ax+√(r²−(x+m)²) = ap+q — пучок прямых и полуокружность — задание 19 ЕГЭ по профильной математике
Рациональные, четвёртой степени, кусочные. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
ax + = a + 3
имеет единственный корень.
ax + = a + 3
имеет единственный корень.
Показать ответ
(−∞; −3/8) ∪ (3/2; +∞)
Решение
Подкоренное выражение равно 25 − (x + 2)2, поэтому ОДЗ — отрезок [−7; 3], а график левой части — верхняя полуокружность с центром (−2; 0) радиуса 5.
Уравнение равносильно √(25 − (x + 2)2) = a(1 − x) + 3 — справа семейство прямых, проходящих через точку (1; 3).
Единственный корень — когда прямая пересекает полуокружность ровно один раз (в том числе касание).
Ответ: (−∞; −3/8) ∪ (3/2; +∞).
Уравнение равносильно √(25 − (x + 2)2) = a(1 − x) + 3 — справа семейство прямых, проходящих через точку (1; 3).
Единственный корень — когда прямая пересекает полуокружность ровно один раз (в том числе касание).
Ответ: (−∞; −3/8) ∪ (3/2; +∞).
Пример 2
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
ax + = a + 2
имеет единственный корень.
ax + = a + 2
имеет единственный корень.
Показать ответ
[−2; −2/5) ∪ {0}
Решение
Подкоренное выражение равно 4 − (x + 2)2, поэтому ОДЗ — отрезок [−4; 0], а график левой части — верхняя полуокружность с центром (−2; 0) радиуса 2.
Уравнение равносильно √(4 − (x + 2)2) = a(1 − x) + 2 — справа семейство прямых, проходящих через точку (1; 2).
Единственный корень — когда прямая пересекает полуокружность ровно один раз (в том числе касание).
Ответ: [−2; −2/5) ∪ {0}.
Уравнение равносильно √(4 − (x + 2)2) = a(1 − x) + 2 — справа семейство прямых, проходящих через точку (1; 2).
Единственный корень — когда прямая пересекает полуокружность ровно один раз (в том числе касание).
Ответ: [−2; −2/5) ∪ {0}.
Пример 3
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
ax + = 3a + 3
имеет единственный корень.
ax + = 3a + 3
имеет единственный корень.
Показать ответ
[−1; −1/3) ∪ {0}
Решение
Подкоренное выражение равно 9 − (x + 3)2, поэтому ОДЗ — отрезок [−6; 0], а график левой части — верхняя полуокружность с центром (−3; 0) радиуса 3.
Уравнение равносильно √(9 − (x + 3)2) = a(3 − x) + 3 — справа семейство прямых, проходящих через точку (3; 3).
Единственный корень — когда прямая пересекает полуокружность ровно один раз (в том числе касание).
Ответ: [−1; −1/3) ∪ {0}.
Уравнение равносильно √(9 − (x + 3)2) = a(3 − x) + 3 — справа семейство прямых, проходящих через точку (3; 3).
Единственный корень — когда прямая пересекает полуокружность ровно один раз (в том числе касание).
Ответ: [−1; −1/3) ∪ {0}.
Пример 4
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
ax + = a + 2
имеет единственный корень.
ax + = a + 2
имеет единственный корень.
Показать ответ
[−1; −1/3) ∪ {0}
Решение
Подкоренное выражение равно 4 − (x + 3)2, поэтому ОДЗ — отрезок [−5; −1], а график левой части — верхняя полуокружность с центром (−3; 0) радиуса 2.
Уравнение равносильно √(4 − (x + 3)2) = a(1 − x) + 2 — справа семейство прямых, проходящих через точку (1; 2).
Единственный корень — когда прямая пересекает полуокружность ровно один раз (в том числе касание).
Ответ: [−1; −1/3) ∪ {0}.
Уравнение равносильно √(4 − (x + 3)2) = a(1 − x) + 2 — справа семейство прямых, проходящих через точку (1; 2).
Единственный корень — когда прямая пересекает полуокружность ровно один раз (в том числе касание).
Ответ: [−1; −1/3) ∪ {0}.
Пример 5
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
ax + = 2a + 4
имеет единственный корень.
ax + = 2a + 4
имеет единственный корень.
Показать ответ
[−4/3; −4/11) ∪ {0}
Решение
Подкоренное выражение равно 16 − (x + 5)2, поэтому ОДЗ — отрезок [−9; −1], а график левой части — верхняя полуокружность с центром (−5; 0) радиуса 4.
Уравнение равносильно √(16 − (x + 5)2) = a(2 − x) + 4 — справа семейство прямых, проходящих через точку (2; 4).
Единственный корень — когда прямая пересекает полуокружность ровно один раз (в том числе касание).
Ответ: [−4/3; −4/11) ∪ {0}.
Уравнение равносильно √(16 − (x + 5)2) = a(2 − x) + 4 — справа семейство прямых, проходящих через точку (2; 4).
Единственный корень — когда прямая пересекает полуокружность ровно один раз (в том числе касание).
Ответ: [−4/3; −4/11) ∪ {0}.
Другие темы задания №19
1Линейный знаменатель: (k²x²−a²)/(px−q−ra) = 02Разность квадратов внизу: (k²x²−a²)/((x+m)²−a²) = 03Параметр в свободном члене: (x²−2mx+a)/((kx−a)(x−a)) = 04(ca−x²+bx)/(x−a²) = 0 — полюс x = a², кубическое уравнение выкалываний5Полюсы ±√a: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²−a) = 06Раскладывающийся знаменатель: (x²−2mx+a²+2ta)/((kx+a)(x−a)) = 07Выкалывания через резольвенту: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²+px−qa) = 08Параметр в обеих частях: (x²+2ux−ca)/(x²−2vx+a²−2wa) = 09Модуль в числителе: (|kx|−x−c−a)/(x²−px−qa) = 010Модуль и a² внизу: (|kx−b|+ra−b)/(x²−2mx+a²) = 011Промежуток области определения: (x²−a(a−1)x−a³)/√(квадратный) = 012(x²−2mx+a²)/√((a+b−x)(a−c+x)) = 0 на отрезке
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.