Два или три решения: {|2x²+y²−w| + y²+py = 0; y = mx+a} — задание 19 ЕГЭ по профильной математике
Системы неравенств с параметром. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Найдите все значения a, при каждом из которых система
|2x2 + y2 − 162| + y2 + 48y = 0y = 512x + a
имеет два или три различных решения.
|2x2 + y2 − 162| + y2 + 48y = 0y = 512x + a
имеет два или три различных решения.
Показать ответ
(−113/4; −53/12] ∪ [−15/4; 15/4)
Решение
Из первой строки y2 + 48y ≤ 0, то есть −48 ≤ y ≤ 0.
При 2x2 + y2 − 162 ≥ 0 получаем 2x2 + 2y2 + 48y = 162, то есть окружность x2 + (y + 12)2 = 225; при обратном знаке — параболу y = 2x2 − 16248.
На каждой из этих кривых выражение 2x2 + y2 − 162 равно ровно −(y2 + 48y), поэтому обе берутся в одной и той же полосе, а склеиваются в точках (±9; 0) — получается замкнутая «линза».
Прямая y = 512x + a пересекает её; критические значения — касание с окружностью, касание с параболой и проход через точки склейки, и все они рациональны по построению набора.
Ответ: (−113/4; −53/12] ∪ [−15/4; 15/4).
При 2x2 + y2 − 162 ≥ 0 получаем 2x2 + 2y2 + 48y = 162, то есть окружность x2 + (y + 12)2 = 225; при обратном знаке — параболу y = 2x2 − 16248.
На каждой из этих кривых выражение 2x2 + y2 − 162 равно ровно −(y2 + 48y), поэтому обе берутся в одной и той же полосе, а склеиваются в точках (±9; 0) — получается замкнутая «линза».
Прямая y = 512x + a пересекает её; критические значения — касание с окружностью, касание с параболой и проход через точки склейки, и все они рациональны по построению набора.
Ответ: (−113/4; −53/12] ∪ [−15/4; 15/4).
Пример 2
Найдите все значения a, при каждом из которых система
|2x2 + y2 − 128| + y2 + 24y = 0y = 43x + a
имеет два или три различных решения.
|2x2 + y2 − 128| + y2 + 24y = 0y = 43x + a
имеет два или три различных решения.
Показать ответ
(−68/3; 32/3)
Решение
Из первой строки y2 + 24y ≤ 0, то есть −24 ≤ y ≤ 0.
При 2x2 + y2 − 128 ≥ 0 получаем 2x2 + 2y2 + 24y = 128, то есть окружность x2 + (y + 6)2 = 100; при обратном знаке — параболу y = 2x2 − 12824.
На каждой из этих кривых выражение 2x2 + y2 − 128 равно ровно −(y2 + 24y), поэтому обе берутся в одной и той же полосе, а склеиваются в точках (±8; 0) — получается замкнутая «линза».
Прямая y = 43x + a пересекает её; критические значения — касание с окружностью, касание с параболой и проход через точки склейки, и все они рациональны по построению набора.
Ответ: (−68/3; 32/3).
При 2x2 + y2 − 128 ≥ 0 получаем 2x2 + 2y2 + 24y = 128, то есть окружность x2 + (y + 6)2 = 100; при обратном знаке — параболу y = 2x2 − 12824.
На каждой из этих кривых выражение 2x2 + y2 − 128 равно ровно −(y2 + 24y), поэтому обе берутся в одной и той же полосе, а склеиваются в точках (±8; 0) — получается замкнутая «линза».
Прямая y = 43x + a пересекает её; критические значения — касание с окружностью, касание с параболой и проход через точки склейки, и все они рациональны по построению набора.
Ответ: (−68/3; 32/3).
Пример 3
Найдите все значения a, при каждом из которых система
|2x2 + y2 − 32| + y2 + 12y = 0y = 43x + a
имеет два или три различных решения.
|2x2 + y2 − 32| + y2 + 12y = 0y = 43x + a
имеет два или три различных решения.
Показать ответ
(−34/3; 16/3)
Решение
Из первой строки y2 + 12y ≤ 0, то есть −12 ≤ y ≤ 0.
При 2x2 + y2 − 32 ≥ 0 получаем 2x2 + 2y2 + 12y = 32, то есть окружность x2 + (y + 3)2 = 25; при обратном знаке — параболу y = 2x2 − 3212.
На каждой из этих кривых выражение 2x2 + y2 − 32 равно ровно −(y2 + 12y), поэтому обе берутся в одной и той же полосе, а склеиваются в точках (±4; 0) — получается замкнутая «линза».
Прямая y = 43x + a пересекает её; критические значения — касание с окружностью, касание с параболой и проход через точки склейки, и все они рациональны по построению набора.
Ответ: (−34/3; 16/3).
При 2x2 + y2 − 32 ≥ 0 получаем 2x2 + 2y2 + 12y = 32, то есть окружность x2 + (y + 3)2 = 25; при обратном знаке — параболу y = 2x2 − 3212.
На каждой из этих кривых выражение 2x2 + y2 − 32 равно ровно −(y2 + 12y), поэтому обе берутся в одной и той же полосе, а склеиваются в точках (±4; 0) — получается замкнутая «линза».
Прямая y = 43x + a пересекает её; критические значения — касание с окружностью, касание с параболой и проход через точки склейки, и все они рациональны по построению набора.
Ответ: (−34/3; 16/3).
Пример 4
Найдите все значения a, при каждом из которых система
|2x2 + y2 − 162| + y2 + 48y = 0y = 34x + a
имеет два или три различных решения.
|2x2 + y2 − 162| + y2 + 48y = 0y = 34x + a
имеет два или три различных решения.
Показать ответ
(−123/4; 27/4)
Решение
Из первой строки y2 + 48y ≤ 0, то есть −48 ≤ y ≤ 0.
При 2x2 + y2 − 162 ≥ 0 получаем 2x2 + 2y2 + 48y = 162, то есть окружность x2 + (y + 12)2 = 225; при обратном знаке — параболу y = 2x2 − 16248.
На каждой из этих кривых выражение 2x2 + y2 − 162 равно ровно −(y2 + 48y), поэтому обе берутся в одной и той же полосе, а склеиваются в точках (±9; 0) — получается замкнутая «линза».
Прямая y = 34x + a пересекает её; критические значения — касание с окружностью, касание с параболой и проход через точки склейки, и все они рациональны по построению набора.
Ответ: (−123/4; 27/4).
При 2x2 + y2 − 162 ≥ 0 получаем 2x2 + 2y2 + 48y = 162, то есть окружность x2 + (y + 12)2 = 225; при обратном знаке — параболу y = 2x2 − 16248.
На каждой из этих кривых выражение 2x2 + y2 − 162 равно ровно −(y2 + 48y), поэтому обе берутся в одной и той же полосе, а склеиваются в точках (±9; 0) — получается замкнутая «линза».
Прямая y = 34x + a пересекает её; критические значения — касание с окружностью, касание с параболой и проход через точки склейки, и все они рациональны по построению набора.
Ответ: (−123/4; 27/4).
Пример 5
Найдите все значения a, при каждом из которых система
|2x2 + y2 − 288| + y2 + 20y = 0y = 125x + a
имеет два или три различных решения.
|2x2 + y2 − 288| + y2 + 20y = 0y = 125x + a
имеет два или три различных решения.
Показать ответ
(−194/5; 144/5)
Решение
Из первой строки y2 + 20y ≤ 0, то есть −20 ≤ y ≤ 0.
При 2x2 + y2 − 288 ≥ 0 получаем 2x2 + 2y2 + 20y = 288, то есть окружность x2 + (y + 5)2 = 169; при обратном знаке — параболу y = 2x2 − 28820.
На каждой из этих кривых выражение 2x2 + y2 − 288 равно ровно −(y2 + 20y), поэтому обе берутся в одной и той же полосе, а склеиваются в точках (±12; 0) — получается замкнутая «линза».
Прямая y = 125x + a пересекает её; критические значения — касание с окружностью, касание с параболой и проход через точки склейки, и все они рациональны по построению набора.
Ответ: (−194/5; 144/5).
При 2x2 + y2 − 288 ≥ 0 получаем 2x2 + 2y2 + 20y = 288, то есть окружность x2 + (y + 5)2 = 169; при обратном знаке — параболу y = 2x2 − 28820.
На каждой из этих кривых выражение 2x2 + y2 − 288 равно ровно −(y2 + 20y), поэтому обе берутся в одной и той же полосе, а склеиваются в точках (±12; 0) — получается замкнутая «линза».
Прямая y = 125x + a пересекает её; критические значения — касание с окружностью, касание с параболой и проход через точки склейки, и все они рациональны по построению набора.
Ответ: (−194/5; 144/5).
Другие темы задания №19
1Линейный знаменатель: (k²x²−a²)/(px−q−ra) = 02Разность квадратов внизу: (k²x²−a²)/((x+m)²−a²) = 03Параметр в свободном члене: (x²−2mx+a)/((kx−a)(x−a)) = 04(ca−x²+bx)/(x−a²) = 0 — полюс x = a², кубическое уравнение выкалываний5Полюсы ±√a: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²−a) = 06Раскладывающийся знаменатель: (x²−2mx+a²+2ta)/((kx+a)(x−a)) = 07Выкалывания через резольвенту: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²+px−qa) = 08Параметр в обеих частях: (x²+2ux−ca)/(x²−2vx+a²−2wa) = 09Модуль в числителе: (|kx|−x−c−a)/(x²−px−qa) = 010Модуль и a² внизу: (|kx−b|+ra−b)/(x²−2mx+a²) = 011Промежуток области определения: (x²−a(a−1)x−a³)/√(квадратный) = 012(x²−2mx+a²)/√((a+b−x)(a−c+x)) = 0 на отрезке
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.