Более одного решения: {|x²+y²−R²| справа; прямая px+qy=a} — задание 19 ЕГЭ по профильной математике
Окружность и семейство кривых; два модуля. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Найдите все значения a, при каждом из которых система
x2 − 6x + y2 + 8y − 12 = |x2 + y2 − 36|−6x + 8y = a
имеет более одного решения.
x2 − 6x + y2 + 8y − 12 = |x2 + y2 − 36|−6x + 8y = a
имеет более одного решения.
Показать ответ
[−24; 30)
Решение
Раскроем модуль. Если x2 + y2 ≥ 36, всё сокращается до прямой −6x + 8y = −24. Если x2 + y2 < 36, получаем окружность C: 2x2 + 2y2 − 6x + 8y − 48 = 0 радиуса 11/2.
Заметим, что для точки НА C выполнено x2 + y2 − 36 = −(−6x + 8y + 24)/2, поэтому условие «внутри круга» на C равносильно −6x + 8y > −24.
Вторая строка — прямая, ПАРАЛЛЕЛЬНАЯ первой ветви. При a = −24 она с ней совпадает и решений бесконечно много; при a < −24 решений нет вовсе; при a > −24 решения — это пересечения с C, и их два, пока расстояние от центра C до прямой меньше её радиуса.
Ответ: [−24; 30).
Заметим, что для точки НА C выполнено x2 + y2 − 36 = −(−6x + 8y + 24)/2, поэтому условие «внутри круга» на C равносильно −6x + 8y > −24.
Вторая строка — прямая, ПАРАЛЛЕЛЬНАЯ первой ветви. При a = −24 она с ней совпадает и решений бесконечно много; при a < −24 решений нет вовсе; при a > −24 решения — это пересечения с C, и их два, пока расстояние от центра C до прямой меньше её радиуса.
Ответ: [−24; 30).
Пример 2
Найдите все значения a, при каждом из которых система
x2 + 6x + y2 + 8y − 3 = |x2 + y2 − 9|6x + 8y = a
имеет более одного решения.
x2 + 6x + y2 + 8y − 3 = |x2 + y2 − 9|6x + 8y = a
имеет более одного решения.
Показать ответ
[−6; 10)
Решение
Раскроем модуль. Если x2 + y2 ≥ 9, всё сокращается до прямой 6x + 8y = −6. Если x2 + y2 < 9, получаем окружность C: 2x2 + 2y2 + 6x + 8y − 12 = 0 радиуса 7/2.
Заметим, что для точки НА C выполнено x2 + y2 − 9 = −(6x + 8y + 6)/2, поэтому условие «внутри круга» на C равносильно 6x + 8y > −6.
Вторая строка — прямая, ПАРАЛЛЕЛЬНАЯ первой ветви. При a = −6 она с ней совпадает и решений бесконечно много; при a < −6 решений нет вовсе; при a > −6 решения — это пересечения с C, и их два, пока расстояние от центра C до прямой меньше её радиуса.
Ответ: [−6; 10).
Заметим, что для точки НА C выполнено x2 + y2 − 9 = −(6x + 8y + 6)/2, поэтому условие «внутри круга» на C равносильно 6x + 8y > −6.
Вторая строка — прямая, ПАРАЛЛЕЛЬНАЯ первой ветви. При a = −6 она с ней совпадает и решений бесконечно много; при a < −6 решений нет вовсе; при a > −6 решения — это пересечения с C, и их два, пока расстояние от центра C до прямой меньше её радиуса.
Ответ: [−6; 10).
Пример 3
Найдите все значения a, при каждом из которых система
x2 + 6x + y2 + 8y + 4 = |x2 + y2 − 16|6x + 8y = a
имеет более одного решения.
x2 + 6x + y2 + 8y + 4 = |x2 + y2 − 16|6x + 8y = a
имеет более одного решения.
Показать ответ
[−20; 10)
Решение
Раскроем модуль. Если x2 + y2 ≥ 16, всё сокращается до прямой 6x + 8y = −20. Если x2 + y2 < 16, получаем окружность C: 2x2 + 2y2 + 6x + 8y − 12 = 0 радиуса 7/2.
Заметим, что для точки НА C выполнено x2 + y2 − 16 = −(6x + 8y + 20)/2, поэтому условие «внутри круга» на C равносильно 6x + 8y > −20.
Вторая строка — прямая, ПАРАЛЛЕЛЬНАЯ первой ветви. При a = −20 она с ней совпадает и решений бесконечно много; при a < −20 решений нет вовсе; при a > −20 решения — это пересечения с C, и их два, пока расстояние от центра C до прямой меньше её радиуса.
Ответ: [−20; 10).
Заметим, что для точки НА C выполнено x2 + y2 − 16 = −(6x + 8y + 20)/2, поэтому условие «внутри круга» на C равносильно 6x + 8y > −20.
Вторая строка — прямая, ПАРАЛЛЕЛЬНАЯ первой ветви. При a = −20 она с ней совпадает и решений бесконечно много; при a < −20 решений нет вовсе; при a > −20 решения — это пересечения с C, и их два, пока расстояние от центра C до прямой меньше её радиуса.
Ответ: [−20; 10).
Пример 4
Найдите все значения a, при каждом из которых система
x2 + 8x + y2 + 6y − 32 = |x2 + y2 − 16|8x + 6y = a
имеет более одного решения.
x2 + 8x + y2 + 6y − 32 = |x2 + y2 − 16|8x + 6y = a
имеет более одного решения.
Показать ответ
[16; 30)
Решение
Раскроем модуль. Если x2 + y2 ≥ 16, всё сокращается до прямой 8x + 6y = 16. Если x2 + y2 < 16, получаем окружность C: 2x2 + 2y2 + 8x + 6y − 48 = 0 радиуса 11/2.
Заметим, что для точки НА C выполнено x2 + y2 − 16 = −(8x + 6y − 16)/2, поэтому условие «внутри круга» на C равносильно 8x + 6y > 16.
Вторая строка — прямая, ПАРАЛЛЕЛЬНАЯ первой ветви. При a = 16 она с ней совпадает и решений бесконечно много; при a < 16 решений нет вовсе; при a > 16 решения — это пересечения с C, и их два, пока расстояние от центра C до прямой меньше её радиуса.
Ответ: [16; 30).
Заметим, что для точки НА C выполнено x2 + y2 − 16 = −(8x + 6y − 16)/2, поэтому условие «внутри круга» на C равносильно 8x + 6y > 16.
Вторая строка — прямая, ПАРАЛЛЕЛЬНАЯ первой ветви. При a = 16 она с ней совпадает и решений бесконечно много; при a < 16 решений нет вовсе; при a > 16 решения — это пересечения с C, и их два, пока расстояние от центра C до прямой меньше её радиуса.
Ответ: [16; 30).
Пример 5
Найдите все значения a, при каждом из которых система
x2 + 6x + y2 − 8y − 32 = |x2 + y2 − 16|6x − 8y = a
имеет более одного решения.
x2 + 6x + y2 − 8y − 32 = |x2 + y2 − 16|6x − 8y = a
имеет более одного решения.
Показать ответ
[16; 30)
Решение
Раскроем модуль. Если x2 + y2 ≥ 16, всё сокращается до прямой 6x − 8y = 16. Если x2 + y2 < 16, получаем окружность C: 2x2 + 2y2 + 6x − 8y − 48 = 0 радиуса 11/2.
Заметим, что для точки НА C выполнено x2 + y2 − 16 = −(6x − 8y − 16)/2, поэтому условие «внутри круга» на C равносильно 6x − 8y > 16.
Вторая строка — прямая, ПАРАЛЛЕЛЬНАЯ первой ветви. При a = 16 она с ней совпадает и решений бесконечно много; при a < 16 решений нет вовсе; при a > 16 решения — это пересечения с C, и их два, пока расстояние от центра C до прямой меньше её радиуса.
Ответ: [16; 30).
Заметим, что для точки НА C выполнено x2 + y2 − 16 = −(6x − 8y − 16)/2, поэтому условие «внутри круга» на C равносильно 6x − 8y > 16.
Вторая строка — прямая, ПАРАЛЛЕЛЬНАЯ первой ветви. При a = 16 она с ней совпадает и решений бесконечно много; при a < 16 решений нет вовсе; при a > 16 решения — это пересечения с C, и их два, пока расстояние от центра C до прямой меньше её радиуса.
Ответ: [16; 30).
Другие темы задания №19
1Линейный знаменатель: (k²x²−a²)/(px−q−ra) = 02Разность квадратов внизу: (k²x²−a²)/((x+m)²−a²) = 03Параметр в свободном члене: (x²−2mx+a)/((kx−a)(x−a)) = 04(ca−x²+bx)/(x−a²) = 0 — полюс x = a², кубическое уравнение выкалываний5Полюсы ±√a: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²−a) = 06Раскладывающийся знаменатель: (x²−2mx+a²+2ta)/((kx+a)(x−a)) = 07Выкалывания через резольвенту: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²+px−qa) = 08Параметр в обеих частях: (x²+2ux−ca)/(x²−2vx+a²−2wa) = 09Модуль в числителе: (|kx|−x−c−a)/(x²−px−qa) = 010Модуль и a² внизу: (|kx−b|+ra−b)/(x²−2mx+a²) = 011Промежуток области определения: (x²−a(a−1)x−a³)/√(квадратный) = 012(x²−2mx+a²)/√((a+b−x)(a−c+x)) = 0 на отрезке
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.