ax²+2(a+p)x+a+q = 0 — расстояние между корнями больше d — задание 19 ЕГЭ по профильной математике
Квадрат по замене, расстояние между корнями. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
ax2 + 2(a + 3)x + a + 2 = 0
имеет два различных корня, расстояние между которыми больше 1.
ax2 + 2(a + 3)x + a + 2 = 0
имеет два различных корня, расстояние между которыми больше 1.
Показать ответ
(−2; 0) ∪ (0; 18)
Решение
При a = 0 уравнение линейное, поэтому a ≠ 0. Четверть дискриминанта равна (a + 3)2 − a(a + 2) = 4a + 9.
Квадрат расстояния между корнями равен 4(4a + 9)a2, и условие «больше 1» превращается в 4(4a + 9) > a2 (она же автоматически даёт положительность дискриминанта).
Ответ: (−2; 0) ∪ (0; 18).
Квадрат расстояния между корнями равен 4(4a + 9)a2, и условие «больше 1» превращается в 4(4a + 9) > a2 (она же автоматически даёт положительность дискриминанта).
Ответ: (−2; 0) ∪ (0; 18).
Пример 2
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
ax2 + 2(a + 3)x + a − 2 = 0
имеет два различных корня, расстояние между которыми больше 2.
ax2 + 2(a + 3)x + a − 2 = 0
имеет два различных корня, расстояние между которыми больше 2.
Показать ответ
(−1; 0) ∪ (0; 9)
Решение
При a = 0 уравнение линейное, поэтому a ≠ 0. Четверть дискриминанта равна (a + 3)2 − a(a − 2) = 8a + 9.
Квадрат расстояния между корнями равен 4(8a + 9)a2, и условие «больше 2» превращается в 4(8a + 9) > 4a2 (она же автоматически даёт положительность дискриминанта).
Ответ: (−1; 0) ∪ (0; 9).
Квадрат расстояния между корнями равен 4(8a + 9)a2, и условие «больше 2» превращается в 4(8a + 9) > 4a2 (она же автоматически даёт положительность дискриминанта).
Ответ: (−1; 0) ∪ (0; 9).
Пример 3
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
ax2 + 2(a + 4)x + a + 8 = 0
имеет два различных корня, расстояние между которыми больше 2.
ax2 + 2(a + 4)x + a + 8 = 0
имеет два различных корня, расстояние между которыми больше 2.
Показать ответ
(−4; 0) ∪ (0; 4)
Решение
При a = 0 уравнение линейное, поэтому a ≠ 0. Четверть дискриминанта равна (a + 4)2 − a(a + 8) = 16.
Квадрат расстояния между корнями равен 4(16)a2, и условие «больше 2» превращается в 4(16) > 4a2 (она же автоматически даёт положительность дискриминанта).
Ответ: (−4; 0) ∪ (0; 4).
Квадрат расстояния между корнями равен 4(16)a2, и условие «больше 2» превращается в 4(16) > 4a2 (она же автоматически даёт положительность дискриминанта).
Ответ: (−4; 0) ∪ (0; 4).
Пример 4
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
ax2 + 2(a + 4)x + a + 5 = 0
имеет два различных корня, расстояние между которыми больше 1.
ax2 + 2(a + 4)x + a + 5 = 0
имеет два различных корня, расстояние между которыми больше 1.
Показать ответ
(−4; 0) ∪ (0; 16)
Решение
При a = 0 уравнение линейное, поэтому a ≠ 0. Четверть дискриминанта равна (a + 4)2 − a(a + 5) = 3a + 16.
Квадрат расстояния между корнями равен 4(3a + 16)a2, и условие «больше 1» превращается в 4(3a + 16) > a2 (она же автоматически даёт положительность дискриминанта).
Ответ: (−4; 0) ∪ (0; 16).
Квадрат расстояния между корнями равен 4(3a + 16)a2, и условие «больше 1» превращается в 4(3a + 16) > a2 (она же автоматически даёт положительность дискриминанта).
Ответ: (−4; 0) ∪ (0; 16).
Пример 5
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
ax2 + 2(a + 8)x + a + 10 = 0
имеет два различных корня, расстояние между которыми больше 1.
ax2 + 2(a + 8)x + a + 10 = 0
имеет два различных корня, расстояние между которыми больше 1.
Показать ответ
(−8; 0) ∪ (0; 32)
Решение
При a = 0 уравнение линейное, поэтому a ≠ 0. Четверть дискриминанта равна (a + 8)2 − a(a + 10) = 6a + 64.
Квадрат расстояния между корнями равен 4(6a + 64)a2, и условие «больше 1» превращается в 4(6a + 64) > a2 (она же автоматически даёт положительность дискриминанта).
Ответ: (−8; 0) ∪ (0; 32).
Квадрат расстояния между корнями равен 4(6a + 64)a2, и условие «больше 1» превращается в 4(6a + 64) > a2 (она же автоматически даёт положительность дискриминанта).
Ответ: (−8; 0) ∪ (0; 32).
Другие темы задания №19
1Линейный знаменатель: (k²x²−a²)/(px−q−ra) = 02Разность квадратов внизу: (k²x²−a²)/((x+m)²−a²) = 03Параметр в свободном члене: (x²−2mx+a)/((kx−a)(x−a)) = 04(ca−x²+bx)/(x−a²) = 0 — полюс x = a², кубическое уравнение выкалываний5Полюсы ±√a: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²−a) = 06Раскладывающийся знаменатель: (x²−2mx+a²+2ta)/((kx+a)(x−a)) = 07Выкалывания через резольвенту: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²+px−qa) = 08Параметр в обеих частях: (x²+2ux−ca)/(x²−2vx+a²−2wa) = 09Модуль в числителе: (|kx|−x−c−a)/(x²−px−qa) = 010Модуль и a² внизу: (|kx−b|+ra−b)/(x²−2mx+a²) = 011Промежуток области определения: (x²−a(a−1)x−a³)/√(квадратный) = 012(x²−2mx+a²)/√((a+b−x)(a−c+x)) = 0 на отрезке
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.