Более трёх решений: {ветвь гиперболы + вертикальный луч; прямая и пучок} — задание 19 ЕГЭ по профильной математике
Симметричные системы. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Найдите все значения a, при каждом из которых система
5x + 3 − y = |y − 1 + 1x|2y(y − 3) + 3x(ax + 3) = xy(2a + 3)
имеет более трёх различных решений.
5x + 3 − y = |y − 1 + 1x|2y(y − 3) + 3x(ax + 3) = xy(2a + 3)
имеет более трёх различных решений.
Показать ответ
(−1/8; 0) ∪ (0; 5/2) ∪ (5/2; +∞)
Решение
Раскроем модуль в первой строке. При y − 1 + 1/x ≥ 0 получаем 2y = 4 + 4/x, то есть ветвь гиперболы y = 2 + 2x; само условие равносильно x > 0 или x ≤ −3.
При обратном знаке переменная y сокращается, и остаётся x = −3 — вертикальный луч, на котором y < 4/3.
Вторая строка — это в точности (2y − 3x)(y − ax − 3) = 0: фиксированная прямая y = 3/2x и пучок y = ax + 3.
Фиксированная прямая пересекает кривую в 2 точках при любом a, поэтому «больше трёх решений» — это условие на пучок: он должен добавить ещё как минимум 2 точки.
Критические значения — касание пучка с гиперболой, проход через конец луча и совпадение точки пересечения прямых с точкой кривой; все они рациональны.
Ответ: (−1/8; 0) ∪ (0; 5/2) ∪ (5/2; +∞).
При обратном знаке переменная y сокращается, и остаётся x = −3 — вертикальный луч, на котором y < 4/3.
Вторая строка — это в точности (2y − 3x)(y − ax − 3) = 0: фиксированная прямая y = 3/2x и пучок y = ax + 3.
Фиксированная прямая пересекает кривую в 2 точках при любом a, поэтому «больше трёх решений» — это условие на пучок: он должен добавить ещё как минимум 2 точки.
Критические значения — касание пучка с гиперболой, проход через конец луча и совпадение точки пересечения прямых с точкой кривой; все они рациональны.
Ответ: (−1/8; 0) ∪ (0; 5/2) ∪ (5/2; +∞).
Пример 2
Найдите все значения a, при каждом из которых система
8x + 3 − y = |y − 1 + 2x|y(y − 3) + x(ax + 3) = xy(a + 1)
имеет более трёх различных решений.
8x + 3 − y = |y − 1 + 2x|y(y − 3) + x(ax + 3) = xy(a + 1)
имеет более трёх различных решений.
Показать ответ
(−1/12; 0) ∪ (0; 8/5) ∪ (8/5; +∞)
Решение
Раскроем модуль в первой строке. При y − 1 + 2/x ≥ 0 получаем 2y = 4 + 6/x, то есть ветвь гиперболы y = 2 + 3x; само условие равносильно x > 0 или x ≤ −5.
При обратном знаке переменная y сокращается, и остаётся x = −5 — вертикальный луч, на котором y < 7/5.
Вторая строка — это в точности (y − x)(y − ax − 3) = 0: фиксированная прямая y = x и пучок y = ax + 3.
Фиксированная прямая пересекает кривую в 2 точках при любом a, поэтому «больше трёх решений» — это условие на пучок: он должен добавить ещё как минимум 2 точки.
Критические значения — касание пучка с гиперболой, проход через конец луча и совпадение точки пересечения прямых с точкой кривой; все они рациональны.
Ответ: (−1/12; 0) ∪ (0; 8/5) ∪ (8/5; +∞).
При обратном знаке переменная y сокращается, и остаётся x = −5 — вертикальный луч, на котором y < 7/5.
Вторая строка — это в точности (y − x)(y − ax − 3) = 0: фиксированная прямая y = x и пучок y = ax + 3.
Фиксированная прямая пересекает кривую в 2 точках при любом a, поэтому «больше трёх решений» — это условие на пучок: он должен добавить ещё как минимум 2 точки.
Критические значения — касание пучка с гиперболой, проход через конец луча и совпадение точки пересечения прямых с точкой кривой; все они рациональны.
Ответ: (−1/12; 0) ∪ (0; 8/5) ∪ (8/5; +∞).
Пример 3
Найдите все значения a, при каждом из которых система
6x + 3 − y = |y − 1 + 2x|2y(y − 2) + 3x(ax + 2) = xy(2a + 3)
имеет более трёх различных решений.
6x + 3 − y = |y − 1 + 2x|2y(y − 2) + 3x(ax + 2) = xy(2a + 3)
имеет более трёх различных решений.
Показать ответ
(0; 1/2) ∪ (1/2; 2) ∪ (2; +∞)
Решение
Раскроем модуль в первой строке. При y − 1 + 2/x ≥ 0 получаем 2y = 4 + 4/x, то есть ветвь гиперболы y = 2 + 2x; само условие равносильно x > 0 или x ≤ −4.
При обратном знаке переменная y сокращается, и остаётся x = −4 — вертикальный луч, на котором y < 3/2.
Вторая строка — это в точности (2y − 3x)(y − ax − 2) = 0: фиксированная прямая y = 3/2x и пучок y = ax + 2.
Фиксированная прямая пересекает кривую в 2 точках при любом a, поэтому «больше трёх решений» — это условие на пучок: он должен добавить ещё как минимум 2 точки.
Критические значения — касание пучка с гиперболой, проход через конец луча и совпадение точки пересечения прямых с точкой кривой; все они рациональны.
Ответ: (0; 1/2) ∪ (1/2; 2) ∪ (2; +∞).
При обратном знаке переменная y сокращается, и остаётся x = −4 — вертикальный луч, на котором y < 3/2.
Вторая строка — это в точности (2y − 3x)(y − ax − 2) = 0: фиксированная прямая y = 3/2x и пучок y = ax + 2.
Фиксированная прямая пересекает кривую в 2 точках при любом a, поэтому «больше трёх решений» — это условие на пучок: он должен добавить ещё как минимум 2 точки.
Критические значения — касание пучка с гиперболой, проход через конец луча и совпадение точки пересечения прямых с точкой кривой; все они рациональны.
Ответ: (0; 1/2) ∪ (1/2; 2) ∪ (2; +∞).
Пример 4
Найдите все значения a, при каждом из которых система
2x + 4 − y = |y − 2 + 4x|y(y − 2) + 2x(ax + 2) = xy(a + 2)
имеет более трёх различных решений.
2x + 4 − y = |y − 2 + 4x|y(y − 2) + 2x(ax + 2) = xy(a + 2)
имеет более трёх различных решений.
Показать ответ
(−∞; −2) ∪ (−2; 8/3) ∪ (8/3; +∞)
Решение
Раскроем модуль в первой строке. При y − 2 + 4/x ≥ 0 получаем 2y = 6 + -2/x, то есть ветвь гиперболы y = 3 + -1x; само условие равносильно x > 0 или x ≤ −3.
При обратном знаке переменная y сокращается, и остаётся x = −3 — вертикальный луч, на котором y < 10/3.
Вторая строка — это в точности (y − 2x)(y − ax − 2) = 0: фиксированная прямая y = 2x и пучок y = ax + 2.
Фиксированная прямая пересекает кривую в 3 точках при любом a, поэтому «больше трёх решений» — это условие на пучок: он должен добавить ещё как минимум 1 точки.
Критические значения — касание пучка с гиперболой, проход через конец луча и совпадение точки пересечения прямых с точкой кривой; все они рациональны.
Ответ: (−∞; −2) ∪ (−2; 8/3) ∪ (8/3; +∞).
При обратном знаке переменная y сокращается, и остаётся x = −3 — вертикальный луч, на котором y < 10/3.
Вторая строка — это в точности (y − 2x)(y − ax − 2) = 0: фиксированная прямая y = 2x и пучок y = ax + 2.
Фиксированная прямая пересекает кривую в 3 точках при любом a, поэтому «больше трёх решений» — это условие на пучок: он должен добавить ещё как минимум 1 точки.
Критические значения — касание пучка с гиперболой, проход через конец луча и совпадение точки пересечения прямых с точкой кривой; все они рациональны.
Ответ: (−∞; −2) ∪ (−2; 8/3) ∪ (8/3; +∞).
Пример 5
Найдите все значения a, при каждом из которых система
5x + 4 − y = |y − 2 + 1x|y(y − 3) + 2x(ax + 3) = xy(a + 2)
имеет более трёх различных решений.
5x + 4 − y = |y − 2 + 1x|y(y − 3) + 2x(ax + 3) = xy(a + 2)
имеет более трёх различных решений.
Показать ответ
(0; 1/2) ∪ (1/2; 3) ∪ (3; +∞)
Решение
Раскроем модуль в первой строке. При y − 2 + 1/x ≥ 0 получаем 2y = 6 + 4/x, то есть ветвь гиперболы y = 3 + 2x; само условие равносильно x > 0 или x ≤ −3.
При обратном знаке переменная y сокращается, и остаётся x = −3 — вертикальный луч, на котором y < 7/3.
Вторая строка — это в точности (y − 2x)(y − ax − 3) = 0: фиксированная прямая y = 2x и пучок y = ax + 3.
Фиксированная прямая пересекает кривую в 2 точках при любом a, поэтому «больше трёх решений» — это условие на пучок: он должен добавить ещё как минимум 2 точки.
Критические значения — касание пучка с гиперболой, проход через конец луча и совпадение точки пересечения прямых с точкой кривой; все они рациональны.
Ответ: (0; 1/2) ∪ (1/2; 3) ∪ (3; +∞).
При обратном знаке переменная y сокращается, и остаётся x = −3 — вертикальный луч, на котором y < 7/3.
Вторая строка — это в точности (y − 2x)(y − ax − 3) = 0: фиксированная прямая y = 2x и пучок y = ax + 3.
Фиксированная прямая пересекает кривую в 2 точках при любом a, поэтому «больше трёх решений» — это условие на пучок: он должен добавить ещё как минимум 2 точки.
Критические значения — касание пучка с гиперболой, проход через конец луча и совпадение точки пересечения прямых с точкой кривой; все они рациональны.
Ответ: (0; 1/2) ∪ (1/2; 3) ∪ (3; +∞).
Другие темы задания №19
1Линейный знаменатель: (k²x²−a²)/(px−q−ra) = 02Разность квадратов внизу: (k²x²−a²)/((x+m)²−a²) = 03Параметр в свободном члене: (x²−2mx+a)/((kx−a)(x−a)) = 04(ca−x²+bx)/(x−a²) = 0 — полюс x = a², кубическое уравнение выкалываний5Полюсы ±√a: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²−a) = 06Раскладывающийся знаменатель: (x²−2mx+a²+2ta)/((kx+a)(x−a)) = 07Выкалывания через резольвенту: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²+px−qa) = 08Параметр в обеих частях: (x²+2ux−ca)/(x²−2vx+a²−2wa) = 09Модуль в числителе: (|kx|−x−c−a)/(x²−px−qa) = 010Модуль и a² внизу: (|kx−b|+ra−b)/(x²−2mx+a²) = 011Промежуток области определения: (x²−a(a−1)x−a³)/√(квадратный) = 012(x²−2mx+a²)/√((a+b−x)(a−c+x)) = 0 на отрезке
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.