Целые a < 0: ∃b > a, при котором неравенство с |a+b|, |b−m|, |a−b|, |a²−b+m₂| нарушено — задание 19 ЕГЭ по профильной математике
Показательные и модульные уравнения. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Найдите все целые отрицательные значения a, при каждом из которых существует значение b > a, при котором неравенство
12b ≥ 5|a + b| − 2|b − 2| − |a − b| − 6|a2 − b + 2| + 16
НЕ выполняется.
12b ≥ 5|a + b| − 2|b − 2| − |a − b| − 6|a2 − b + 2| + 16
НЕ выполняется.
Показать ответ
−2; −1
Решение
Перенесём всё в левую часть: неравенство не выполняется ⟺ h(b) < 0, где
h(b) = 12b − 5|a + b| + 2|b − 2| + |a − b| + 6|a2 + 2 − b| − 16.
При фиксированном a это кусочно-линейная функция от b с изломами в точках b = −a, b = 2, b = a и b = a2 + 2. На каждом промежутке она линейна, значит её наименьшее значение на луче (a; +∞) достигается либо в изломе, либо на конце b = a, либо «на бесконечности».
Наклон при b → +∞ равен 12 − 5 + 2 + 1 + 6 = 16 > 0, поэтому уходом на +∞ отрицательных значений не получить: остаётся проверить h в самих изломах и в точке b = a.
Подстановка b = a даёт h(a) = 12a − 10|a| + 2|a − 2| + 6|a2 − a + 2| − 16 — квадратичное по a выражение, и именно оно первым становится отрицательным.
Разбирая знаки модулей, получаем, что h(b) < 0 при некотором b > a ровно для a ∈ (−7/3; 0) ∪ (0; 1).
Целые отрицательные значения из этого множества: −2; −1.
Ответ: −2; −1.
h(b) = 12b − 5|a + b| + 2|b − 2| + |a − b| + 6|a2 + 2 − b| − 16.
При фиксированном a это кусочно-линейная функция от b с изломами в точках b = −a, b = 2, b = a и b = a2 + 2. На каждом промежутке она линейна, значит её наименьшее значение на луче (a; +∞) достигается либо в изломе, либо на конце b = a, либо «на бесконечности».
Наклон при b → +∞ равен 12 − 5 + 2 + 1 + 6 = 16 > 0, поэтому уходом на +∞ отрицательных значений не получить: остаётся проверить h в самих изломах и в точке b = a.
Подстановка b = a даёт h(a) = 12a − 10|a| + 2|a − 2| + 6|a2 − a + 2| − 16 — квадратичное по a выражение, и именно оно первым становится отрицательным.
Разбирая знаки модулей, получаем, что h(b) < 0 при некотором b > a ровно для a ∈ (−7/3; 0) ∪ (0; 1).
Целые отрицательные значения из этого множества: −2; −1.
Ответ: −2; −1.
Пример 2
Найдите все целые отрицательные значения a, при каждом из которых существует значение b > a, при котором неравенство
21b ≥ 8|a + b| − 3|b − 2| − |a − b| − 10|a2 − b + 3| + 28
НЕ выполняется.
21b ≥ 8|a + b| − 3|b − 2| − |a − b| − 10|a2 − b + 3| + 28
НЕ выполняется.
Показать ответ
−1
Решение
Перенесём всё в левую часть: неравенство не выполняется ⟺ h(b) < 0, где
h(b) = 21b − 8|a + b| + 3|b − 2| + |a − b| + 10|a2 + 3 − b| − 28.
При фиксированном a это кусочно-линейная функция от b с изломами в точках b = −a, b = 2, b = a и b = a2 + 3. На каждом промежутке она линейна, значит её наименьшее значение на луче (a; +∞) достигается либо в изломе, либо на конце b = a, либо «на бесконечности».
Наклон при b → +∞ равен 21 − 8 + 3 + 1 + 10 = 27 > 0, поэтому уходом на +∞ отрицательных значений не получить: остаётся проверить h в самих изломах и в точке b = a.
Подстановка b = a даёт h(a) = 21a − 16|a| + 3|a − 2| + 10|a2 − a + 3| − 28 — квадратичное по a выражение, и именно оно первым становится отрицательным.
Разбирая знаки модулей, получаем, что h(b) < 0 при некотором b > a ровно для a ∈ (−2; −2/5).
Целые отрицательные значения из этого множества: −1.
Ответ: −1.
h(b) = 21b − 8|a + b| + 3|b − 2| + |a − b| + 10|a2 + 3 − b| − 28.
При фиксированном a это кусочно-линейная функция от b с изломами в точках b = −a, b = 2, b = a и b = a2 + 3. На каждом промежутке она линейна, значит её наименьшее значение на луче (a; +∞) достигается либо в изломе, либо на конце b = a, либо «на бесконечности».
Наклон при b → +∞ равен 21 − 8 + 3 + 1 + 10 = 27 > 0, поэтому уходом на +∞ отрицательных значений не получить: остаётся проверить h в самих изломах и в точке b = a.
Подстановка b = a даёт h(a) = 21a − 16|a| + 3|a − 2| + 10|a2 − a + 3| − 28 — квадратичное по a выражение, и именно оно первым становится отрицательным.
Разбирая знаки модулей, получаем, что h(b) < 0 при некотором b > a ровно для a ∈ (−2; −2/5).
Целые отрицательные значения из этого множества: −1.
Ответ: −1.
Пример 3
Найдите все целые отрицательные значения a, при каждом из которых существует значение b > a, при котором неравенство
27b ≥ 5|a + b| − 3|b − 2| − |a − b| − 6|a2 − b + 3| + 24
НЕ выполняется.
27b ≥ 5|a + b| − 3|b − 2| − |a − b| − 6|a2 − b + 3| + 24
НЕ выполняется.
Показать ответ
−4; −3; −2; −1
Решение
Перенесём всё в левую часть: неравенство не выполняется ⟺ h(b) < 0, где
h(b) = 27b − 5|a + b| + 3|b − 2| + |a − b| + 6|a2 + 3 − b| − 24.
При фиксированном a это кусочно-линейная функция от b с изломами в точках b = −a, b = 2, b = a и b = a2 + 3. На каждом промежутке она линейна, значит её наименьшее значение на луче (a; +∞) достигается либо в изломе, либо на конце b = a, либо «на бесконечности».
Наклон при b → +∞ равен 27 − 5 + 3 + 1 + 6 = 32 > 0, поэтому уходом на +∞ отрицательных значений не получить: остаётся проверить h в самих изломах и в точке b = a.
Подстановка b = a даёт h(a) = 27a − 10|a| + 3|a − 2| + 6|a2 − a + 3| − 24 — квадратичное по a выражение, и именно оно первым становится отрицательным.
Разбирая знаки модулей, получаем, что h(b) < 0 при некотором b > a ровно для a ∈ (−14/3; 0).
Целые отрицательные значения из этого множества: −4; −3; −2; −1.
Ответ: −4; −3; −2; −1.
h(b) = 27b − 5|a + b| + 3|b − 2| + |a − b| + 6|a2 + 3 − b| − 24.
При фиксированном a это кусочно-линейная функция от b с изломами в точках b = −a, b = 2, b = a и b = a2 + 3. На каждом промежутке она линейна, значит её наименьшее значение на луче (a; +∞) достигается либо в изломе, либо на конце b = a, либо «на бесконечности».
Наклон при b → +∞ равен 27 − 5 + 3 + 1 + 6 = 32 > 0, поэтому уходом на +∞ отрицательных значений не получить: остаётся проверить h в самих изломах и в точке b = a.
Подстановка b = a даёт h(a) = 27a − 10|a| + 3|a − 2| + 6|a2 − a + 3| − 24 — квадратичное по a выражение, и именно оно первым становится отрицательным.
Разбирая знаки модулей, получаем, что h(b) < 0 при некотором b > a ровно для a ∈ (−14/3; 0).
Целые отрицательные значения из этого множества: −4; −3; −2; −1.
Ответ: −4; −3; −2; −1.
Пример 4
Найдите все целые отрицательные значения a, при каждом из которых существует значение b > a, при котором неравенство
27b ≥ 5|a + b| − 3|b − 2| − |a − b| − 8|a2 − b + 3| + 12
НЕ выполняется.
27b ≥ 5|a + b| − 3|b − 2| − |a − b| − 8|a2 − b + 3| + 12
НЕ выполняется.
Показать ответ
−2
Решение
Перенесём всё в левую часть: неравенство не выполняется ⟺ h(b) < 0, где
h(b) = 27b − 5|a + b| + 3|b − 2| + |a − b| + 8|a2 + 3 − b| − 12.
При фиксированном a это кусочно-линейная функция от b с изломами в точках b = −a, b = 2, b = a и b = a2 + 3. На каждом промежутке она линейна, значит её наименьшее значение на луче (a; +∞) достигается либо в изломе, либо на конце b = a, либо «на бесконечности».
Наклон при b → +∞ равен 27 − 5 + 3 + 1 + 8 = 34 > 0, поэтому уходом на +∞ отрицательных значений не получить: остаётся проверить h в самих изломах и в точке b = a.
Подстановка b = a даёт h(a) = 27a − 10|a| + 3|a − 2| + 8|a2 − a + 3| − 12 — квадратичное по a выражение, и именно оно первым становится отрицательным.
Разбирая знаки модулей, получаем, что h(b) < 0 при некотором b > a ровно для a ∈ (−9/4; −1).
Целые отрицательные значения из этого множества: −2.
Ответ: −2.
h(b) = 27b − 5|a + b| + 3|b − 2| + |a − b| + 8|a2 + 3 − b| − 12.
При фиксированном a это кусочно-линейная функция от b с изломами в точках b = −a, b = 2, b = a и b = a2 + 3. На каждом промежутке она линейна, значит её наименьшее значение на луче (a; +∞) достигается либо в изломе, либо на конце b = a, либо «на бесконечности».
Наклон при b → +∞ равен 27 − 5 + 3 + 1 + 8 = 34 > 0, поэтому уходом на +∞ отрицательных значений не получить: остаётся проверить h в самих изломах и в точке b = a.
Подстановка b = a даёт h(a) = 27a − 10|a| + 3|a − 2| + 8|a2 − a + 3| − 12 — квадратичное по a выражение, и именно оно первым становится отрицательным.
Разбирая знаки модулей, получаем, что h(b) < 0 при некотором b > a ровно для a ∈ (−9/4; −1).
Целые отрицательные значения из этого множества: −2.
Ответ: −2.
Пример 5
Найдите все целые отрицательные значения a, при каждом из которых существует значение b > a, при котором неравенство
24b ≥ 7|a + b| − 4|b − 3| − |a − b| − 6|a2 − b + 3| + 8
НЕ выполняется.
24b ≥ 7|a + b| − 4|b − 3| − |a − b| − 6|a2 − b + 3| + 8
НЕ выполняется.
Показать ответ
−3; −2
Решение
Перенесём всё в левую часть: неравенство не выполняется ⟺ h(b) < 0, где
h(b) = 24b − 7|a + b| + 4|b − 3| + |a − b| + 6|a2 + 3 − b| − 8.
При фиксированном a это кусочно-линейная функция от b с изломами в точках b = −a, b = 3, b = a и b = a2 + 3. На каждом промежутке она линейна, значит её наименьшее значение на луче (a; +∞) достигается либо в изломе, либо на конце b = a, либо «на бесконечности».
Наклон при b → +∞ равен 24 − 7 + 4 + 1 + 6 = 28 > 0, поэтому уходом на +∞ отрицательных значений не получить: остаётся проверить h в самих изломах и в точке b = a.
Подстановка b = a даёт h(a) = 24a − 14|a| + 4|a − 3| + 6|a2 − a + 3| − 8 — квадратичное по a выражение, и именно оно первым становится отрицательным.
Разбирая знаки модулей, получаем, что h(b) < 0 при некотором b > a ровно для a ∈ (−11/3; −1).
Целые отрицательные значения из этого множества: −3; −2.
Ответ: −3; −2.
h(b) = 24b − 7|a + b| + 4|b − 3| + |a − b| + 6|a2 + 3 − b| − 8.
При фиксированном a это кусочно-линейная функция от b с изломами в точках b = −a, b = 3, b = a и b = a2 + 3. На каждом промежутке она линейна, значит её наименьшее значение на луче (a; +∞) достигается либо в изломе, либо на конце b = a, либо «на бесконечности».
Наклон при b → +∞ равен 24 − 7 + 4 + 1 + 6 = 28 > 0, поэтому уходом на +∞ отрицательных значений не получить: остаётся проверить h в самих изломах и в точке b = a.
Подстановка b = a даёт h(a) = 24a − 14|a| + 4|a − 3| + 6|a2 − a + 3| − 8 — квадратичное по a выражение, и именно оно первым становится отрицательным.
Разбирая знаки модулей, получаем, что h(b) < 0 при некотором b > a ровно для a ∈ (−11/3; −1).
Целые отрицательные значения из этого множества: −3; −2.
Ответ: −3; −2.
Другие темы задания №19
1Линейный знаменатель: (k²x²−a²)/(px−q−ra) = 02Разность квадратов внизу: (k²x²−a²)/((x+m)²−a²) = 03Параметр в свободном члене: (x²−2mx+a)/((kx−a)(x−a)) = 04(ca−x²+bx)/(x−a²) = 0 — полюс x = a², кубическое уравнение выкалываний5Полюсы ±√a: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²−a) = 06Раскладывающийся знаменатель: (x²−2mx+a²+2ta)/((kx+a)(x−a)) = 07Выкалывания через резольвенту: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²+px−qa) = 08Параметр в обеих частях: (x²+2ux−ca)/(x²−2vx+a²−2wa) = 09Модуль в числителе: (|kx|−x−c−a)/(x²−px−qa) = 010Модуль и a² внизу: (|kx−b|+ra−b)/(x²−2mx+a²) = 011Промежуток области определения: (x²−a(a−1)x−a³)/√(квадратный) = 012(x²−2mx+a²)/√((a+b−x)(a−c+x)) = 0 на отрезке
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.