Более двух корней: |x²−2ax+c| = |ka−x²−2bx−d| — задание 19 ЕГЭ по профильной математике
Квадрат по замене, расстояние между корнями. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
|x2 − 2ax + 36| = |8a − x2 − 4x − 20|
имеет более двух различных корней.
|x2 − 2ax + 36| = |8a − x2 − 4x − 20|
имеет более двух различных корней.
Показать ответ
(−∞; −18) ∪ {−2} ∪ (6; 13/2) ∪ (13/2; +∞)
Решение
Обозначим A = x2 − 2ax + 36 и B = 8a − x2 − 4x − 20. Равенство |A| = |B| означает A = B или A = −B.
Случай A = −B: квадраты сокращаются, остаётся −2ax + 36 = 4x − 8a + 20, то есть 2(a + 2)x = 8(a + 2). При a ≠ −2 отсюда x = 4 — один и тот же корень при всех a, а при a = −2 равенство выполняется тождественно (решений бесконечно много).
Случай A = B: 2x2 + 4x − 2ax + 36 + 20 − 8a = 0, то есть x2 + (2 − a)x + 56 − 8a2 = 0.
Больше двух корней — значит это квадратное уравнение должно давать два корня, отличных от 4.
Ответ: (−∞; −18) ∪ {−2} ∪ (6; 13/2) ∪ (13/2; +∞).
Случай A = −B: квадраты сокращаются, остаётся −2ax + 36 = 4x − 8a + 20, то есть 2(a + 2)x = 8(a + 2). При a ≠ −2 отсюда x = 4 — один и тот же корень при всех a, а при a = −2 равенство выполняется тождественно (решений бесконечно много).
Случай A = B: 2x2 + 4x − 2ax + 36 + 20 − 8a = 0, то есть x2 + (2 − a)x + 56 − 8a2 = 0.
Больше двух корней — значит это квадратное уравнение должно давать два корня, отличных от 4.
Ответ: (−∞; −18) ∪ {−2} ∪ (6; 13/2) ∪ (13/2; +∞).
Пример 2
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
|x2 − 2ax + 22| = |6a − x2 − 2x − 16|
имеет более двух различных корней.
|x2 − 2ax + 22| = |6a − x2 − 2x − 16|
имеет более двух различных корней.
Показать ответ
(−∞; −15) ∪ {−1} ∪ (5; 31/6) ∪ (31/6; +∞)
Решение
Обозначим A = x2 − 2ax + 22 и B = 6a − x2 − 2x − 16. Равенство |A| = |B| означает A = B или A = −B.
Случай A = −B: квадраты сокращаются, остаётся −2ax + 22 = 2x − 6a + 16, то есть 2(a + 1)x = 6(a + 1). При a ≠ −1 отсюда x = 3 — один и тот же корень при всех a, а при a = −1 равенство выполняется тождественно (решений бесконечно много).
Случай A = B: 2x2 + 2x − 2ax + 22 + 16 − 6a = 0, то есть x2 + (1 − a)x + 38 − 6a2 = 0.
Больше двух корней — значит это квадратное уравнение должно давать два корня, отличных от 3.
Ответ: (−∞; −15) ∪ {−1} ∪ (5; 31/6) ∪ (31/6; +∞).
Случай A = −B: квадраты сокращаются, остаётся −2ax + 22 = 2x − 6a + 16, то есть 2(a + 1)x = 6(a + 1). При a ≠ −1 отсюда x = 3 — один и тот же корень при всех a, а при a = −1 равенство выполняется тождественно (решений бесконечно много).
Случай A = B: 2x2 + 2x − 2ax + 22 + 16 − 6a = 0, то есть x2 + (1 − a)x + 38 − 6a2 = 0.
Больше двух корней — значит это квадратное уравнение должно давать два корня, отличных от 3.
Ответ: (−∞; −15) ∪ {−1} ∪ (5; 31/6) ∪ (31/6; +∞).
Пример 3
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
|x2 − 2ax + 5| = |2a − x2 − 2x − 3|
имеет более двух различных корней.
|x2 − 2ax + 5| = |2a − x2 − 2x − 3|
имеет более двух различных корней.
Показать ответ
(−∞; −5) ∪ {−1} ∪ (3; +∞)
Решение
Обозначим A = x2 − 2ax + 5 и B = 2a − x2 − 2x − 3. Равенство |A| = |B| означает A = B или A = −B.
Случай A = −B: квадраты сокращаются, остаётся −2ax + 5 = 2x − 2a + 3, то есть 2(a + 1)x = 2(a + 1). При a ≠ −1 отсюда x = 1 — один и тот же корень при всех a, а при a = −1 равенство выполняется тождественно (решений бесконечно много).
Случай A = B: 2x2 + 2x − 2ax + 5 + 3 − 2a = 0, то есть x2 + (1 − a)x + 8 − 2a2 = 0.
Больше двух корней — значит это квадратное уравнение должно давать два корня, отличных от 1.
Ответ: (−∞; −5) ∪ {−1} ∪ (3; +∞).
Случай A = −B: квадраты сокращаются, остаётся −2ax + 5 = 2x − 2a + 3, то есть 2(a + 1)x = 2(a + 1). При a ≠ −1 отсюда x = 1 — один и тот же корень при всех a, а при a = −1 равенство выполняется тождественно (решений бесконечно много).
Случай A = B: 2x2 + 2x − 2ax + 5 + 3 − 2a = 0, то есть x2 + (1 − a)x + 8 − 2a2 = 0.
Больше двух корней — значит это квадратное уравнение должно давать два корня, отличных от 1.
Ответ: (−∞; −5) ∪ {−1} ∪ (3; +∞).
Пример 4
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
|x2 − 2ax + 14| = |2a − x2 − 6x − 8|
имеет более двух различных корней.
|x2 − 2ax + 14| = |2a − x2 − 6x − 8|
имеет более двух различных корней.
Показать ответ
(−∞; −5) ∪ {−3} ∪ (7; 15/2) ∪ (15/2; +∞)
Решение
Обозначим A = x2 − 2ax + 14 и B = 2a − x2 − 6x − 8. Равенство |A| = |B| означает A = B или A = −B.
Случай A = −B: квадраты сокращаются, остаётся −2ax + 14 = 6x − 2a + 8, то есть 2(a + 3)x = 2(a + 3). При a ≠ −3 отсюда x = 1 — один и тот же корень при всех a, а при a = −3 равенство выполняется тождественно (решений бесконечно много).
Случай A = B: 2x2 + 6x − 2ax + 14 + 8 − 2a = 0, то есть x2 + (3 − a)x + 22 − 2a2 = 0.
Больше двух корней — значит это квадратное уравнение должно давать два корня, отличных от 1.
Ответ: (−∞; −5) ∪ {−3} ∪ (7; 15/2) ∪ (15/2; +∞).
Случай A = −B: квадраты сокращаются, остаётся −2ax + 14 = 6x − 2a + 8, то есть 2(a + 3)x = 2(a + 3). При a ≠ −3 отсюда x = 1 — один и тот же корень при всех a, а при a = −3 равенство выполняется тождественно (решений бесконечно много).
Случай A = B: 2x2 + 6x − 2ax + 14 + 8 − 2a = 0, то есть x2 + (3 − a)x + 22 − 2a2 = 0.
Больше двух корней — значит это квадратное уравнение должно давать два корня, отличных от 1.
Ответ: (−∞; −5) ∪ {−3} ∪ (7; 15/2) ∪ (15/2; +∞).
Пример 5
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
|x2 − 2ax + 19| = |6a − x2 − 4x − 7|
имеет более двух различных корней.
|x2 − 2ax + 19| = |6a − x2 − 4x − 7|
имеет более двух различных корней.
Показать ответ
(−∞; −12) ∪ {−2} ∪ (4; 14/3) ∪ (14/3; +∞)
Решение
Обозначим A = x2 − 2ax + 19 и B = 6a − x2 − 4x − 7. Равенство |A| = |B| означает A = B или A = −B.
Случай A = −B: квадраты сокращаются, остаётся −2ax + 19 = 4x − 6a + 7, то есть 2(a + 2)x = 6(a + 2). При a ≠ −2 отсюда x = 3 — один и тот же корень при всех a, а при a = −2 равенство выполняется тождественно (решений бесконечно много).
Случай A = B: 2x2 + 4x − 2ax + 19 + 7 − 6a = 0, то есть x2 + (2 − a)x + 26 − 6a2 = 0.
Больше двух корней — значит это квадратное уравнение должно давать два корня, отличных от 3.
Ответ: (−∞; −12) ∪ {−2} ∪ (4; 14/3) ∪ (14/3; +∞).
Случай A = −B: квадраты сокращаются, остаётся −2ax + 19 = 4x − 6a + 7, то есть 2(a + 2)x = 6(a + 2). При a ≠ −2 отсюда x = 3 — один и тот же корень при всех a, а при a = −2 равенство выполняется тождественно (решений бесконечно много).
Случай A = B: 2x2 + 4x − 2ax + 19 + 7 − 6a = 0, то есть x2 + (2 − a)x + 26 − 6a2 = 0.
Больше двух корней — значит это квадратное уравнение должно давать два корня, отличных от 3.
Ответ: (−∞; −12) ∪ {−2} ∪ (4; 14/3) ∪ (14/3; +∞).
Другие темы задания №19
1Линейный знаменатель: (k²x²−a²)/(px−q−ra) = 02Разность квадратов внизу: (k²x²−a²)/((x+m)²−a²) = 03Параметр в свободном члене: (x²−2mx+a)/((kx−a)(x−a)) = 04(ca−x²+bx)/(x−a²) = 0 — полюс x = a², кубическое уравнение выкалываний5Полюсы ±√a: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²−a) = 06Раскладывающийся знаменатель: (x²−2mx+a²+2ta)/((kx+a)(x−a)) = 07Выкалывания через резольвенту: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²+px−qa) = 08Параметр в обеих частях: (x²+2ux−ca)/(x²−2vx+a²−2wa) = 09Модуль в числителе: (|kx|−x−c−a)/(x²−px−qa) = 010Модуль и a² внизу: (|kx−b|+ra−b)/(x²−2mx+a²) = 011Промежуток области определения: (x²−a(a−1)x−a³)/√(квадратный) = 012(x²−2mx+a²)/√((a+b−x)(a−c+x)) = 0 на отрезке
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.