Более двух решений: {f(x)=f(y) с |x²−c²|; x+y=a} — задание 19 ЕГЭ по профильной математике
Окружность и семейство кривых; два модуля. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Найдите все значения a, при каждом из которых система
|x2 − 16| + 2x − x2 = |y2 − 16| + 2y − y2x + y = a
имеет более двух решений.
|x2 − 16| + 2x − x2 = |y2 − 16| + 2y − y2x + y = a
имеет более двух решений.
Показать ответ
[1; 17]
Решение
Обозначим f(s) = |s2 − 16| + 2s − s2. При |s| ≥ 4 модуль раскрывается со знаком плюс и квадраты сокращаются: f(s) = 2s − 16 — ЛИНЕЙНАЯ функция.
При |s| < 4 получаем f(s) = −2s2 + 2s + 16 — параболу.
Система означает f(x) = f(a − x). Решение x = a/2 есть всегда, поэтому «более двух решений» — это «есть решение с x ≠ a − x».
Если оба числа вне полосы, из линейности сразу x = a − x. Если оба внутри, разность равна (1 − a)(4x − 2a): при a = 1 подходит целый отрезок.
Остаётся смешанный случай (одно внутри, другое вне): подстановка даёт u2 − 2u + a − 16 = 0, то есть u = 1 ± , и нужно, чтобы такое u попало в полосу, а a − u — вне неё.
Ответ: [1; 17].
При |s| < 4 получаем f(s) = −2s2 + 2s + 16 — параболу.
Система означает f(x) = f(a − x). Решение x = a/2 есть всегда, поэтому «более двух решений» — это «есть решение с x ≠ a − x».
Если оба числа вне полосы, из линейности сразу x = a − x. Если оба внутри, разность равна (1 − a)(4x − 2a): при a = 1 подходит целый отрезок.
Остаётся смешанный случай (одно внутри, другое вне): подстановка даёт u2 − 2u + a − 16 = 0, то есть u = 1 ± , и нужно, чтобы такое u попало в полосу, а a − u — вне неё.
Ответ: [1; 17].
Пример 2
Найдите все значения a, при каждом из которых система
|x2 − 1| + 2x − x2 = |y2 − 1| + 2y − y2x + y = a
имеет более двух решений.
|x2 − 1| + 2x − x2 = |y2 − 1| + 2y − y2x + y = a
имеет более двух решений.
Показать ответ
[1; 2)
Решение
Обозначим f(s) = |s2 − 1| + 2s − s2. При |s| ≥ 1 модуль раскрывается со знаком плюс и квадраты сокращаются: f(s) = 2s − 1 — ЛИНЕЙНАЯ функция.
При |s| < 1 получаем f(s) = −2s2 + 2s + 1 — параболу.
Система означает f(x) = f(a − x). Решение x = a/2 есть всегда, поэтому «более двух решений» — это «есть решение с x ≠ a − x».
Если оба числа вне полосы, из линейности сразу x = a − x. Если оба внутри, разность равна (1 − a)(4x − 2a): при a = 1 подходит целый отрезок.
Остаётся смешанный случай (одно внутри, другое вне): подстановка даёт u2 − 2u + a − 1 = 0, то есть u = 1 ± , и нужно, чтобы такое u попало в полосу, а a − u — вне неё.
Ответ: [1; 2).
При |s| < 1 получаем f(s) = −2s2 + 2s + 1 — параболу.
Система означает f(x) = f(a − x). Решение x = a/2 есть всегда, поэтому «более двух решений» — это «есть решение с x ≠ a − x».
Если оба числа вне полосы, из линейности сразу x = a − x. Если оба внутри, разность равна (1 − a)(4x − 2a): при a = 1 подходит целый отрезок.
Остаётся смешанный случай (одно внутри, другое вне): подстановка даёт u2 − 2u + a − 1 = 0, то есть u = 1 ± , и нужно, чтобы такое u попало в полосу, а a − u — вне неё.
Ответ: [1; 2).
Пример 3
Найдите все значения a, при каждом из которых система
|x2 − 4| + 2x − x2 = |y2 − 4| + 2y − y2x + y = a
имеет более двух решений.
|x2 − 4| + 2x − x2 = |y2 − 4| + 2y − y2x + y = a
имеет более двух решений.
Показать ответ
[1; 5]
Решение
Обозначим f(s) = |s2 − 4| + 2s − s2. При |s| ≥ 2 модуль раскрывается со знаком плюс и квадраты сокращаются: f(s) = 2s − 4 — ЛИНЕЙНАЯ функция.
При |s| < 2 получаем f(s) = −2s2 + 2s + 4 — параболу.
Система означает f(x) = f(a − x). Решение x = a/2 есть всегда, поэтому «более двух решений» — это «есть решение с x ≠ a − x».
Если оба числа вне полосы, из линейности сразу x = a − x. Если оба внутри, разность равна (1 − a)(4x − 2a): при a = 1 подходит целый отрезок.
Остаётся смешанный случай (одно внутри, другое вне): подстановка даёт u2 − 2u + a − 4 = 0, то есть u = 1 ± , и нужно, чтобы такое u попало в полосу, а a − u — вне неё.
Ответ: [1; 5].
При |s| < 2 получаем f(s) = −2s2 + 2s + 4 — параболу.
Система означает f(x) = f(a − x). Решение x = a/2 есть всегда, поэтому «более двух решений» — это «есть решение с x ≠ a − x».
Если оба числа вне полосы, из линейности сразу x = a − x. Если оба внутри, разность равна (1 − a)(4x − 2a): при a = 1 подходит целый отрезок.
Остаётся смешанный случай (одно внутри, другое вне): подстановка даёт u2 − 2u + a − 4 = 0, то есть u = 1 ± , и нужно, чтобы такое u попало в полосу, а a − u — вне неё.
Ответ: [1; 5].
Пример 4
Найдите все значения a, при каждом из которых система
|x2 − 9| + 2x − x2 = |y2 − 9| + 2y − y2x + y = a
имеет более двух решений.
|x2 − 9| + 2x − x2 = |y2 − 9| + 2y − y2x + y = a
имеет более двух решений.
Показать ответ
[1; 10]
Решение
Обозначим f(s) = |s2 − 9| + 2s − s2. При |s| ≥ 3 модуль раскрывается со знаком плюс и квадраты сокращаются: f(s) = 2s − 9 — ЛИНЕЙНАЯ функция.
При |s| < 3 получаем f(s) = −2s2 + 2s + 9 — параболу.
Система означает f(x) = f(a − x). Решение x = a/2 есть всегда, поэтому «более двух решений» — это «есть решение с x ≠ a − x».
Если оба числа вне полосы, из линейности сразу x = a − x. Если оба внутри, разность равна (1 − a)(4x − 2a): при a = 1 подходит целый отрезок.
Остаётся смешанный случай (одно внутри, другое вне): подстановка даёт u2 − 2u + a − 9 = 0, то есть u = 1 ± , и нужно, чтобы такое u попало в полосу, а a − u — вне неё.
Ответ: [1; 10].
При |s| < 3 получаем f(s) = −2s2 + 2s + 9 — параболу.
Система означает f(x) = f(a − x). Решение x = a/2 есть всегда, поэтому «более двух решений» — это «есть решение с x ≠ a − x».
Если оба числа вне полосы, из линейности сразу x = a − x. Если оба внутри, разность равна (1 − a)(4x − 2a): при a = 1 подходит целый отрезок.
Остаётся смешанный случай (одно внутри, другое вне): подстановка даёт u2 − 2u + a − 9 = 0, то есть u = 1 ± , и нужно, чтобы такое u попало в полосу, а a − u — вне неё.
Ответ: [1; 10].
Пример 5
Найдите все значения a, при каждом из которых система
|x2 − 16| + 12x − x2 = |y2 − 16| + 12y − y2x + y = a
имеет более двух решений.
|x2 − 16| + 12x − x2 = |y2 − 16| + 12y − y2x + y = a
имеет более двух решений.
Показать ответ
[6; 8)
Решение
Обозначим f(s) = |s2 − 16| + 12s − s2. При |s| ≥ 4 модуль раскрывается со знаком плюс и квадраты сокращаются: f(s) = 12s − 16 — ЛИНЕЙНАЯ функция.
При |s| < 4 получаем f(s) = −2s2 + 12s + 16 — параболу.
Система означает f(x) = f(a − x). Решение x = a/2 есть всегда, поэтому «более двух решений» — это «есть решение с x ≠ a − x».
Если оба числа вне полосы, из линейности сразу x = a − x. Если оба внутри, разность равна (6 − a)(4x − 2a): при a = 6 подходит целый отрезок.
Остаётся смешанный случай (одно внутри, другое вне): подстановка даёт u2 − 12u + 6a − 16 = 0, то есть u = 6 ± , и нужно, чтобы такое u попало в полосу, а a − u — вне неё.
Ответ: [6; 8).
При |s| < 4 получаем f(s) = −2s2 + 12s + 16 — параболу.
Система означает f(x) = f(a − x). Решение x = a/2 есть всегда, поэтому «более двух решений» — это «есть решение с x ≠ a − x».
Если оба числа вне полосы, из линейности сразу x = a − x. Если оба внутри, разность равна (6 − a)(4x − 2a): при a = 6 подходит целый отрезок.
Остаётся смешанный случай (одно внутри, другое вне): подстановка даёт u2 − 12u + 6a − 16 = 0, то есть u = 6 ± , и нужно, чтобы такое u попало в полосу, а a − u — вне неё.
Ответ: [6; 8).
Другие темы задания №19
1Линейный знаменатель: (k²x²−a²)/(px−q−ra) = 02Разность квадратов внизу: (k²x²−a²)/((x+m)²−a²) = 03Параметр в свободном члене: (x²−2mx+a)/((kx−a)(x−a)) = 04(ca−x²+bx)/(x−a²) = 0 — полюс x = a², кубическое уравнение выкалываний5Полюсы ±√a: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²−a) = 06Раскладывающийся знаменатель: (x²−2mx+a²+2ta)/((kx+a)(x−a)) = 07Выкалывания через резольвенту: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²+px−qa) = 08Параметр в обеих частях: (x²+2ux−ca)/(x²−2vx+a²−2wa) = 09Модуль в числителе: (|kx|−x−c−a)/(x²−px−qa) = 010Модуль и a² внизу: (|kx−b|+ra−b)/(x²−2mx+a²) = 011Промежуток области определения: (x²−a(a−1)x−a³)/√(квадратный) = 012(x²−2mx+a²)/√((a+b−x)(a−c+x)) = 0 на отрезке
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.