Более двух решений: тот же «лепесток», но семейство параллельных прямых — задание 19 ЕГЭ по профильной математике
Кривая с модулем + прямая. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Найдите все значения a, при каждом из которых система
x2 + y2 − 8y − 4 = 8|x − y − 2|4x + 3y = a
имеет более двух различных решений.
x2 + y2 − 8y − 4 = 8|x − y − 2|4x + 3y = a
имеет более двух различных решений.
Показать ответ
[6; 8] ∪ [22; 26]
Решение
Раскроем модуль: при x − y − 2 ≥ 0 получаем окружность (x − 4)2 + y2 = 4, при x − y − 2 < 0 — окружность (x + 4)2 + (y − 8)2 = 100.
Прямая x − y − 2 = 0 — радикальная ось этих окружностей, поэтому она проходит через их общие точки (2; 0) и (4; 2), и кривая склеена из двух дуг с этими концами.
Вторая строка задаёт семейство ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ прямых с нормалью (4; 3). Прямая 4x + 3y = a касается первой окружности при a = 16 ± 10, второй — при a = 8 ± 50, а через точки стыка проходит при a = 8 и a = 22.
Между соседними критическими значениями число общих точек постоянно; больше двух их оказывается только на [6; 8] ∪ [22; 26].
Ответ: [6; 8] ∪ [22; 26].
Прямая x − y − 2 = 0 — радикальная ось этих окружностей, поэтому она проходит через их общие точки (2; 0) и (4; 2), и кривая склеена из двух дуг с этими концами.
Вторая строка задаёт семейство ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ прямых с нормалью (4; 3). Прямая 4x + 3y = a касается первой окружности при a = 16 ± 10, второй — при a = 8 ± 50, а через точки стыка проходит при a = 8 и a = 22.
Между соседними критическими значениями число общих точек постоянно; больше двух их оказывается только на [6; 8] ∪ [22; 26].
Ответ: [6; 8] ∪ [22; 26].
Пример 2
Найдите все значения a, при каждом из которых система
x2 − x + y2 − y = |x − y|4x + 3y = a
имеет более двух различных решений.
x2 − x + y2 − y = |x − y|4x + 3y = a
имеет более двух различных решений.
Показать ответ
[−1; 0] ∪ [7; 8]
Решение
Раскроем модуль: при x − y ≥ 0 получаем окружность (x − 1)2 + y2 = 1, при x − y < 0 — окружность x2 + (y − 1)2 = 1.
Прямая x − y = 0 — радикальная ось этих окружностей, поэтому она проходит через их общие точки (1; 1) и (0; 0), и кривая склеена из двух дуг с этими концами.
Вторая строка задаёт семейство ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ прямых с нормалью (4; 3). Прямая 4x + 3y = a касается первой окружности при a = 4 ± 5, второй — при a = 3 ± 5, а через точки стыка проходит при a = 7 и a = 0.
Между соседними критическими значениями число общих точек постоянно; больше двух их оказывается только на [−1; 0] ∪ [7; 8].
Ответ: [−1; 0] ∪ [7; 8].
Прямая x − y = 0 — радикальная ось этих окружностей, поэтому она проходит через их общие точки (1; 1) и (0; 0), и кривая склеена из двух дуг с этими концами.
Вторая строка задаёт семейство ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ прямых с нормалью (4; 3). Прямая 4x + 3y = a касается первой окружности при a = 4 ± 5, второй — при a = 3 ± 5, а через точки стыка проходит при a = 7 и a = 0.
Между соседними критическими значениями число общих точек постоянно; больше двух их оказывается только на [−1; 0] ∪ [7; 8].
Ответ: [−1; 0] ∪ [7; 8].
Пример 3
Найдите все значения a, при каждом из которых система
x2 + x + y2 − 7y + 10 = 3|3x − y + 5|3x + 4y = a
имеет более двух различных решений.
x2 + x + y2 − 7y + 10 = 3|3x − y + 5|3x + 4y = a
имеет более двух различных решений.
Показать ответ
[−5; 5] ∪ [20; 30]
Решение
Раскроем модуль: при 3x − y + 5 ≥ 0 получаем окружность (x − 4)2 + (y − 2)2 = 25, при 3x − y + 5 < 0 — окружность (x + 5)2 + (y − 5)2 = 25.
Прямая 3x − y + 5 = 0 — радикальная ось этих окружностей, поэтому она проходит через их общие точки (−1; 2) и (0; 5), и кривая склеена из двух дуг с этими концами.
Вторая строка задаёт семейство ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ прямых с нормалью (3; 4). Прямая 3x + 4y = a касается первой окружности при a = 20 ± 25, второй — при a = 5 ± 25, а через точки стыка проходит при a = 5 и a = 20.
Между соседними критическими значениями число общих точек постоянно; больше двух их оказывается только на [−5; 5] ∪ [20; 30].
Ответ: [−5; 5] ∪ [20; 30].
Прямая 3x − y + 5 = 0 — радикальная ось этих окружностей, поэтому она проходит через их общие точки (−1; 2) и (0; 5), и кривая склеена из двух дуг с этими концами.
Вторая строка задаёт семейство ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ прямых с нормалью (3; 4). Прямая 3x + 4y = a касается первой окружности при a = 20 ± 25, второй — при a = 5 ± 25, а через точки стыка проходит при a = 5 и a = 20.
Между соседними критическими значениями число общих точек постоянно; больше двух их оказывается только на [−5; 5] ∪ [20; 30].
Ответ: [−5; 5] ∪ [20; 30].
Пример 4
Найдите все значения a, при каждом из которых система
x2 − 2x + y2 − 6y + 8 = 6|x − y + 2|2x + y = a
имеет более двух различных решений.
x2 − 2x + y2 − 6y + 8 = 6|x − y + 2|2x + y = a
имеет более двух различных решений.
Показать ответ
[−2; 2] ∪ [8; 12]
Решение
Раскроем модуль: при x − y + 2 ≥ 0 получаем окружность (x − 4)2 + y2 = 20, при x − y + 2 < 0 — окружность (x + 2)2 + (y − 6)2 = 20.
Прямая x − y + 2 = 0 — радикальная ось этих окружностей, поэтому она проходит через их общие точки (0; 2) и (2; 4), и кривая склеена из двух дуг с этими концами.
Вторая строка задаёт семейство ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ прямых с нормалью (2; 1). Прямая 2x + y = a касается первой окружности при a = 8 ± 10, второй — при a = 2 ± 10, а через точки стыка проходит при a = 2 и a = 8.
Между соседними критическими значениями число общих точек постоянно; больше двух их оказывается только на [−2; 2] ∪ [8; 12].
Ответ: [−2; 2] ∪ [8; 12].
Прямая x − y + 2 = 0 — радикальная ось этих окружностей, поэтому она проходит через их общие точки (0; 2) и (2; 4), и кривая склеена из двух дуг с этими концами.
Вторая строка задаёт семейство ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ прямых с нормалью (2; 1). Прямая 2x + y = a касается первой окружности при a = 8 ± 10, второй — при a = 2 ± 10, а через точки стыка проходит при a = 2 и a = 8.
Между соседними критическими значениями число общих точек постоянно; больше двух их оказывается только на [−2; 2] ∪ [8; 12].
Ответ: [−2; 2] ∪ [8; 12].
Пример 5
Найдите все значения a, при каждом из которых система
x2 − 8x + y2 + 4y + 15 = 4|2x − y − 10|4x + 3y = a
имеет более двух различных решений.
x2 − 8x + y2 + 4y + 15 = 4|2x − y − 10|4x + 3y = a
имеет более двух различных решений.
Показать ответ
[−5; 0] ∪ [20; 25]
Решение
Раскроем модуль: при 2x − y − 10 ≥ 0 получаем окружность (x − 8)2 + (y + 4)2 = 25, при 2x − y − 10 < 0 — окружность x2 + y2 = 25.
Прямая 2x − y − 10 = 0 — радикальная ось этих окружностей, поэтому она проходит через их общие точки (3; −4) и (5; 0), и кривая склеена из двух дуг с этими концами.
Вторая строка задаёт семейство ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ прямых с нормалью (4; 3). Прямая 4x + 3y = a касается первой окружности при a = 20 ± 25, второй — при a = 0 ± 25, а через точки стыка проходит при a = 0 и a = 20.
Между соседними критическими значениями число общих точек постоянно; больше двух их оказывается только на [−5; 0] ∪ [20; 25].
Ответ: [−5; 0] ∪ [20; 25].
Прямая 2x − y − 10 = 0 — радикальная ось этих окружностей, поэтому она проходит через их общие точки (3; −4) и (5; 0), и кривая склеена из двух дуг с этими концами.
Вторая строка задаёт семейство ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ прямых с нормалью (4; 3). Прямая 4x + 3y = a касается первой окружности при a = 20 ± 25, второй — при a = 0 ± 25, а через точки стыка проходит при a = 0 и a = 20.
Между соседними критическими значениями число общих точек постоянно; больше двух их оказывается только на [−5; 0] ∪ [20; 25].
Ответ: [−5; 0] ∪ [20; 25].
Другие темы задания №19
1Линейный знаменатель: (k²x²−a²)/(px−q−ra) = 02Разность квадратов внизу: (k²x²−a²)/((x+m)²−a²) = 03Параметр в свободном члене: (x²−2mx+a)/((kx−a)(x−a)) = 04(ca−x²+bx)/(x−a²) = 0 — полюс x = a², кубическое уравнение выкалываний5Полюсы ±√a: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²−a) = 06Раскладывающийся знаменатель: (x²−2mx+a²+2ta)/((kx+a)(x−a)) = 07Выкалывания через резольвенту: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²+px−qa) = 08Параметр в обеих частях: (x²+2ux−ca)/(x²−2vx+a²−2wa) = 09Модуль в числителе: (|kx|−x−c−a)/(x²−px−qa) = 010Модуль и a² внизу: (|kx−b|+ra−b)/(x²−2mx+a²) = 011Промежуток области определения: (x²−a(a−1)x−a³)/√(квадратный) = 012(x²−2mx+a²)/√((a+b−x)(a−c+x)) = 0 на отрезке
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.