Более двух решений: {2x−2y−2d = |x²+y²−ρ²|; пучок через вершину} — задание 19 ЕГЭ по профильной математике
Кривая с модулем + прямая. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Найдите все значения a, при каждом из которых система
2x − 2y + 6 = |x2 + y2 − 9|y − 3 = ax
имеет более двух различных решений.
2x − 2y + 6 = |x2 + y2 − 9|y − 3 = ax
имеет более двух различных решений.
Показать ответ
(−∞; −1/2) ∪ (1; +∞)
Решение
Раскроем модуль. Если x2 + y2 ≥ 9, то x2 + y2 − 9 = 2x − 2y + 6, то есть (x − 1)2 + (y + 1)2 = 17.
Если же x2 + y2 < 9, получаем (x + 1)2 + (y − 1)2 = 5.
На первой окружности x2 + y2 − 9 = 2(x − y + 3), на второй — −2(x − y + 3), поэтому первая берётся при x − y ≥ −3, вторая — при x − y > −3. Значит кривая состоит из двух дуг с общими концами (0; 3) и (−3; 0).
Пучок y − 3 = ax проходит через вершину (0; 3), поэтому одна общая точка есть при любом a; условие x − y ⋛ −3 на прямой равносильно (1 − a)x ⋛ 0, то есть отсекает луч.
Больше двух решений — когда прямая, кроме вершины, задевает дуги ещё хотя бы дважды; границы дают касания и значение a = 1 (прямая идёт вдоль хорды).
Ответ: (−∞; −1/2) ∪ (1; +∞).
Если же x2 + y2 < 9, получаем (x + 1)2 + (y − 1)2 = 5.
На первой окружности x2 + y2 − 9 = 2(x − y + 3), на второй — −2(x − y + 3), поэтому первая берётся при x − y ≥ −3, вторая — при x − y > −3. Значит кривая состоит из двух дуг с общими концами (0; 3) и (−3; 0).
Пучок y − 3 = ax проходит через вершину (0; 3), поэтому одна общая точка есть при любом a; условие x − y ⋛ −3 на прямой равносильно (1 − a)x ⋛ 0, то есть отсекает луч.
Больше двух решений — когда прямая, кроме вершины, задевает дуги ещё хотя бы дважды; границы дают касания и значение a = 1 (прямая идёт вдоль хорды).
Ответ: (−∞; −1/2) ∪ (1; +∞).
Пример 2
Найдите все значения a, при каждом из которых система
2x − 2y − 2 = |x2 + y2 − 25|y − 3 = a(x − 4)
имеет более двух различных решений.
2x − 2y − 2 = |x2 + y2 − 25|y − 3 = a(x − 4)
имеет более двух различных решений.
Показать ответ
(−∞; −5/2) ∪ (1; +∞)
Решение
Раскроем модуль. Если x2 + y2 ≥ 25, то x2 + y2 − 25 = 2x − 2y − 2, то есть (x − 1)2 + (y + 1)2 = 25.
Если же x2 + y2 < 25, получаем (x + 1)2 + (y − 1)2 = 29.
На первой окружности x2 + y2 − 25 = 2(x − y − 1), на второй — −2(x − y − 1), поэтому первая берётся при x − y ≥ 1, вторая — при x − y > 1. Значит кривая состоит из двух дуг с общими концами (4; 3) и (−3; −4).
Пучок y − 3 = a(x − 4) проходит через вершину (4; 3), поэтому одна общая точка есть при любом a; условие x − y ⋛ 1 на прямой равносильно (1 − a)(x − 4) ⋛ 0, то есть отсекает луч.
Больше двух решений — когда прямая, кроме вершины, задевает дуги ещё хотя бы дважды; границы дают касания и значение a = 1 (прямая идёт вдоль хорды).
Ответ: (−∞; −5/2) ∪ (1; +∞).
Если же x2 + y2 < 25, получаем (x + 1)2 + (y − 1)2 = 29.
На первой окружности x2 + y2 − 25 = 2(x − y − 1), на второй — −2(x − y − 1), поэтому первая берётся при x − y ≥ 1, вторая — при x − y > 1. Значит кривая состоит из двух дуг с общими концами (4; 3) и (−3; −4).
Пучок y − 3 = a(x − 4) проходит через вершину (4; 3), поэтому одна общая точка есть при любом a; условие x − y ⋛ 1 на прямой равносильно (1 − a)(x − 4) ⋛ 0, то есть отсекает луч.
Больше двух решений — когда прямая, кроме вершины, задевает дуги ещё хотя бы дважды; границы дают касания и значение a = 1 (прямая идёт вдоль хорды).
Ответ: (−∞; −5/2) ∪ (1; +∞).
Пример 3
Найдите все значения a, при каждом из которых система
2x − 2y + 2 = |x2 + y2 − 1|y − 1 = ax
имеет более двух различных решений.
2x − 2y + 2 = |x2 + y2 − 1|y − 1 = ax
имеет более двух различных решений.
Показать ответ
(1; +∞)
Решение
Раскроем модуль. Если x2 + y2 ≥ 1, то x2 + y2 − 1 = 2x − 2y + 2, то есть (x − 1)2 + (y + 1)2 = 5.
Если же x2 + y2 < 1, получаем (x + 1)2 + (y − 1)2 = 1.
На первой окружности x2 + y2 − 1 = 2(x − y + 1), на второй — −2(x − y + 1), поэтому первая берётся при x − y ≥ −1, вторая — при x − y > −1. Значит кривая состоит из двух дуг с общими концами (0; 1) и (−1; 0).
Пучок y − 1 = ax проходит через вершину (0; 1), поэтому одна общая точка есть при любом a; условие x − y ⋛ −1 на прямой равносильно (1 − a)x ⋛ 0, то есть отсекает луч.
Больше двух решений — когда прямая, кроме вершины, задевает дуги ещё хотя бы дважды; границы дают касания и значение a = 1 (прямая идёт вдоль хорды).
Ответ: (1; +∞).
Если же x2 + y2 < 1, получаем (x + 1)2 + (y − 1)2 = 1.
На первой окружности x2 + y2 − 1 = 2(x − y + 1), на второй — −2(x − y + 1), поэтому первая берётся при x − y ≥ −1, вторая — при x − y > −1. Значит кривая состоит из двух дуг с общими концами (0; 1) и (−1; 0).
Пучок y − 1 = ax проходит через вершину (0; 1), поэтому одна общая точка есть при любом a; условие x − y ⋛ −1 на прямой равносильно (1 − a)x ⋛ 0, то есть отсекает луч.
Больше двух решений — когда прямая, кроме вершины, задевает дуги ещё хотя бы дважды; границы дают касания и значение a = 1 (прямая идёт вдоль хорды).
Ответ: (1; +∞).
Пример 4
Найдите все значения a, при каждом из которых система
2x − 2y − 6 = |x2 + y2 − 9|y = a(x − 3)
имеет более двух различных решений.
2x − 2y − 6 = |x2 + y2 − 9|y = a(x − 3)
имеет более двух различных решений.
Показать ответ
(1; 4)
Решение
Раскроем модуль. Если x2 + y2 ≥ 9, то x2 + y2 − 9 = 2x − 2y − 6, то есть (x − 1)2 + (y + 1)2 = 5.
Если же x2 + y2 < 9, получаем (x + 1)2 + (y − 1)2 = 17.
На первой окружности x2 + y2 − 9 = 2(x − y − 3), на второй — −2(x − y − 3), поэтому первая берётся при x − y ≥ 3, вторая — при x − y > 3. Значит кривая состоит из двух дуг с общими концами (3; 0) и (0; −3).
Пучок y = a(x − 3) проходит через вершину (3; 0), поэтому одна общая точка есть при любом a; условие x − y ⋛ 3 на прямой равносильно (1 − a)(x − 3) ⋛ 0, то есть отсекает луч.
Больше двух решений — когда прямая, кроме вершины, задевает дуги ещё хотя бы дважды; границы дают касания и значение a = 1 (прямая идёт вдоль хорды).
Ответ: (1; 4).
Если же x2 + y2 < 9, получаем (x + 1)2 + (y − 1)2 = 17.
На первой окружности x2 + y2 − 9 = 2(x − y − 3), на второй — −2(x − y − 3), поэтому первая берётся при x − y ≥ 3, вторая — при x − y > 3. Значит кривая состоит из двух дуг с общими концами (3; 0) и (0; −3).
Пучок y = a(x − 3) проходит через вершину (3; 0), поэтому одна общая точка есть при любом a; условие x − y ⋛ 3 на прямой равносильно (1 − a)(x − 3) ⋛ 0, то есть отсекает луч.
Больше двух решений — когда прямая, кроме вершины, задевает дуги ещё хотя бы дважды; границы дают касания и значение a = 1 (прямая идёт вдоль хорды).
Ответ: (1; 4).
Пример 5
Найдите все значения a, при каждом из которых система
2x − 2y − 12 = |x2 + y2 − 36|y = a(x − 6)
имеет более двух различных решений.
2x − 2y − 12 = |x2 + y2 − 36|y = a(x − 6)
имеет более двух различных решений.
Показать ответ
(1; 7)
Решение
Раскроем модуль. Если x2 + y2 ≥ 36, то x2 + y2 − 36 = 2x − 2y − 12, то есть (x − 1)2 + (y + 1)2 = 26.
Если же x2 + y2 < 36, получаем (x + 1)2 + (y − 1)2 = 50.
На первой окружности x2 + y2 − 36 = 2(x − y − 6), на второй — −2(x − y − 6), поэтому первая берётся при x − y ≥ 6, вторая — при x − y > 6. Значит кривая состоит из двух дуг с общими концами (6; 0) и (0; −6).
Пучок y = a(x − 6) проходит через вершину (6; 0), поэтому одна общая точка есть при любом a; условие x − y ⋛ 6 на прямой равносильно (1 − a)(x − 6) ⋛ 0, то есть отсекает луч.
Больше двух решений — когда прямая, кроме вершины, задевает дуги ещё хотя бы дважды; границы дают касания и значение a = 1 (прямая идёт вдоль хорды).
Ответ: (1; 7).
Если же x2 + y2 < 36, получаем (x + 1)2 + (y − 1)2 = 50.
На первой окружности x2 + y2 − 36 = 2(x − y − 6), на второй — −2(x − y − 6), поэтому первая берётся при x − y ≥ 6, вторая — при x − y > 6. Значит кривая состоит из двух дуг с общими концами (6; 0) и (0; −6).
Пучок y = a(x − 6) проходит через вершину (6; 0), поэтому одна общая точка есть при любом a; условие x − y ⋛ 6 на прямой равносильно (1 − a)(x − 6) ⋛ 0, то есть отсекает луч.
Больше двух решений — когда прямая, кроме вершины, задевает дуги ещё хотя бы дважды; границы дают касания и значение a = 1 (прямая идёт вдоль хорды).
Ответ: (1; 7).
Другие темы задания №19
1Линейный знаменатель: (k²x²−a²)/(px−q−ra) = 02Разность квадратов внизу: (k²x²−a²)/((x+m)²−a²) = 03Параметр в свободном члене: (x²−2mx+a)/((kx−a)(x−a)) = 04(ca−x²+bx)/(x−a²) = 0 — полюс x = a², кубическое уравнение выкалываний5Полюсы ±√a: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²−a) = 06Раскладывающийся знаменатель: (x²−2mx+a²+2ta)/((kx+a)(x−a)) = 07Выкалывания через резольвенту: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²+px−qa) = 08Параметр в обеих частях: (x²+2ux−ca)/(x²−2vx+a²−2wa) = 09Модуль в числителе: (|kx|−x−c−a)/(x²−px−qa) = 010Модуль и a² внизу: (|kx−b|+ra−b)/(x²−2mx+a²) = 011Промежуток области определения: (x²−a(a−1)x−a³)/√(квадратный) = 012(x²−2mx+a²)/√((a+b−x)(a−c+x)) = 0 на отрезке
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.