Более двух решений: {y²−αx−c = |x²−px−q|; x−2y = a} — задание 19 ЕГЭ по профильной математике
Кривая с модулем + прямая. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Найдите все значения a, при каждом из которых система
y2 + x − 3 = |x2 − x − 2|x − 2y = a
имеет более двух различных решений.
y2 + x − 3 = |x2 − x − 2|x − 2y = a
имеет более двух различных решений.
Показать ответ
[4; 5]
Решение
Корни подмодульного трёхчлена — x = −1 и x = 2.
Вне отрезка [−1; 2] модуль раскрывается со знаком «+», и первая строка даёт y2 = x2 − 2x + 1 = (x − 1)2, то есть ДВЕ прямые y = ±(x − 1).
Внутри отрезка знак противоположный: y2 = −x2 + 5, то есть дуга окружности x2 + y2 = 5. В концах отрезка обе записи дают одно и то же — кривая непрерывна.
Прямая x − 2y = a пересекает прямую y = x − 1 в точке x = −a + 2, прямую y = −(x − 1) — в точке x = a + 23; засчитываются они только если попали ВНЕ отрезка.
Точки на дуге ищутся из 5x2 − (0 + 2a)x + -20 + a2 = 0; касание происходит при a = 0 ± 5.
Ответ: [4; 5].
Вне отрезка [−1; 2] модуль раскрывается со знаком «+», и первая строка даёт y2 = x2 − 2x + 1 = (x − 1)2, то есть ДВЕ прямые y = ±(x − 1).
Внутри отрезка знак противоположный: y2 = −x2 + 5, то есть дуга окружности x2 + y2 = 5. В концах отрезка обе записи дают одно и то же — кривая непрерывна.
Прямая x − 2y = a пересекает прямую y = x − 1 в точке x = −a + 2, прямую y = −(x − 1) — в точке x = a + 23; засчитываются они только если попали ВНЕ отрезка.
Точки на дуге ищутся из 5x2 − (0 + 2a)x + -20 + a2 = 0; касание происходит при a = 0 ± 5.
Ответ: [4; 5].
Пример 2
Найдите все значения a, при каждом из которых система
y2 − 2x − 8 = |x2 − 2x − 8|x − 2y = a
имеет более двух различных решений.
y2 − 2x − 8 = |x2 − 2x − 8|x − 2y = a
имеет более двух различных решений.
Показать ответ
[−8; −6]
Решение
Корни подмодульного трёхчлена — x = −2 и x = 4.
Вне отрезка [−2; 4] модуль раскрывается со знаком «+», и первая строка даёт y2 = x2 = x2, то есть ДВЕ прямые y = ±x.
Внутри отрезка знак противоположный: y2 = −x2 + 4x + 16, то есть дуга окружности (x − 2)2 + y2 = 20. В концах отрезка обе записи дают одно и то же — кривая непрерывна.
Прямая x − 2y = a пересекает прямую y = x в точке x = −a, прямую y = −x — в точке x = a3; засчитываются они только если попали ВНЕ отрезка.
Точки на дуге ищутся из 5x2 − (16 + 2a)x + -64 + a2 = 0; касание происходит при a = 2 ± 10.
Ответ: [−8; −6].
Вне отрезка [−2; 4] модуль раскрывается со знаком «+», и первая строка даёт y2 = x2 = x2, то есть ДВЕ прямые y = ±x.
Внутри отрезка знак противоположный: y2 = −x2 + 4x + 16, то есть дуга окружности (x − 2)2 + y2 = 20. В концах отрезка обе записи дают одно и то же — кривая непрерывна.
Прямая x − 2y = a пересекает прямую y = x в точке x = −a, прямую y = −x — в точке x = a3; засчитываются они только если попали ВНЕ отрезка.
Точки на дуге ищутся из 5x2 − (16 + 2a)x + -64 + a2 = 0; касание происходит при a = 2 ± 10.
Ответ: [−8; −6].
Пример 3
Найдите все значения a, при каждом из которых система
y2 − 2x − 12 = |x2 + 2x − 8|x − 2y = a
имеет более двух различных решений.
y2 − 2x − 12 = |x2 + 2x − 8|x − 2y = a
имеет более двух различных решений.
Показать ответ
[−10; −8]
Решение
Корни подмодульного трёхчлена — x = −4 и x = 2.
Вне отрезка [−4; 2] модуль раскрывается со знаком «+», и первая строка даёт y2 = x2 + 4x + 4 = (x + 2)2, то есть ДВЕ прямые y = ±(x + 2).
Внутри отрезка знак противоположный: y2 = −x2 + 20, то есть дуга окружности x2 + y2 = 20. В концах отрезка обе записи дают одно и то же — кривая непрерывна.
Прямая x − 2y = a пересекает прямую y = x + 2 в точке x = −a − 4, прямую y = −(x + 2) — в точке x = a − 43; засчитываются они только если попали ВНЕ отрезка.
Точки на дуге ищутся из 5x2 − (0 + 2a)x + -80 + a2 = 0; касание происходит при a = 0 ± 10.
Ответ: [−10; −8].
Вне отрезка [−4; 2] модуль раскрывается со знаком «+», и первая строка даёт y2 = x2 + 4x + 4 = (x + 2)2, то есть ДВЕ прямые y = ±(x + 2).
Внутри отрезка знак противоположный: y2 = −x2 + 20, то есть дуга окружности x2 + y2 = 20. В концах отрезка обе записи дают одно и то же — кривая непрерывна.
Прямая x − 2y = a пересекает прямую y = x + 2 в точке x = −a − 4, прямую y = −(x + 2) — в точке x = a − 43; засчитываются они только если попали ВНЕ отрезка.
Точки на дуге ищутся из 5x2 − (0 + 2a)x + -80 + a2 = 0; касание происходит при a = 0 ± 10.
Ответ: [−10; −8].
Пример 4
Найдите все значения a, при каждом из которых система
y2 + x − 2 = |x2 + x − 2|x − 2y = a
имеет более двух различных решений.
y2 + x − 2 = |x2 + x − 2|x − 2y = a
имеет более двух различных решений.
Показать ответ
[3; 4]
Решение
Корни подмодульного трёхчлена — x = −2 и x = 1.
Вне отрезка [−2; 1] модуль раскрывается со знаком «+», и первая строка даёт y2 = x2 = x2, то есть ДВЕ прямые y = ±x.
Внутри отрезка знак противоположный: y2 = −x2 − 2x + 4, то есть дуга окружности (x + 1)2 + y2 = 5. В концах отрезка обе записи дают одно и то же — кривая непрерывна.
Прямая x − 2y = a пересекает прямую y = x в точке x = −a, прямую y = −x — в точке x = a3; засчитываются они только если попали ВНЕ отрезка.
Точки на дуге ищутся из 5x2 − (-8 + 2a)x + -16 + a2 = 0; касание происходит при a = −1 ± 5.
Ответ: [3; 4].
Вне отрезка [−2; 1] модуль раскрывается со знаком «+», и первая строка даёт y2 = x2 = x2, то есть ДВЕ прямые y = ±x.
Внутри отрезка знак противоположный: y2 = −x2 − 2x + 4, то есть дуга окружности (x + 1)2 + y2 = 5. В концах отрезка обе записи дают одно и то же — кривая непрерывна.
Прямая x − 2y = a пересекает прямую y = x в точке x = −a, прямую y = −x — в точке x = a3; засчитываются они только если попали ВНЕ отрезка.
Точки на дуге ищутся из 5x2 − (-8 + 2a)x + -16 + a2 = 0; касание происходит при a = −1 ± 5.
Ответ: [3; 4].
Пример 5
Найдите все значения a, при каждом из которых система
y2 + 2x − 8 = |x2 + 2x − 8|x − 2y = a
имеет более двух различных решений.
y2 + 2x − 8 = |x2 + 2x − 8|x − 2y = a
имеет более двух различных решений.
Показать ответ
[6; 8]
Решение
Корни подмодульного трёхчлена — x = −4 и x = 2.
Вне отрезка [−4; 2] модуль раскрывается со знаком «+», и первая строка даёт y2 = x2 = x2, то есть ДВЕ прямые y = ±x.
Внутри отрезка знак противоположный: y2 = −x2 − 4x + 16, то есть дуга окружности (x + 2)2 + y2 = 20. В концах отрезка обе записи дают одно и то же — кривая непрерывна.
Прямая x − 2y = a пересекает прямую y = x в точке x = −a, прямую y = −x — в точке x = a3; засчитываются они только если попали ВНЕ отрезка.
Точки на дуге ищутся из 5x2 − (-16 + 2a)x + -64 + a2 = 0; касание происходит при a = −2 ± 10.
Ответ: [6; 8].
Вне отрезка [−4; 2] модуль раскрывается со знаком «+», и первая строка даёт y2 = x2 = x2, то есть ДВЕ прямые y = ±x.
Внутри отрезка знак противоположный: y2 = −x2 − 4x + 16, то есть дуга окружности (x + 2)2 + y2 = 20. В концах отрезка обе записи дают одно и то же — кривая непрерывна.
Прямая x − 2y = a пересекает прямую y = x в точке x = −a, прямую y = −x — в точке x = a3; засчитываются они только если попали ВНЕ отрезка.
Точки на дуге ищутся из 5x2 − (-16 + 2a)x + -64 + a2 = 0; касание происходит при a = −2 ± 10.
Ответ: [6; 8].
Другие темы задания №19
1Линейный знаменатель: (k²x²−a²)/(px−q−ra) = 02Разность квадратов внизу: (k²x²−a²)/((x+m)²−a²) = 03Параметр в свободном члене: (x²−2mx+a)/((kx−a)(x−a)) = 04(ca−x²+bx)/(x−a²) = 0 — полюс x = a², кубическое уравнение выкалываний5Полюсы ±√a: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²−a) = 06Раскладывающийся знаменатель: (x²−2mx+a²+2ta)/((kx+a)(x−a)) = 07Выкалывания через резольвенту: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²+px−qa) = 08Параметр в обеих частях: (x²+2ux−ca)/(x²−2vx+a²−2wa) = 09Модуль в числителе: (|kx|−x−c−a)/(x²−px−qa) = 010Модуль и a² внизу: (|kx−b|+ra−b)/(x²−2mx+a²) = 011Промежуток области определения: (x²−a(a−1)x−a³)/√(квадратный) = 012(x²−2mx+a²)/√((a+b−x)(a−c+x)) = 0 на отрезке
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.