2mx+a²)/√((a+b−x)(a−c+x)) = 0 на отрезке
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.