|A sin x+a²+p|+|B sin x+a+q| ≤ C sin x+|a²+a+r|+D при любом x — задание 19 ЕГЭ по профильной математике
Показательные и модульные уравнения. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Найдите все значения a, при каждом из которых неравенство
|5sin x + a2 − 20| + |7sin x + a + 8| ≤ 13sin x + |a2 + a − 30| + 7
выполняется при любом значении x.
|5sin x + a2 − 20| + |7sin x + a + 8| ≤ 13sin x + |a2 + a − 30| + 7
выполняется при любом значении x.
Показать ответ
[−5; −1]
Решение
Обозначим s = sin x; когда x пробегает всю прямую, s пробегает отрезок [−1; 1]. Перенесём всё влево:
F(s) = |5s + a2 − 20| + |7s + a + 8| − 13s − |a2 + a − 30| − 7.
Сумма модулей линейных функций выпукла, добавление линейного слагаемого выпуклость сохраняет, поэтому F выпукла по s и её наибольшее значение на отрезке [−1; 1] достигается на конце.
Значит «F(s) ≤ 0 при всех s» равносильно паре условий F(−1) ≤ 0 и F(1) ≤ 0:
|a2 − 25| + |a + 1| ≤ |a2 + a − 30| − 6 и |a2 − 15| + |a + 15| ≤ |a2 + a − 30| + 20.
Раскрывая модули по промежуткам, получаем обычные квадратные неравенства; их общее решение и есть ответ.
Ответ: [−5; −1].
F(s) = |5s + a2 − 20| + |7s + a + 8| − 13s − |a2 + a − 30| − 7.
Сумма модулей линейных функций выпукла, добавление линейного слагаемого выпуклость сохраняет, поэтому F выпукла по s и её наибольшее значение на отрезке [−1; 1] достигается на конце.
Значит «F(s) ≤ 0 при всех s» равносильно паре условий F(−1) ≤ 0 и F(1) ≤ 0:
|a2 − 25| + |a + 1| ≤ |a2 + a − 30| − 6 и |a2 − 15| + |a + 15| ≤ |a2 + a − 30| + 20.
Раскрывая модули по промежуткам, получаем обычные квадратные неравенства; их общее решение и есть ответ.
Ответ: [−5; −1].
Пример 2
Найдите все значения a, при каждом из которых неравенство
|3sin x + a2 − 20| + |9sin x + a + 12| ≤ 13sin x + |a2 + a − 30| + 7
выполняется при любом значении x.
|3sin x + a2 − 20| + |9sin x + a + 12| ≤ 13sin x + |a2 + a − 30| + 7
выполняется при любом значении x.
Показать ответ
[−5; −1]
Решение
Обозначим s = sin x; когда x пробегает всю прямую, s пробегает отрезок [−1; 1]. Перенесём всё влево:
F(s) = |3s + a2 − 20| + |9s + a + 12| − 13s − |a2 + a − 30| − 7.
Сумма модулей линейных функций выпукла, добавление линейного слагаемого выпуклость сохраняет, поэтому F выпукла по s и её наибольшее значение на отрезке [−1; 1] достигается на конце.
Значит «F(s) ≤ 0 при всех s» равносильно паре условий F(−1) ≤ 0 и F(1) ≤ 0:
|a2 − 23| + |a + 3| ≤ |a2 + a − 30| − 6 и |a2 − 17| + |a + 21| ≤ |a2 + a − 30| + 20.
Раскрывая модули по промежуткам, получаем обычные квадратные неравенства; их общее решение и есть ответ.
Ответ: [−5; −1].
F(s) = |3s + a2 − 20| + |9s + a + 12| − 13s − |a2 + a − 30| − 7.
Сумма модулей линейных функций выпукла, добавление линейного слагаемого выпуклость сохраняет, поэтому F выпукла по s и её наибольшее значение на отрезке [−1; 1] достигается на конце.
Значит «F(s) ≤ 0 при всех s» равносильно паре условий F(−1) ≤ 0 и F(1) ≤ 0:
|a2 − 23| + |a + 3| ≤ |a2 + a − 30| − 6 и |a2 − 17| + |a + 21| ≤ |a2 + a − 30| + 20.
Раскрывая модули по промежуткам, получаем обычные квадратные неравенства; их общее решение и есть ответ.
Ответ: [−5; −1].
Пример 3
Найдите все значения a, при каждом из которых неравенство
|3sin x + a2 − 22| + |3sin x + a + 4| ≤ 7sin x + |a2 + a − 30| + 1
выполняется при любом значении x.
|3sin x + a2 − 22| + |3sin x + a + 4| ≤ 7sin x + |a2 + a − 30| + 1
выполняется при любом значении x.
Показать ответ
[−5; −1]
Решение
Обозначим s = sin x; когда x пробегает всю прямую, s пробегает отрезок [−1; 1]. Перенесём всё влево:
F(s) = |3s + a2 − 22| + |3s + a + 4| − 7s − |a2 + a − 30| − 1.
Сумма модулей линейных функций выпукла, добавление линейного слагаемого выпуклость сохраняет, поэтому F выпукла по s и её наибольшее значение на отрезке [−1; 1] достигается на конце.
Значит «F(s) ≤ 0 при всех s» равносильно паре условий F(−1) ≤ 0 и F(1) ≤ 0:
|a2 − 25| + |a + 1| ≤ |a2 + a − 30| − 6 и |a2 − 19| + |a + 7| ≤ |a2 + a − 30| + 8.
Раскрывая модули по промежуткам, получаем обычные квадратные неравенства; их общее решение и есть ответ.
Ответ: [−5; −1].
F(s) = |3s + a2 − 22| + |3s + a + 4| − 7s − |a2 + a − 30| − 1.
Сумма модулей линейных функций выпукла, добавление линейного слагаемого выпуклость сохраняет, поэтому F выпукла по s и её наибольшее значение на отрезке [−1; 1] достигается на конце.
Значит «F(s) ≤ 0 при всех s» равносильно паре условий F(−1) ≤ 0 и F(1) ≤ 0:
|a2 − 25| + |a + 1| ≤ |a2 + a − 30| − 6 и |a2 − 19| + |a + 7| ≤ |a2 + a − 30| + 8.
Раскрывая модули по промежуткам, получаем обычные квадратные неравенства; их общее решение и есть ответ.
Ответ: [−5; −1].
Пример 4
Найдите все значения a, при каждом из которых неравенство
|2sin x + a2 − 12| + |3sin x + a + 8| ≤ 6sin x + |a2 + a − 20| + 1
выполняется при любом значении x.
|2sin x + a2 − 12| + |3sin x + a + 8| ≤ 6sin x + |a2 + a − 20| + 1
выполняется при любом значении x.
Показать ответ
[−4; −2]
Решение
Обозначим s = sin x; когда x пробегает всю прямую, s пробегает отрезок [−1; 1]. Перенесём всё влево:
F(s) = |2s + a2 − 12| + |3s + a + 8| − 6s − |a2 + a − 20| − 1.
Сумма модулей линейных функций выпукла, добавление линейного слагаемого выпуклость сохраняет, поэтому F выпукла по s и её наибольшее значение на отрезке [−1; 1] достигается на конце.
Значит «F(s) ≤ 0 при всех s» равносильно паре условий F(−1) ≤ 0 и F(1) ≤ 0:
|a2 − 14| + |a + 5| ≤ |a2 + a − 20| − 5 и |a2 − 10| + |a + 11| ≤ |a2 + a − 20| + 7.
Раскрывая модули по промежуткам, получаем обычные квадратные неравенства; их общее решение и есть ответ.
Ответ: [−4; −2].
F(s) = |2s + a2 − 12| + |3s + a + 8| − 6s − |a2 + a − 20| − 1.
Сумма модулей линейных функций выпукла, добавление линейного слагаемого выпуклость сохраняет, поэтому F выпукла по s и её наибольшее значение на отрезке [−1; 1] достигается на конце.
Значит «F(s) ≤ 0 при всех s» равносильно паре условий F(−1) ≤ 0 и F(1) ≤ 0:
|a2 − 14| + |a + 5| ≤ |a2 + a − 20| − 5 и |a2 − 10| + |a + 11| ≤ |a2 + a − 20| + 7.
Раскрывая модули по промежуткам, получаем обычные квадратные неравенства; их общее решение и есть ответ.
Ответ: [−4; −2].
Пример 5
Найдите все значения a, при каждом из которых неравенство
|4sin x + a2 − 12| + |9sin x + a + 10| ≤ 14sin x + |a2 + a − 20| + 9
выполняется при любом значении x.
|4sin x + a2 − 12| + |9sin x + a + 10| ≤ 14sin x + |a2 + a − 20| + 9
выполняется при любом значении x.
Показать ответ
[−4; −1]
Решение
Обозначим s = sin x; когда x пробегает всю прямую, s пробегает отрезок [−1; 1]. Перенесём всё влево:
F(s) = |4s + a2 − 12| + |9s + a + 10| − 14s − |a2 + a − 20| − 9.
Сумма модулей линейных функций выпукла, добавление линейного слагаемого выпуклость сохраняет, поэтому F выпукла по s и её наибольшее значение на отрезке [−1; 1] достигается на конце.
Значит «F(s) ≤ 0 при всех s» равносильно паре условий F(−1) ≤ 0 и F(1) ≤ 0:
|a2 − 16| + |a + 1| ≤ |a2 + a − 20| − 5 и |a2 − 8| + |a + 19| ≤ |a2 + a − 20| + 23.
Раскрывая модули по промежуткам, получаем обычные квадратные неравенства; их общее решение и есть ответ.
Ответ: [−4; −1].
F(s) = |4s + a2 − 12| + |9s + a + 10| − 14s − |a2 + a − 20| − 9.
Сумма модулей линейных функций выпукла, добавление линейного слагаемого выпуклость сохраняет, поэтому F выпукла по s и её наибольшее значение на отрезке [−1; 1] достигается на конце.
Значит «F(s) ≤ 0 при всех s» равносильно паре условий F(−1) ≤ 0 и F(1) ≤ 0:
|a2 − 16| + |a + 1| ≤ |a2 + a − 20| − 5 и |a2 − 8| + |a + 19| ≤ |a2 + a − 20| + 23.
Раскрывая модули по промежуткам, получаем обычные квадратные неравенства; их общее решение и есть ответ.
Ответ: [−4; −1].
Другие темы задания №19
1Линейный знаменатель: (k²x²−a²)/(px−q−ra) = 02Разность квадратов внизу: (k²x²−a²)/((x+m)²−a²) = 03Параметр в свободном члене: (x²−2mx+a)/((kx−a)(x−a)) = 04(ca−x²+bx)/(x−a²) = 0 — полюс x = a², кубическое уравнение выкалываний5Полюсы ±√a: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²−a) = 06Раскладывающийся знаменатель: (x²−2mx+a²+2ta)/((kx+a)(x−a)) = 07Выкалывания через резольвенту: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²+px−qa) = 08Параметр в обеих частях: (x²+2ux−ca)/(x²−2vx+a²−2wa) = 09Модуль в числителе: (|kx|−x−c−a)/(x²−px−qa) = 010Модуль и a² внизу: (|kx−b|+ra−b)/(x²−2mx+a²) = 011Промежуток области определения: (x²−a(a−1)x−a³)/√(квадратный) = 012(x²−2mx+a²)/√((a+b−x)(a−c+x)) = 0 на отрезке
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.