(ax²−2x)² + … = 0 — трёхчлен по t раскладывается — задание 19 ЕГЭ по профильной математике
Квадрат по замене, расстояние между корнями. 4 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
ax2 − 2x2 + (27a2 − a − 2)(ax2 − 2x) − 27a2(a + 2) = 0
имеет ровно два различных решения.
ax2 − 2x2 + (27a2 − a − 2)(ax2 − 2x) − 27a2(a + 2) = 0
имеет ровно два различных решения.
Показать ответ
{0} ∪ (1/3; +∞)
Решение
Обозначим t = ax2 − 2x. Тогда левая часть — квадратный трёхчлен по t, который раскладывается на множители:
t2 + (27a2 − a − 2)t − 27a2(a + 2) = (t + 27a2)(t − a − 2) = 0.
Значит ax2 − 2x = −27a2 или ax2 − 2x = a + 2, то есть
ax2 − 2x + 27a2 = 0 и ax2 − 2x − a − 2 = 0.
У первого четверть дискриминанта равна 1 − 27a3, у второго — (a + 1)2 ≥ 0, то есть второе уравнение корни имеет всегда. Ровно два различных корня получаются, когда первое уравнение корней не имеет либо когда оба уравнения совпадают.
Ответ: {0} ∪ (1/3; +∞).
t2 + (27a2 − a − 2)t − 27a2(a + 2) = (t + 27a2)(t − a − 2) = 0.
Значит ax2 − 2x = −27a2 или ax2 − 2x = a + 2, то есть
ax2 − 2x + 27a2 = 0 и ax2 − 2x − a − 2 = 0.
У первого четверть дискриминанта равна 1 − 27a3, у второго — (a + 1)2 ≥ 0, то есть второе уравнение корни имеет всегда. Ровно два различных корня получаются, когда первое уравнение корней не имеет либо когда оба уравнения совпадают.
Ответ: {0} ∪ (1/3; +∞).
Пример 2
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
ax2 − 2x2 + (a2 − a + 2)(ax2 − 2x) − a2(a − 2) = 0
имеет ровно два различных решения.
ax2 − 2x2 + (a2 − a + 2)(ax2 − 2x) − a2(a − 2) = 0
имеет ровно два различных решения.
Показать ответ
{−2} ∪ {0} ∪ (1; +∞)
Решение
Обозначим t = ax2 − 2x. Тогда левая часть — квадратный трёхчлен по t, который раскладывается на множители:
t2 + (a2 − a + 2)t − a2(a − 2) = (t + a2)(t − a + 2) = 0.
Значит ax2 − 2x = −a2 или ax2 − 2x = a − 2, то есть
ax2 − 2x + a2 = 0 и ax2 − 2x − a + 2 = 0.
У первого четверть дискриминанта равна 1 − a3, у второго — (a − 1)2 ≥ 0, то есть второе уравнение корни имеет всегда. Ровно два различных корня получаются, когда первое уравнение корней не имеет либо когда оба уравнения совпадают.
Ответ: {−2} ∪ {0} ∪ (1; +∞).
t2 + (a2 − a + 2)t − a2(a − 2) = (t + a2)(t − a + 2) = 0.
Значит ax2 − 2x = −a2 или ax2 − 2x = a − 2, то есть
ax2 − 2x + a2 = 0 и ax2 − 2x − a + 2 = 0.
У первого четверть дискриминанта равна 1 − a3, у второго — (a − 1)2 ≥ 0, то есть второе уравнение корни имеет всегда. Ровно два различных корня получаются, когда первое уравнение корней не имеет либо когда оба уравнения совпадают.
Ответ: {−2} ∪ {0} ∪ (1; +∞).
Пример 3
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
ax2 − 2x2 + (8a2 − a − 2)(ax2 − 2x) − 8a2(a + 2) = 0
имеет ровно два различных решения.
ax2 − 2x2 + (8a2 − a − 2)(ax2 − 2x) − 8a2(a + 2) = 0
имеет ровно два различных решения.
Показать ответ
{0} ∪ (1/2; +∞)
Решение
Обозначим t = ax2 − 2x. Тогда левая часть — квадратный трёхчлен по t, который раскладывается на множители:
t2 + (8a2 − a − 2)t − 8a2(a + 2) = (t + 8a2)(t − a − 2) = 0.
Значит ax2 − 2x = −8a2 или ax2 − 2x = a + 2, то есть
ax2 − 2x + 8a2 = 0 и ax2 − 2x − a − 2 = 0.
У первого четверть дискриминанта равна 1 − 8a3, у второго — (a + 1)2 ≥ 0, то есть второе уравнение корни имеет всегда. Ровно два различных корня получаются, когда первое уравнение корней не имеет либо когда оба уравнения совпадают.
Ответ: {0} ∪ (1/2; +∞).
t2 + (8a2 − a − 2)t − 8a2(a + 2) = (t + 8a2)(t − a − 2) = 0.
Значит ax2 − 2x = −8a2 или ax2 − 2x = a + 2, то есть
ax2 − 2x + 8a2 = 0 и ax2 − 2x − a − 2 = 0.
У первого четверть дискриминанта равна 1 − 8a3, у второго — (a + 1)2 ≥ 0, то есть второе уравнение корни имеет всегда. Ровно два различных корня получаются, когда первое уравнение корней не имеет либо когда оба уравнения совпадают.
Ответ: {0} ∪ (1/2; +∞).
Пример 4
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
ax2 − 2x2 + (a2 − a − 2)(ax2 − 2x) − a2(a + 2) = 0
имеет ровно два различных решения.
ax2 − 2x2 + (a2 − a − 2)(ax2 − 2x) − a2(a + 2) = 0
имеет ровно два различных решения.
Показать ответ
{0} ∪ (1; +∞)
Решение
Обозначим t = ax2 − 2x. Тогда левая часть — квадратный трёхчлен по t, который раскладывается на множители:
t2 + (a2 − a − 2)t − a2(a + 2) = (t + a2)(t − a − 2) = 0.
Значит ax2 − 2x = −a2 или ax2 − 2x = a + 2, то есть
ax2 − 2x + a2 = 0 и ax2 − 2x − a − 2 = 0.
У первого четверть дискриминанта равна 1 − a3, у второго — (a + 1)2 ≥ 0, то есть второе уравнение корни имеет всегда. Ровно два различных корня получаются, когда первое уравнение корней не имеет либо когда оба уравнения совпадают.
Ответ: {0} ∪ (1; +∞).
t2 + (a2 − a − 2)t − a2(a + 2) = (t + a2)(t − a − 2) = 0.
Значит ax2 − 2x = −a2 или ax2 − 2x = a + 2, то есть
ax2 − 2x + a2 = 0 и ax2 − 2x − a − 2 = 0.
У первого четверть дискриминанта равна 1 − a3, у второго — (a + 1)2 ≥ 0, то есть второе уравнение корни имеет всегда. Ровно два различных корня получаются, когда первое уравнение корней не имеет либо когда оба уравнения совпадают.
Ответ: {0} ∪ (1; +∞).
Другие темы задания №19
1Линейный знаменатель: (k²x²−a²)/(px−q−ra) = 02Разность квадратов внизу: (k²x²−a²)/((x+m)²−a²) = 03Параметр в свободном члене: (x²−2mx+a)/((kx−a)(x−a)) = 04(ca−x²+bx)/(x−a²) = 0 — полюс x = a², кубическое уравнение выкалываний5Полюсы ±√a: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²−a) = 06Раскладывающийся знаменатель: (x²−2mx+a²+2ta)/((kx+a)(x−a)) = 07Выкалывания через резольвенту: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²+px−qa) = 08Параметр в обеих частях: (x²+2ux−ca)/(x²−2vx+a²−2wa) = 09Модуль в числителе: (|kx|−x−c−a)/(x²−px−qa) = 010Модуль и a² внизу: (|kx−b|+ra−b)/(x²−2mx+a²) = 011Промежуток области определения: (x²−a(a−1)x−a³)/√(квадратный) = 012(x²−2mx+a²)/√((a+b−x)(a−c+x)) = 0 на отрезке
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.