Более трёх решений: x²ⁿ+(a−k|x|)ⁿ+x²−k|x|+a = 0 — задание 19 ЕГЭ по профильной математике
Монотонная замена φ(t) = tⁿ + ct. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
x10 + (a − 2|x|)5 + x2 − 2|x| + a = 0
имеет более трёх различных решений.
x10 + (a − 2|x|)5 + x2 − 2|x| + a = 0
имеет более трёх различных решений.
Показать ответ
(0; 1)
Решение
Заметим, что x10 = x25, а x2 − 2|x| + a = x2 + (a − 2|x|).
Поэтому уравнение имеет вид φ(x2) + φ(a − 2|x|) = 0, где φ(t) = t5 + t — нечётная возрастающая функция.
Отсюда x2 = −(a − 2|x|) = 2|x| − a. Обозначим u = |x| ≥ 0: u2 − 2u + a = 0.
Каждому корню u > 0 отвечают два значения x = ±u, корню u = 0 — одно. Значит решений больше трёх ⟺ оба корня положительны и различны: дискриминант 4 − 4a > 0 и произведение a > 0.
Ответ: (0; 1).
Поэтому уравнение имеет вид φ(x2) + φ(a − 2|x|) = 0, где φ(t) = t5 + t — нечётная возрастающая функция.
Отсюда x2 = −(a − 2|x|) = 2|x| − a. Обозначим u = |x| ≥ 0: u2 − 2u + a = 0.
Каждому корню u > 0 отвечают два значения x = ±u, корню u = 0 — одно. Значит решений больше трёх ⟺ оба корня положительны и различны: дискриминант 4 − 4a > 0 и произведение a > 0.
Ответ: (0; 1).
Пример 2
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
x6 + (a − |x|)3 + x2 − |x| + a = 0
имеет более трёх различных решений.
x6 + (a − |x|)3 + x2 − |x| + a = 0
имеет более трёх различных решений.
Показать ответ
(0; 1/4)
Решение
Заметим, что x6 = x23, а x2 − |x| + a = x2 + (a − |x|).
Поэтому уравнение имеет вид φ(x2) + φ(a − |x|) = 0, где φ(t) = t3 + t — нечётная возрастающая функция.
Отсюда x2 = −(a − |x|) = |x| − a. Обозначим u = |x| ≥ 0: u2 − u + a = 0.
Каждому корню u > 0 отвечают два значения x = ±u, корню u = 0 — одно. Значит решений больше трёх ⟺ оба корня положительны и различны: дискриминант 1 − 4a > 0 и произведение a > 0.
Ответ: (0; 1/4).
Поэтому уравнение имеет вид φ(x2) + φ(a − |x|) = 0, где φ(t) = t3 + t — нечётная возрастающая функция.
Отсюда x2 = −(a − |x|) = |x| − a. Обозначим u = |x| ≥ 0: u2 − u + a = 0.
Каждому корню u > 0 отвечают два значения x = ±u, корню u = 0 — одно. Значит решений больше трёх ⟺ оба корня положительны и различны: дискриминант 1 − 4a > 0 и произведение a > 0.
Ответ: (0; 1/4).
Пример 3
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
x10 + (a − 5|x|)5 + x2 − 5|x| + a = 0
имеет более трёх различных решений.
x10 + (a − 5|x|)5 + x2 − 5|x| + a = 0
имеет более трёх различных решений.
Показать ответ
(0; 25/4)
Решение
Заметим, что x10 = x25, а x2 − 5|x| + a = x2 + (a − 5|x|).
Поэтому уравнение имеет вид φ(x2) + φ(a − 5|x|) = 0, где φ(t) = t5 + t — нечётная возрастающая функция.
Отсюда x2 = −(a − 5|x|) = 5|x| − a. Обозначим u = |x| ≥ 0: u2 − 5u + a = 0.
Каждому корню u > 0 отвечают два значения x = ±u, корню u = 0 — одно. Значит решений больше трёх ⟺ оба корня положительны и различны: дискриминант 25 − 4a > 0 и произведение a > 0.
Ответ: (0; 25/4).
Поэтому уравнение имеет вид φ(x2) + φ(a − 5|x|) = 0, где φ(t) = t5 + t — нечётная возрастающая функция.
Отсюда x2 = −(a − 5|x|) = 5|x| − a. Обозначим u = |x| ≥ 0: u2 − 5u + a = 0.
Каждому корню u > 0 отвечают два значения x = ±u, корню u = 0 — одно. Значит решений больше трёх ⟺ оба корня положительны и различны: дискриминант 25 − 4a > 0 и произведение a > 0.
Ответ: (0; 25/4).
Пример 4
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
x6 + (a − 3|x|)3 + x2 − 3|x| + a = 0
имеет более трёх различных решений.
x6 + (a − 3|x|)3 + x2 − 3|x| + a = 0
имеет более трёх различных решений.
Показать ответ
(0; 9/4)
Решение
Заметим, что x6 = x23, а x2 − 3|x| + a = x2 + (a − 3|x|).
Поэтому уравнение имеет вид φ(x2) + φ(a − 3|x|) = 0, где φ(t) = t3 + t — нечётная возрастающая функция.
Отсюда x2 = −(a − 3|x|) = 3|x| − a. Обозначим u = |x| ≥ 0: u2 − 3u + a = 0.
Каждому корню u > 0 отвечают два значения x = ±u, корню u = 0 — одно. Значит решений больше трёх ⟺ оба корня положительны и различны: дискриминант 9 − 4a > 0 и произведение a > 0.
Ответ: (0; 9/4).
Поэтому уравнение имеет вид φ(x2) + φ(a − 3|x|) = 0, где φ(t) = t3 + t — нечётная возрастающая функция.
Отсюда x2 = −(a − 3|x|) = 3|x| − a. Обозначим u = |x| ≥ 0: u2 − 3u + a = 0.
Каждому корню u > 0 отвечают два значения x = ±u, корню u = 0 — одно. Значит решений больше трёх ⟺ оба корня положительны и различны: дискриминант 9 − 4a > 0 и произведение a > 0.
Ответ: (0; 9/4).
Пример 5
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
x6 + (a − 6|x|)3 + x2 − 6|x| + a = 0
имеет более трёх различных решений.
x6 + (a − 6|x|)3 + x2 − 6|x| + a = 0
имеет более трёх различных решений.
Показать ответ
(0; 9)
Решение
Заметим, что x6 = x23, а x2 − 6|x| + a = x2 + (a − 6|x|).
Поэтому уравнение имеет вид φ(x2) + φ(a − 6|x|) = 0, где φ(t) = t3 + t — нечётная возрастающая функция.
Отсюда x2 = −(a − 6|x|) = 6|x| − a. Обозначим u = |x| ≥ 0: u2 − 6u + a = 0.
Каждому корню u > 0 отвечают два значения x = ±u, корню u = 0 — одно. Значит решений больше трёх ⟺ оба корня положительны и различны: дискриминант 36 − 4a > 0 и произведение a > 0.
Ответ: (0; 9).
Поэтому уравнение имеет вид φ(x2) + φ(a − 6|x|) = 0, где φ(t) = t3 + t — нечётная возрастающая функция.
Отсюда x2 = −(a − 6|x|) = 6|x| − a. Обозначим u = |x| ≥ 0: u2 − 6u + a = 0.
Каждому корню u > 0 отвечают два значения x = ±u, корню u = 0 — одно. Значит решений больше трёх ⟺ оба корня положительны и различны: дискриминант 36 − 4a > 0 и произведение a > 0.
Ответ: (0; 9).
Другие темы задания №19
1Линейный знаменатель: (k²x²−a²)/(px−q−ra) = 02Разность квадратов внизу: (k²x²−a²)/((x+m)²−a²) = 03Параметр в свободном члене: (x²−2mx+a)/((kx−a)(x−a)) = 04(ca−x²+bx)/(x−a²) = 0 — полюс x = a², кубическое уравнение выкалываний5Полюсы ±√a: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²−a) = 06Раскладывающийся знаменатель: (x²−2mx+a²+2ta)/((kx+a)(x−a)) = 07Выкалывания через резольвенту: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²+px−qa) = 08Параметр в обеих частях: (x²+2ux−ca)/(x²−2vx+a²−2wa) = 09Модуль в числителе: (|kx|−x−c−a)/(x²−px−qa) = 010Модуль и a² внизу: (|kx−b|+ra−b)/(x²−2mx+a²) = 011Промежуток области определения: (x²−a(a−1)x−a³)/√(квадратный) = 012(x²−2mx+a²)/√((a+b−x)(a−c+x)) = 0 на отрезке
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.