3x²−24x+c = a|x−3| — ровно три положительных корня — задание 19 ЕГЭ по профильной математике
Дроби и замены (остаток раздела M). 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
3x2 − 24x + 72 = a|x − 3|
имеет ровно три положительных корня.
3x2 − 24x + 72 = a|x − 3|
имеет ровно три положительных корня.
Показать ответ
(24; +∞)
Решение
Обозначим t = x − 3. Тогда 3x2 − 24x + 72 = 3t2 − 6t + 27, а положительным x отвечают t > −3.
Уравнение принимает вид 3t2 − 6t + 27 = a|t|. При t > 0 это 3t2 − (6 + a)t + 27 = 0, при t < 0 — 3t2 + (a − 6)t + 27 = 0; t = 0 корнем не бывает.
На ветви t > 0 параметр выражается как a = 3t + 27t − 6; наименьшее значение достигается при t = 3 и равно 12. Аналогично на второй ветви граница равна −12… а корень попадает на конец t = −3 при a = 24.
Перебирая промежутки между этими критическими значениями, получаем ответ.
Ответ: (24; +∞).
Уравнение принимает вид 3t2 − 6t + 27 = a|t|. При t > 0 это 3t2 − (6 + a)t + 27 = 0, при t < 0 — 3t2 + (a − 6)t + 27 = 0; t = 0 корнем не бывает.
На ветви t > 0 параметр выражается как a = 3t + 27t − 6; наименьшее значение достигается при t = 3 и равно 12. Аналогично на второй ветви граница равна −12… а корень попадает на конец t = −3 при a = 24.
Перебирая промежутки между этими критическими значениями, получаем ответ.
Ответ: (24; +∞).
Пример 2
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
3x2 − 24x + 120 = a|x − 3|
имеет ровно три положительных корня.
3x2 − 24x + 120 = a|x − 3|
имеет ровно три положительных корня.
Показать ответ
(40; +∞)
Решение
Обозначим t = x − 3. Тогда 3x2 − 24x + 120 = 3t2 − 6t + 75, а положительным x отвечают t > −3.
Уравнение принимает вид 3t2 − 6t + 75 = a|t|. При t > 0 это 3t2 − (6 + a)t + 75 = 0, при t < 0 — 3t2 + (a − 6)t + 75 = 0; t = 0 корнем не бывает.
На ветви t > 0 параметр выражается как a = 3t + 75t − 6; наименьшее значение достигается при t = 5 и равно 24. Аналогично на второй ветви граница равна −24… а корень попадает на конец t = −3 при a = 40.
Перебирая промежутки между этими критическими значениями, получаем ответ.
Ответ: (40; +∞).
Уравнение принимает вид 3t2 − 6t + 75 = a|t|. При t > 0 это 3t2 − (6 + a)t + 75 = 0, при t < 0 — 3t2 + (a − 6)t + 75 = 0; t = 0 корнем не бывает.
На ветви t > 0 параметр выражается как a = 3t + 75t − 6; наименьшее значение достигается при t = 5 и равно 24. Аналогично на второй ветви граница равна −24… а корень попадает на конец t = −3 при a = 40.
Перебирая промежутки между этими критическими значениями, получаем ответ.
Ответ: (40; +∞).
Пример 3
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
3x2 − 24x + 153 = a|x − 3|
имеет ровно три положительных корня.
3x2 − 24x + 153 = a|x − 3|
имеет ровно три положительных корня.
Показать ответ
(51; +∞)
Решение
Обозначим t = x − 3. Тогда 3x2 − 24x + 153 = 3t2 − 6t + 108, а положительным x отвечают t > −3.
Уравнение принимает вид 3t2 − 6t + 108 = a|t|. При t > 0 это 3t2 − (6 + a)t + 108 = 0, при t < 0 — 3t2 + (a − 6)t + 108 = 0; t = 0 корнем не бывает.
На ветви t > 0 параметр выражается как a = 3t + 108t − 6; наименьшее значение достигается при t = 6 и равно 30. Аналогично на второй ветви граница равна −30… а корень попадает на конец t = −3 при a = 51.
Перебирая промежутки между этими критическими значениями, получаем ответ.
Ответ: (51; +∞).
Уравнение принимает вид 3t2 − 6t + 108 = a|t|. При t > 0 это 3t2 − (6 + a)t + 108 = 0, при t < 0 — 3t2 + (a − 6)t + 108 = 0; t = 0 корнем не бывает.
На ветви t > 0 параметр выражается как a = 3t + 108t − 6; наименьшее значение достигается при t = 6 и равно 30. Аналогично на второй ветви граница равна −30… а корень попадает на конец t = −3 при a = 51.
Перебирая промежутки между этими критическими значениями, получаем ответ.
Ответ: (51; +∞).
Пример 4
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
3x2 − 24x + 93 = a|x − 3|
имеет ровно три положительных корня.
3x2 − 24x + 93 = a|x − 3|
имеет ровно три положительных корня.
Показать ответ
(31; +∞)
Решение
Обозначим t = x − 3. Тогда 3x2 − 24x + 93 = 3t2 − 6t + 48, а положительным x отвечают t > −3.
Уравнение принимает вид 3t2 − 6t + 48 = a|t|. При t > 0 это 3t2 − (6 + a)t + 48 = 0, при t < 0 — 3t2 + (a − 6)t + 48 = 0; t = 0 корнем не бывает.
На ветви t > 0 параметр выражается как a = 3t + 48t − 6; наименьшее значение достигается при t = 4 и равно 18. Аналогично на второй ветви граница равна −18… а корень попадает на конец t = −3 при a = 31.
Перебирая промежутки между этими критическими значениями, получаем ответ.
Ответ: (31; +∞).
Уравнение принимает вид 3t2 − 6t + 48 = a|t|. При t > 0 это 3t2 − (6 + a)t + 48 = 0, при t < 0 — 3t2 + (a − 6)t + 48 = 0; t = 0 корнем не бывает.
На ветви t > 0 параметр выражается как a = 3t + 48t − 6; наименьшее значение достигается при t = 4 и равно 18. Аналогично на второй ветви граница равна −18… а корень попадает на конец t = −3 при a = 31.
Перебирая промежутки между этими критическими значениями, получаем ответ.
Ответ: (31; +∞).
Пример 5
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
3x2 − 24x + 57 = a|x − 3|
имеет ровно три положительных корня.
3x2 − 24x + 57 = a|x − 3|
имеет ровно три положительных корня.
Показать ответ
{18} ∪ [19; +∞)
Решение
Обозначим t = x − 3. Тогда 3x2 − 24x + 57 = 3t2 − 6t + 12, а положительным x отвечают t > −3.
Уравнение принимает вид 3t2 − 6t + 12 = a|t|. При t > 0 это 3t2 − (6 + a)t + 12 = 0, при t < 0 — 3t2 + (a − 6)t + 12 = 0; t = 0 корнем не бывает.
На ветви t > 0 параметр выражается как a = 3t + 12t − 6; наименьшее значение достигается при t = 2 и равно 6. Аналогично на второй ветви граница равна −6… а корень попадает на конец t = −3 при a = 19.
Перебирая промежутки между этими критическими значениями, получаем ответ.
Ответ: {18} ∪ [19; +∞).
Уравнение принимает вид 3t2 − 6t + 12 = a|t|. При t > 0 это 3t2 − (6 + a)t + 12 = 0, при t < 0 — 3t2 + (a − 6)t + 12 = 0; t = 0 корнем не бывает.
На ветви t > 0 параметр выражается как a = 3t + 12t − 6; наименьшее значение достигается при t = 2 и равно 6. Аналогично на второй ветви граница равна −6… а корень попадает на конец t = −3 при a = 19.
Перебирая промежутки между этими критическими значениями, получаем ответ.
Ответ: {18} ∪ [19; +∞).
Другие темы задания №19
1Линейный знаменатель: (k²x²−a²)/(px−q−ra) = 02Разность квадратов внизу: (k²x²−a²)/((x+m)²−a²) = 03Параметр в свободном члене: (x²−2mx+a)/((kx−a)(x−a)) = 04(ca−x²+bx)/(x−a²) = 0 — полюс x = a², кубическое уравнение выкалываний5Полюсы ±√a: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²−a) = 06Раскладывающийся знаменатель: (x²−2mx+a²+2ta)/((kx+a)(x−a)) = 07Выкалывания через резольвенту: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²+px−qa) = 08Параметр в обеих частях: (x²+2ux−ca)/(x²−2vx+a²−2wa) = 09Модуль в числителе: (|kx|−x−c−a)/(x²−px−qa) = 010Модуль и a² внизу: (|kx−b|+ra−b)/(x²−2mx+a²) = 011Промежуток области определения: (x²−a(a−1)x−a³)/√(квадратный) = 012(x²−2mx+a²)/√((a+b−x)(a−c+x)) = 0 на отрезке
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.