{((√(A−x²)−y)(x²+py−q))/(d−x²) = 0; y = 1−2a} — задание 19 ЕГЭ по профильной математике
Распадающаяся кривая + прямая. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Найдите все значения параметра a, при которых система уравнений
( − y)(x2 + 3y − 9)9 − x2 = 0y = 1 − 2a
имеет ровно два решения.
( − y)(x2 + 3y − 9)9 − x2 = 0y = 1 − 2a
имеет ровно два решения.
Показать ответ
(−2; −3/2) ∪ (−3/2; −1) ∪ [1/2; 19/6]
Решение
Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель — нет: значит x2 ≠ 9.
Первый множитель даёт верхнюю полуокружность y = √(25 − x2) (ОДЗ: |x| ≤ 5), второй — параболу y = (9 − x2)/3.
Горизонталь y = 1 − 2a пересекает полуокружность в точках с x2 = 25 − (1 − 2a)2 (при 1 − 2a ≥ 0), а параболу — в точках с x2 = 9 − 3(1 − 2a); выколотые точки с x2 = 9 не считаются.
Ответ: (−2; −3/2) ∪ (−3/2; −1) ∪ [1/2; 19/6].
Первый множитель даёт верхнюю полуокружность y = √(25 − x2) (ОДЗ: |x| ≤ 5), второй — параболу y = (9 − x2)/3.
Горизонталь y = 1 − 2a пересекает полуокружность в точках с x2 = 25 − (1 − 2a)2 (при 1 − 2a ≥ 0), а параболу — в точках с x2 = 9 − 3(1 − 2a); выколотые точки с x2 = 9 не считаются.
Ответ: (−2; −3/2) ∪ (−3/2; −1) ∪ [1/2; 19/6].
Пример 2
Найдите все значения параметра a, при которых система уравнений
( − y)(x2 + 2y − 16)9 − x2 = 0y = 1 − 2a
имеет ровно два решения.
( − y)(x2 + 2y − 16)9 − x2 = 0y = 1 − 2a
имеет ровно два решения.
Показать ответ
(−7/2; −2) ∪ {−3/2} ∪ {−5/4} ∪ (1/2; 11/4]
Решение
Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель — нет: значит x2 ≠ 9.
Первый множитель даёт верхнюю полуокружность y = √(25 − x2) (ОДЗ: |x| ≤ 5), второй — параболу y = (16 − x2)/2.
Горизонталь y = 1 − 2a пересекает полуокружность в точках с x2 = 25 − (1 − 2a)2 (при 1 − 2a ≥ 0), а параболу — в точках с x2 = 16 − 2(1 − 2a); выколотые точки с x2 = 9 не считаются.
Ответ: (−7/2; −2) ∪ {−3/2} ∪ {−5/4} ∪ (1/2; 11/4].
Первый множитель даёт верхнюю полуокружность y = √(25 − x2) (ОДЗ: |x| ≤ 5), второй — параболу y = (16 − x2)/2.
Горизонталь y = 1 − 2a пересекает полуокружность в точках с x2 = 25 − (1 − 2a)2 (при 1 − 2a ≥ 0), а параболу — в точках с x2 = 16 − 2(1 − 2a); выколотые точки с x2 = 9 не считаются.
Ответ: (−7/2; −2) ∪ {−3/2} ∪ {−5/4} ∪ (1/2; 11/4].
Пример 3
Найдите все значения параметра a, при которых система уравнений
( − y)(x2 + 4y − 6)16 − x2 = 0y = 1 − 2a
имеет ровно два решения.
( − y)(x2 + 4y − 6)16 − x2 = 0y = 1 − 2a
имеет ровно два решения.
Показать ответ
(−2; −1) ∪ (−1; −1/4) ∪ (1/2; 7/4) ∪ (7/4; 23/8]
Решение
Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель — нет: значит x2 ≠ 16.
Первый множитель даёт верхнюю полуокружность y = √(25 − x2) (ОДЗ: |x| ≤ 5), второй — параболу y = (6 − x2)/4.
Горизонталь y = 1 − 2a пересекает полуокружность в точках с x2 = 25 − (1 − 2a)2 (при 1 − 2a ≥ 0), а параболу — в точках с x2 = 6 − 4(1 − 2a); выколотые точки с x2 = 16 не считаются.
Ответ: (−2; −1) ∪ (−1; −1/4) ∪ (1/2; 7/4) ∪ (7/4; 23/8].
Первый множитель даёт верхнюю полуокружность y = √(25 − x2) (ОДЗ: |x| ≤ 5), второй — параболу y = (6 − x2)/4.
Горизонталь y = 1 − 2a пересекает полуокружность в точках с x2 = 25 − (1 − 2a)2 (при 1 − 2a ≥ 0), а параболу — в точках с x2 = 6 − 4(1 − 2a); выколотые точки с x2 = 16 не считаются.
Ответ: (−2; −1) ∪ (−1; −1/4) ∪ (1/2; 7/4) ∪ (7/4; 23/8].
Пример 4
Найдите все значения параметра a, при которых система уравнений
( − y)(x2 + 2y − 12)9 − x2 = 0y = 1 − 2a
имеет ровно два решения.
( − y)(x2 + 2y − 12)9 − x2 = 0y = 1 − 2a
имеет ровно два решения.
Показать ответ
(−5/2; −2) ∪ {−3/2} ∪ {−1/4} ∪ (1/2; 15/4]
Решение
Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель — нет: значит x2 ≠ 9.
Первый множитель даёт верхнюю полуокружность y = √(25 − x2) (ОДЗ: |x| ≤ 5), второй — параболу y = (12 − x2)/2.
Горизонталь y = 1 − 2a пересекает полуокружность в точках с x2 = 25 − (1 − 2a)2 (при 1 − 2a ≥ 0), а параболу — в точках с x2 = 12 − 2(1 − 2a); выколотые точки с x2 = 9 не считаются.
Ответ: (−5/2; −2) ∪ {−3/2} ∪ {−1/4} ∪ (1/2; 15/4].
Первый множитель даёт верхнюю полуокружность y = √(25 − x2) (ОДЗ: |x| ≤ 5), второй — параболу y = (12 − x2)/2.
Горизонталь y = 1 − 2a пересекает полуокружность в точках с x2 = 25 − (1 − 2a)2 (при 1 − 2a ≥ 0), а параболу — в точках с x2 = 12 − 2(1 − 2a); выколотые точки с x2 = 9 не считаются.
Ответ: (−5/2; −2) ∪ {−3/2} ∪ {−1/4} ∪ (1/2; 15/4].
Пример 5
Найдите все значения параметра a, при которых система уравнений
( − y)(x2 + 2y − 9)16 − x2 = 0y = 1 − 2a
имеет ровно два решения.
( − y)(x2 + 2y − 9)16 − x2 = 0y = 1 − 2a
имеет ровно два решения.
Показать ответ
(−2; −7/4) ∪ {−1} ∪ (1/2; 9/4) ∪ (9/4; 9/2]
Решение
Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель — нет: значит x2 ≠ 16.
Первый множитель даёт верхнюю полуокружность y = √(25 − x2) (ОДЗ: |x| ≤ 5), второй — параболу y = (9 − x2)/2.
Горизонталь y = 1 − 2a пересекает полуокружность в точках с x2 = 25 − (1 − 2a)2 (при 1 − 2a ≥ 0), а параболу — в точках с x2 = 9 − 2(1 − 2a); выколотые точки с x2 = 16 не считаются.
Ответ: (−2; −7/4) ∪ {−1} ∪ (1/2; 9/4) ∪ (9/4; 9/2].
Первый множитель даёт верхнюю полуокружность y = √(25 − x2) (ОДЗ: |x| ≤ 5), второй — параболу y = (9 − x2)/2.
Горизонталь y = 1 − 2a пересекает полуокружность в точках с x2 = 25 − (1 − 2a)2 (при 1 − 2a ≥ 0), а параболу — в точках с x2 = 9 − 2(1 − 2a); выколотые точки с x2 = 16 не считаются.
Ответ: (−2; −7/4) ∪ {−1} ∪ (1/2; 9/4) ∪ (9/4; 9/2].
Другие темы задания №19
1Линейный знаменатель: (k²x²−a²)/(px−q−ra) = 02Разность квадратов внизу: (k²x²−a²)/((x+m)²−a²) = 03Параметр в свободном члене: (x²−2mx+a)/((kx−a)(x−a)) = 04(ca−x²+bx)/(x−a²) = 0 — полюс x = a², кубическое уравнение выкалываний5Полюсы ±√a: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²−a) = 06Раскладывающийся знаменатель: (x²−2mx+a²+2ta)/((kx+a)(x−a)) = 07Выкалывания через резольвенту: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²+px−qa) = 08Параметр в обеих частях: (x²+2ux−ca)/(x²−2vx+a²−2wa) = 09Модуль в числителе: (|kx|−x−c−a)/(x²−px−qa) = 010Модуль и a² внизу: (|kx−b|+ra−b)/(x²−2mx+a²) = 011Промежуток области определения: (x²−a(a−1)x−a³)/√(квадратный) = 012(x²−2mx+a²)/√((a+b−x)(a−c+x)) = 0 на отрезке
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.