Более одного решения: окружность и прямая, обе бегут по a — задание 19 ЕГЭ по профильной математике
Системы «две кривые»: точки, прямые, окружности. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Найдите все значения a, при каждом из которых система
(x + 2a + 1)2 + (y + 3a − 1)2 = 2a − 23x − 4y = a − 2
имеет более одного решения.
(x + 2a + 1)2 + (y + 3a − 1)2 = 2a − 23x − 4y = a − 2
имеет более одного решения.
Показать ответ
(1; 3)
Решение
Первая строка — окружность с центром (−2a − 1; −3a + 1) и квадратом радиуса 2a − 2 = 2(a − 1); она существует при a ≥ 1.
Больше одного решения — значит прямая пересекает окружность в двух точках, то есть расстояние от центра до прямой меньше радиуса.
Подставляя центр в левую часть уравнения прямой и деля на , получаем расстояние |a − 1|: числитель оказался ровно в 5 раз больше .
Условие (a − 1)2 < 2(a − 1) при a > 1 даёт a − 1 < 2.
Ответ: (1; 3).
Больше одного решения — значит прямая пересекает окружность в двух точках, то есть расстояние от центра до прямой меньше радиуса.
Подставляя центр в левую часть уравнения прямой и деля на , получаем расстояние |a − 1|: числитель оказался ровно в 5 раз больше .
Условие (a − 1)2 < 2(a − 1) при a > 1 даёт a − 1 < 2.
Ответ: (1; 3).
Пример 2
Найдите все значения a, при каждом из которых система
(x + 3a − 1)2 + (y + 3a)2 = 2a − 44x − 3y = 2a − 6
имеет более одного решения.
(x + 3a − 1)2 + (y + 3a)2 = 2a − 44x − 3y = 2a − 6
имеет более одного решения.
Показать ответ
(2; 4)
Решение
Первая строка — окружность с центром (−3a + 1; −3a) и квадратом радиуса 2a − 4 = 2(a − 2); она существует при a ≥ 2.
Больше одного решения — значит прямая пересекает окружность в двух точках, то есть расстояние от центра до прямой меньше радиуса.
Подставляя центр в левую часть уравнения прямой и деля на , получаем расстояние |a − 2|: числитель оказался ровно в 5 раз больше .
Условие (a − 2)2 < 2(a − 2) при a > 2 даёт a − 2 < 2.
Ответ: (2; 4).
Больше одного решения — значит прямая пересекает окружность в двух точках, то есть расстояние от центра до прямой меньше радиуса.
Подставляя центр в левую часть уравнения прямой и деля на , получаем расстояние |a − 2|: числитель оказался ровно в 5 раз больше .
Условие (a − 2)2 < 2(a − 2) при a > 2 даёт a − 2 < 2.
Ответ: (2; 4).
Пример 3
Найдите все значения a, при каждом из которых система
(x + 3a − 1)2 + (y + 3a + 1)2 = a − 14x − 3y = 2a + 2
имеет более одного решения.
(x + 3a − 1)2 + (y + 3a + 1)2 = a − 14x − 3y = 2a + 2
имеет более одного решения.
Показать ответ
(1; 2)
Решение
Первая строка — окружность с центром (−3a + 1; −3a − 1) и квадратом радиуса a − 1 = (a − 1); она существует при a ≥ 1.
Больше одного решения — значит прямая пересекает окружность в двух точках, то есть расстояние от центра до прямой меньше радиуса.
Подставляя центр в левую часть уравнения прямой и деля на , получаем расстояние |a − 1|: числитель оказался ровно в 5 раз больше .
Условие (a − 1)2 < (a − 1) при a > 1 даёт a − 1 < 1.
Ответ: (1; 2).
Больше одного решения — значит прямая пересекает окружность в двух точках, то есть расстояние от центра до прямой меньше радиуса.
Подставляя центр в левую часть уравнения прямой и деля на , получаем расстояние |a − 1|: числитель оказался ровно в 5 раз больше .
Условие (a − 1)2 < (a − 1) при a > 1 даёт a − 1 < 1.
Ответ: (1; 2).
Пример 4
Найдите все значения a, при каждом из которых система
(x + 3a)2 + (y + 3a)2 = 2a − 24x − 3y = 2a − 5
имеет более одного решения.
(x + 3a)2 + (y + 3a)2 = 2a − 24x − 3y = 2a − 5
имеет более одного решения.
Показать ответ
(1; 3)
Решение
Первая строка — окружность с центром (−3a; −3a) и квадратом радиуса 2a − 2 = 2(a − 1); она существует при a ≥ 1.
Больше одного решения — значит прямая пересекает окружность в двух точках, то есть расстояние от центра до прямой меньше радиуса.
Подставляя центр в левую часть уравнения прямой и деля на , получаем расстояние |a − 1|: числитель оказался ровно в 5 раз больше .
Условие (a − 1)2 < 2(a − 1) при a > 1 даёт a − 1 < 2.
Ответ: (1; 3).
Больше одного решения — значит прямая пересекает окружность в двух точках, то есть расстояние от центра до прямой меньше радиуса.
Подставляя центр в левую часть уравнения прямой и деля на , получаем расстояние |a − 1|: числитель оказался ровно в 5 раз больше .
Условие (a − 1)2 < 2(a − 1) при a > 1 даёт a − 1 < 2.
Ответ: (1; 3).
Пример 5
Найдите все значения a, при каждом из которых система
(x + 3a + 1)2 + (y + 3a + 1)2 = 2a + 24x − 3y = 2a + 4
имеет более одного решения.
(x + 3a + 1)2 + (y + 3a + 1)2 = 2a + 24x − 3y = 2a + 4
имеет более одного решения.
Показать ответ
(−1; 1)
Решение
Первая строка — окружность с центром (−3a − 1; −3a − 1) и квадратом радиуса 2a + 2 = 2(a + 1); она существует при a ≥ −1.
Больше одного решения — значит прямая пересекает окружность в двух точках, то есть расстояние от центра до прямой меньше радиуса.
Подставляя центр в левую часть уравнения прямой и деля на , получаем расстояние |a + 1|: числитель оказался ровно в 5 раз больше .
Условие (a + 1)2 < 2(a + 1) при a > −1 даёт a + 1 < 2.
Ответ: (−1; 1).
Больше одного решения — значит прямая пересекает окружность в двух точках, то есть расстояние от центра до прямой меньше радиуса.
Подставляя центр в левую часть уравнения прямой и деля на , получаем расстояние |a + 1|: числитель оказался ровно в 5 раз больше .
Условие (a + 1)2 < 2(a + 1) при a > −1 даёт a + 1 < 2.
Ответ: (−1; 1).
Другие темы задания №19
1Линейный знаменатель: (k²x²−a²)/(px−q−ra) = 02Разность квадратов внизу: (k²x²−a²)/((x+m)²−a²) = 03Параметр в свободном члене: (x²−2mx+a)/((kx−a)(x−a)) = 04(ca−x²+bx)/(x−a²) = 0 — полюс x = a², кубическое уравнение выкалываний5Полюсы ±√a: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²−a) = 06Раскладывающийся знаменатель: (x²−2mx+a²+2ta)/((kx+a)(x−a)) = 07Выкалывания через резольвенту: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²+px−qa) = 08Параметр в обеих частях: (x²+2ux−ca)/(x²−2vx+a²−2wa) = 09Модуль в числителе: (|kx|−x−c−a)/(x²−px−qa) = 010Модуль и a² внизу: (|kx−b|+ra−b)/(x²−2mx+a²) = 011Промежуток области определения: (x²−a(a−1)x−a³)/√(квадратный) = 012(x²−2mx+a²)/√((a+b−x)(a−c+x)) = 0 на отрезке
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.