{√(c²−y²)=√(c²−a²x²); окружность} — задание 19 ЕГЭ по профильной математике
Системы с логарифмом или корнем и кривой. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений
= x2 + y2 = 4x + 10y
имеет ровно два различных решения.
= x2 + y2 = 4x + 10y
имеет ровно два различных решения.
Показать ответ
[−1; −3/7) ∪ {−2/5} ∪ {0} ∪ {2/5} ∪ (3/7; 1]
Решение
Первое уравнение равносильно y2 = a2x2 при |y| ≤ 3, то есть y = ax или y = −ax.
Подстановка y = ax в окружность даёт x(1 + a2) = 4 + 10a, то есть точку с x = (4 + 10a)/(1 + a2); аналогично для y = −ax.
Начало координат — решение всегда. Каждая из двух точек годится, если её ордината по модулю не больше 3.
Ответ: [−1; −3/7) ∪ {−2/5} ∪ {0} ∪ {2/5} ∪ (3/7; 1].
Подстановка y = ax в окружность даёт x(1 + a2) = 4 + 10a, то есть точку с x = (4 + 10a)/(1 + a2); аналогично для y = −ax.
Начало координат — решение всегда. Каждая из двух точек годится, если её ордината по модулю не больше 3.
Ответ: [−1; −3/7) ∪ {−2/5} ∪ {0} ∪ {2/5} ∪ (3/7; 1].
Пример 2
Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений
= x2 + y2 = 2x + 8y
имеет ровно два различных решения.
= x2 + y2 = 2x + 8y
имеет ровно два различных решения.
Показать ответ
[−5/3; −1) ∪ {−1/4} ∪ {0} ∪ {1/4} ∪ (1; 5/3]
Решение
Первое уравнение равносильно y2 = a2x2 при |y| ≤ 5, то есть y = ax или y = −ax.
Подстановка y = ax в окружность даёт x(1 + a2) = 2 + 8a, то есть точку с x = (2 + 8a)/(1 + a2); аналогично для y = −ax.
Начало координат — решение всегда. Каждая из двух точек годится, если её ордината по модулю не больше 5.
Ответ: [−5/3; −1) ∪ {−1/4} ∪ {0} ∪ {1/4} ∪ (1; 5/3].
Подстановка y = ax в окружность даёт x(1 + a2) = 2 + 8a, то есть точку с x = (2 + 8a)/(1 + a2); аналогично для y = −ax.
Начало координат — решение всегда. Каждая из двух точек годится, если её ордината по модулю не больше 5.
Ответ: [−5/3; −1) ∪ {−1/4} ∪ {0} ∪ {1/4} ∪ (1; 5/3].
Пример 3
Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений
= x2 + y2 = 8x + 6y
имеет ровно два различных решения.
= x2 + y2 = 8x + 6y
имеет ровно два различных решения.
Показать ответ
[−3; −4/3) ∪ (−4/3; −1/3) ∪ {0} ∪ (1/3; 4/3) ∪ (4/3; 3]
Решение
Первое уравнение равносильно y2 = a2x2 при |y| ≤ 3, то есть y = ax или y = −ax.
Подстановка y = ax в окружность даёт x(1 + a2) = 8 + 6a, то есть точку с x = (8 + 6a)/(1 + a2); аналогично для y = −ax.
Начало координат — решение всегда. Каждая из двух точек годится, если её ордината по модулю не больше 3.
Ответ: [−3; −4/3) ∪ (−4/3; −1/3) ∪ {0} ∪ (1/3; 4/3) ∪ (4/3; 3].
Подстановка y = ax в окружность даёт x(1 + a2) = 8 + 6a, то есть точку с x = (8 + 6a)/(1 + a2); аналогично для y = −ax.
Начало координат — решение всегда. Каждая из двух точек годится, если её ордината по модулю не больше 3.
Ответ: [−3; −4/3) ∪ (−4/3; −1/3) ∪ {0} ∪ (1/3; 4/3) ∪ (4/3; 3].
Пример 4
Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений
= x2 + y2 = 8x + 2y
имеет ровно два различных решения.
= x2 + y2 = 8x + 2y
имеет ровно два различных решения.
Показать ответ
{−4} ∪ (−5/3; −1) ∪ {0} ∪ (1; 5/3) ∪ {4}
Решение
Первое уравнение равносильно y2 = a2x2 при |y| ≤ 5, то есть y = ax или y = −ax.
Подстановка y = ax в окружность даёт x(1 + a2) = 8 + 2a, то есть точку с x = (8 + 2a)/(1 + a2); аналогично для y = −ax.
Начало координат — решение всегда. Каждая из двух точек годится, если её ордината по модулю не больше 5.
Ответ: {−4} ∪ (−5/3; −1) ∪ {0} ∪ (1; 5/3) ∪ {4}.
Подстановка y = ax в окружность даёт x(1 + a2) = 8 + 2a, то есть точку с x = (8 + 2a)/(1 + a2); аналогично для y = −ax.
Начало координат — решение всегда. Каждая из двух точек годится, если её ордината по модулю не больше 5.
Ответ: {−4} ∪ (−5/3; −1) ∪ {0} ∪ (1; 5/3) ∪ {4}.
Пример 5
Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений
= x2 + y2 = 4x + 4y
имеет ровно два различных решения.
= x2 + y2 = 4x + 4y
имеет ровно два различных решения.
Показать ответ
(−∞; −1] ∪ {0} ∪ [1; +∞)
Решение
Первое уравнение равносильно y2 = a2x2 при |y| ≤ 4, то есть y = ax или y = −ax.
Подстановка y = ax в окружность даёт x(1 + a2) = 4 + 4a, то есть точку с x = (4 + 4a)/(1 + a2); аналогично для y = −ax.
Начало координат — решение всегда. Каждая из двух точек годится, если её ордината по модулю не больше 4.
Ответ: (−∞; −1] ∪ {0} ∪ [1; +∞).
Подстановка y = ax в окружность даёт x(1 + a2) = 4 + 4a, то есть точку с x = (4 + 4a)/(1 + a2); аналогично для y = −ax.
Начало координат — решение всегда. Каждая из двух точек годится, если её ордината по модулю не больше 4.
Ответ: (−∞; −1] ∪ {0} ∪ [1; +∞).
Другие темы задания №19
1Линейный знаменатель: (k²x²−a²)/(px−q−ra) = 02Разность квадратов внизу: (k²x²−a²)/((x+m)²−a²) = 03Параметр в свободном члене: (x²−2mx+a)/((kx−a)(x−a)) = 04(ca−x²+bx)/(x−a²) = 0 — полюс x = a², кубическое уравнение выкалываний5Полюсы ±√a: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²−a) = 06Раскладывающийся знаменатель: (x²−2mx+a²+2ta)/((kx+a)(x−a)) = 07Выкалывания через резольвенту: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²+px−qa) = 08Параметр в обеих частях: (x²+2ux−ca)/(x²−2vx+a²−2wa) = 09Модуль в числителе: (|kx|−x−c−a)/(x²−px−qa) = 010Модуль и a² внизу: (|kx−b|+ra−b)/(x²−2mx+a²) = 011Промежуток области определения: (x²−a(a−1)x−a³)/√(квадратный) = 012(x²−2mx+a²)/√((a+b−x)(a−c+x)) = 0 на отрезке
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.