Более двух решений: {f(x)=f(y) с |x²−2dx|; x+y=a} — задание 19 ЕГЭ по профильной математике
Окружность и семейство кривых; два модуля. 4 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Найдите все значения a, при каждом из которых система
x2 + |x2 − 8x| = y2 + |y2 − 8y|x + y = a
имеет более двух решений.
x2 + |x2 − 8x| = y2 + |y2 − 8y|x + y = a
имеет более двух решений.
Показать ответ
(0; 4]
Решение
Обозначим f(s) = s2 + |s2 − 8s|. При 0 ≤ s ≤ 8 модуль раскрывается со знаком минус и квадраты сокращаются: f(s) = 8s — ЛИНЕЙНАЯ функция.
При s ≤ 0 и при s ≥ 8 получаем f(s) = 2s2 − 8s.
Система означает f(x) = f(a − x); решение x = a/2 есть всегда, значит «более двух решений» — это «есть решение с x ≠ a − x».
Если оба числа вне отрезка [0; 8], разность равна 2(x − y)(x + y − 4), то есть при a = 4 подходит бесконечно много точек. Если оба внутри, линейность сразу даёт x = a − x.
В смешанном случае 2x2 − 8x = 8(a − x) даёт x2 = 4a, то есть x = ± — и нужно, чтобы такое x было вне отрезка, а a − x — внутри.
Ответ: (0; 4].
При s ≤ 0 и при s ≥ 8 получаем f(s) = 2s2 − 8s.
Система означает f(x) = f(a − x); решение x = a/2 есть всегда, значит «более двух решений» — это «есть решение с x ≠ a − x».
Если оба числа вне отрезка [0; 8], разность равна 2(x − y)(x + y − 4), то есть при a = 4 подходит бесконечно много точек. Если оба внутри, линейность сразу даёт x = a − x.
В смешанном случае 2x2 − 8x = 8(a − x) даёт x2 = 4a, то есть x = ± — и нужно, чтобы такое x было вне отрезка, а a − x — внутри.
Ответ: (0; 4].
Пример 2
Найдите все значения a, при каждом из которых система
x2 + |x2 − 10x| = y2 + |y2 − 10y|x + y = a
имеет более двух решений.
x2 + |x2 − 10x| = y2 + |y2 − 10y|x + y = a
имеет более двух решений.
Показать ответ
(0; 5]
Решение
Обозначим f(s) = s2 + |s2 − 10s|. При 0 ≤ s ≤ 10 модуль раскрывается со знаком минус и квадраты сокращаются: f(s) = 10s — ЛИНЕЙНАЯ функция.
При s ≤ 0 и при s ≥ 10 получаем f(s) = 2s2 − 10s.
Система означает f(x) = f(a − x); решение x = a/2 есть всегда, значит «более двух решений» — это «есть решение с x ≠ a − x».
Если оба числа вне отрезка [0; 10], разность равна 2(x − y)(x + y − 5), то есть при a = 5 подходит бесконечно много точек. Если оба внутри, линейность сразу даёт x = a − x.
В смешанном случае 2x2 − 10x = 10(a − x) даёт x2 = 5a, то есть x = ± — и нужно, чтобы такое x было вне отрезка, а a − x — внутри.
Ответ: (0; 5].
При s ≤ 0 и при s ≥ 10 получаем f(s) = 2s2 − 10s.
Система означает f(x) = f(a − x); решение x = a/2 есть всегда, значит «более двух решений» — это «есть решение с x ≠ a − x».
Если оба числа вне отрезка [0; 10], разность равна 2(x − y)(x + y − 5), то есть при a = 5 подходит бесконечно много точек. Если оба внутри, линейность сразу даёт x = a − x.
В смешанном случае 2x2 − 10x = 10(a − x) даёт x2 = 5a, то есть x = ± — и нужно, чтобы такое x было вне отрезка, а a − x — внутри.
Ответ: (0; 5].
Пример 3
Найдите все значения a, при каждом из которых система
x2 + |x2 − 4x| = y2 + |y2 − 4y|x + y = a
имеет более двух решений.
x2 + |x2 − 4x| = y2 + |y2 − 4y|x + y = a
имеет более двух решений.
Показать ответ
(0; 2]
Решение
Обозначим f(s) = s2 + |s2 − 4s|. При 0 ≤ s ≤ 4 модуль раскрывается со знаком минус и квадраты сокращаются: f(s) = 4s — ЛИНЕЙНАЯ функция.
При s ≤ 0 и при s ≥ 4 получаем f(s) = 2s2 − 4s.
Система означает f(x) = f(a − x); решение x = a/2 есть всегда, значит «более двух решений» — это «есть решение с x ≠ a − x».
Если оба числа вне отрезка [0; 4], разность равна 2(x − y)(x + y − 2), то есть при a = 2 подходит бесконечно много точек. Если оба внутри, линейность сразу даёт x = a − x.
В смешанном случае 2x2 − 4x = 4(a − x) даёт x2 = 2a, то есть x = ± — и нужно, чтобы такое x было вне отрезка, а a − x — внутри.
Ответ: (0; 2].
При s ≤ 0 и при s ≥ 4 получаем f(s) = 2s2 − 4s.
Система означает f(x) = f(a − x); решение x = a/2 есть всегда, значит «более двух решений» — это «есть решение с x ≠ a − x».
Если оба числа вне отрезка [0; 4], разность равна 2(x − y)(x + y − 2), то есть при a = 2 подходит бесконечно много точек. Если оба внутри, линейность сразу даёт x = a − x.
В смешанном случае 2x2 − 4x = 4(a − x) даёт x2 = 2a, то есть x = ± — и нужно, чтобы такое x было вне отрезка, а a − x — внутри.
Ответ: (0; 2].
Пример 4
Найдите все значения a, при каждом из которых система
x2 + |x2 − 2x| = y2 + |y2 − 2y|x + y = a
имеет более двух решений.
x2 + |x2 − 2x| = y2 + |y2 − 2y|x + y = a
имеет более двух решений.
Показать ответ
(0; 1]
Решение
Обозначим f(s) = s2 + |s2 − 2s|. При 0 ≤ s ≤ 2 модуль раскрывается со знаком минус и квадраты сокращаются: f(s) = 2s — ЛИНЕЙНАЯ функция.
При s ≤ 0 и при s ≥ 2 получаем f(s) = 2s2 − 2s.
Система означает f(x) = f(a − x); решение x = a/2 есть всегда, значит «более двух решений» — это «есть решение с x ≠ a − x».
Если оба числа вне отрезка [0; 2], разность равна 2(x − y)(x + y − 1), то есть при a = 1 подходит бесконечно много точек. Если оба внутри, линейность сразу даёт x = a − x.
В смешанном случае 2x2 − 2x = 2(a − x) даёт x2 = a, то есть x = ± — и нужно, чтобы такое x было вне отрезка, а a − x — внутри.
Ответ: (0; 1].
При s ≤ 0 и при s ≥ 2 получаем f(s) = 2s2 − 2s.
Система означает f(x) = f(a − x); решение x = a/2 есть всегда, значит «более двух решений» — это «есть решение с x ≠ a − x».
Если оба числа вне отрезка [0; 2], разность равна 2(x − y)(x + y − 1), то есть при a = 1 подходит бесконечно много точек. Если оба внутри, линейность сразу даёт x = a − x.
В смешанном случае 2x2 − 2x = 2(a − x) даёт x2 = a, то есть x = ± — и нужно, чтобы такое x было вне отрезка, а a − x — внутри.
Ответ: (0; 1].
Другие темы задания №19
1Линейный знаменатель: (k²x²−a²)/(px−q−ra) = 02Разность квадратов внизу: (k²x²−a²)/((x+m)²−a²) = 03Параметр в свободном члене: (x²−2mx+a)/((kx−a)(x−a)) = 04(ca−x²+bx)/(x−a²) = 0 — полюс x = a², кубическое уравнение выкалываний5Полюсы ±√a: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²−a) = 06Раскладывающийся знаменатель: (x²−2mx+a²+2ta)/((kx+a)(x−a)) = 07Выкалывания через резольвенту: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²+px−qa) = 08Параметр в обеих частях: (x²+2ux−ca)/(x²−2vx+a²−2wa) = 09Модуль в числителе: (|kx|−x−c−a)/(x²−px−qa) = 010Модуль и a² внизу: (|kx−b|+ra−b)/(x²−2mx+a²) = 011Промежуток области определения: (x²−a(a−1)x−a³)/√(квадратный) = 012(x²−2mx+a²)/√((a+b−x)(a−c+x)) = 0 на отрезке
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.