{√(c²−y²)=√(c²−k²x²); (x−a)(y−a)=0} — задание 19 ЕГЭ по профильной математике
Системы с логарифмом или корнем и кривой. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Найдите все значения параметра a, при которых система
= xy + a2 = ax + ay
имеет ровно 2 решения.
= xy + a2 = ax + ay
имеет ровно 2 решения.
Показать ответ
[−10; −2) ∪ (2; 10]
Решение
Второе уравнение: xy − ax − ay + a2 = (x − a)(y − a) = 0, то есть x = a или y = a.
Первое: 100 − y2 = 100 − 25x2 ≥ 0 ⟺ y = ±5x и |x| ≤ 2.
На прямой x = a получаем точки (a; ±5a) — они существуют при |a| ≤ 2; на прямой y = a — точки (±a/5; a) при |a| ≤ 10.
Ответ: [−10; −2) ∪ (2; 10].
Первое: 100 − y2 = 100 − 25x2 ≥ 0 ⟺ y = ±5x и |x| ≤ 2.
На прямой x = a получаем точки (a; ±5a) — они существуют при |a| ≤ 2; на прямой y = a — точки (±a/5; a) при |a| ≤ 10.
Ответ: [−10; −2) ∪ (2; 10].
Пример 2
Найдите все значения параметра a, при которых система
= xy + a2 = ax + ay
имеет ровно 2 решения.
= xy + a2 = ax + ay
имеет ровно 2 решения.
Показать ответ
[−9; −3) ∪ (3; 9]
Решение
Второе уравнение: xy − ax − ay + a2 = (x − a)(y − a) = 0, то есть x = a или y = a.
Первое: 81 − y2 = 81 − 9x2 ≥ 0 ⟺ y = ±3x и |x| ≤ 3.
На прямой x = a получаем точки (a; ±3a) — они существуют при |a| ≤ 3; на прямой y = a — точки (±a/3; a) при |a| ≤ 9.
Ответ: [−9; −3) ∪ (3; 9].
Первое: 81 − y2 = 81 − 9x2 ≥ 0 ⟺ y = ±3x и |x| ≤ 3.
На прямой x = a получаем точки (a; ±3a) — они существуют при |a| ≤ 3; на прямой y = a — точки (±a/3; a) при |a| ≤ 9.
Ответ: [−9; −3) ∪ (3; 9].
Пример 3
Найдите все значения параметра a, при которых система
= xy + a2 = ax + ay
имеет ровно 2 решения.
= xy + a2 = ax + ay
имеет ровно 2 решения.
Показать ответ
[−5; −5/2) ∪ (5/2; 5]
Решение
Второе уравнение: xy − ax − ay + a2 = (x − a)(y − a) = 0, то есть x = a или y = a.
Первое: 25 − y2 = 25 − 4x2 ≥ 0 ⟺ y = ±2x и |x| ≤ 5/2.
На прямой x = a получаем точки (a; ±2a) — они существуют при |a| ≤ 5/2; на прямой y = a — точки (±a/2; a) при |a| ≤ 5.
Ответ: [−5; −5/2) ∪ (5/2; 5].
Первое: 25 − y2 = 25 − 4x2 ≥ 0 ⟺ y = ±2x и |x| ≤ 5/2.
На прямой x = a получаем точки (a; ±2a) — они существуют при |a| ≤ 5/2; на прямой y = a — точки (±a/2; a) при |a| ≤ 5.
Ответ: [−5; −5/2) ∪ (5/2; 5].
Пример 4
Найдите все значения параметра a, при которых система
= xy + a2 = ax + ay
имеет ровно 2 решения.
= xy + a2 = ax + ay
имеет ровно 2 решения.
Показать ответ
[−6; −3/2) ∪ (3/2; 6]
Решение
Второе уравнение: xy − ax − ay + a2 = (x − a)(y − a) = 0, то есть x = a или y = a.
Первое: 36 − y2 = 36 − 16x2 ≥ 0 ⟺ y = ±4x и |x| ≤ 3/2.
На прямой x = a получаем точки (a; ±4a) — они существуют при |a| ≤ 3/2; на прямой y = a — точки (±a/4; a) при |a| ≤ 6.
Ответ: [−6; −3/2) ∪ (3/2; 6].
Первое: 36 − y2 = 36 − 16x2 ≥ 0 ⟺ y = ±4x и |x| ≤ 3/2.
На прямой x = a получаем точки (a; ±4a) — они существуют при |a| ≤ 3/2; на прямой y = a — точки (±a/4; a) при |a| ≤ 6.
Ответ: [−6; −3/2) ∪ (3/2; 6].
Пример 5
Найдите все значения параметра a, при которых система
= xy + a2 = ax + ay
имеет ровно 2 решения.
= xy + a2 = ax + ay
имеет ровно 2 решения.
Показать ответ
[−6; −3) ∪ (3; 6]
Решение
Второе уравнение: xy − ax − ay + a2 = (x − a)(y − a) = 0, то есть x = a или y = a.
Первое: 36 − y2 = 36 − 4x2 ≥ 0 ⟺ y = ±2x и |x| ≤ 3.
На прямой x = a получаем точки (a; ±2a) — они существуют при |a| ≤ 3; на прямой y = a — точки (±a/2; a) при |a| ≤ 6.
Ответ: [−6; −3) ∪ (3; 6].
Первое: 36 − y2 = 36 − 4x2 ≥ 0 ⟺ y = ±2x и |x| ≤ 3.
На прямой x = a получаем точки (a; ±2a) — они существуют при |a| ≤ 3; на прямой y = a — точки (±a/2; a) при |a| ≤ 6.
Ответ: [−6; −3) ∪ (3; 6].
Другие темы задания №19
1Линейный знаменатель: (k²x²−a²)/(px−q−ra) = 02Разность квадратов внизу: (k²x²−a²)/((x+m)²−a²) = 03Параметр в свободном члене: (x²−2mx+a)/((kx−a)(x−a)) = 04(ca−x²+bx)/(x−a²) = 0 — полюс x = a², кубическое уравнение выкалываний5Полюсы ±√a: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²−a) = 06Раскладывающийся знаменатель: (x²−2mx+a²+2ta)/((kx+a)(x−a)) = 07Выкалывания через резольвенту: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²+px−qa) = 08Параметр в обеих частях: (x²+2ux−ca)/(x²−2vx+a²−2wa) = 09Модуль в числителе: (|kx|−x−c−a)/(x²−px−qa) = 010Модуль и a² внизу: (|kx−b|+ra−b)/(x²−2mx+a²) = 011Промежуток области определения: (x²−a(a−1)x−a³)/√(квадратный) = 012(x²−2mx+a²)/√((a+b−x)(a−c+x)) = 0 на отрезке
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.