Два корня на [L;R): w²t + 1/t + 2w = 0, t = ax−kx² — задание 19 ЕГЭ по профильной математике
Квадрат по замене, расстояние между корнями. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
9(ax − x2) + 1ax − x2 + 6 = 0
имеет ровно два различных корня на промежутке [−1; 1).
9(ax − x2) + 1ax − x2 + 6 = 0
имеет ровно два различных корня на промежутке [−1; 1).
Показать ответ
[−2/3; 2/3)
Решение
Обозначим t = ax − x2 (он не равен нулю). Умножив на t, получаем 9t2 + 6t + 1 = 0, то есть (3t + 1)2 = 0 и t = −1/3.
Значит ax − x2 = −1/3, то есть 3x2 − 3ax − 1 = 0.
Произведение корней равно −1/3 < 0, поэтому корни всегда существуют, различны и лежат по разные стороны от нуля.
Оба корня попадают на [−1; 1) ровно тогда, когда значения левой части на концах имеют нужные знаки: отсюда границы по a.
Ответ: [−2/3; 2/3).
Значит ax − x2 = −1/3, то есть 3x2 − 3ax − 1 = 0.
Произведение корней равно −1/3 < 0, поэтому корни всегда существуют, различны и лежат по разные стороны от нуля.
Оба корня попадают на [−1; 1) ровно тогда, когда значения левой части на концах имеют нужные знаки: отсюда границы по a.
Ответ: [−2/3; 2/3).
Пример 2
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
4(ax − 2x2) + 1ax − 2x2 + 4 = 0
имеет ровно два различных корня на промежутке [−1; 2).
4(ax − 2x2) + 1ax − 2x2 + 4 = 0
имеет ровно два различных корня на промежутке [−1; 2).
Показать ответ
[−3/2; 15/4)
Решение
Обозначим t = ax − 2x2 (он не равен нулю). Умножив на t, получаем 4t2 + 4t + 1 = 0, то есть (2t + 1)2 = 0 и t = −1/2.
Значит ax − 2x2 = −1/2, то есть 4x2 − 2ax − 1 = 0.
Произведение корней равно −1/4 < 0, поэтому корни всегда существуют, различны и лежат по разные стороны от нуля.
Оба корня попадают на [−1; 2) ровно тогда, когда значения левой части на концах имеют нужные знаки: отсюда границы по a.
Ответ: [−3/2; 15/4).
Значит ax − 2x2 = −1/2, то есть 4x2 − 2ax − 1 = 0.
Произведение корней равно −1/4 < 0, поэтому корни всегда существуют, различны и лежат по разные стороны от нуля.
Оба корня попадают на [−1; 2) ровно тогда, когда значения левой части на концах имеют нужные знаки: отсюда границы по a.
Ответ: [−3/2; 15/4).
Пример 3
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
9(ax − 2x2) + 1ax − 2x2 + 6 = 0
имеет ровно два различных корня на промежутке [−1; 2).
9(ax − 2x2) + 1ax − 2x2 + 6 = 0
имеет ровно два различных корня на промежутке [−1; 2).
Показать ответ
[−5/3; 23/6)
Решение
Обозначим t = ax − 2x2 (он не равен нулю). Умножив на t, получаем 9t2 + 6t + 1 = 0, то есть (3t + 1)2 = 0 и t = −1/3.
Значит ax − 2x2 = −1/3, то есть 6x2 − 3ax − 1 = 0.
Произведение корней равно −1/6 < 0, поэтому корни всегда существуют, различны и лежат по разные стороны от нуля.
Оба корня попадают на [−1; 2) ровно тогда, когда значения левой части на концах имеют нужные знаки: отсюда границы по a.
Ответ: [−5/3; 23/6).
Значит ax − 2x2 = −1/3, то есть 6x2 − 3ax − 1 = 0.
Произведение корней равно −1/6 < 0, поэтому корни всегда существуют, различны и лежат по разные стороны от нуля.
Оба корня попадают на [−1; 2) ровно тогда, когда значения левой части на концах имеют нужные знаки: отсюда границы по a.
Ответ: [−5/3; 23/6).
Пример 4
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
9(ax − x2) + 1ax − x2 + 6 = 0
имеет ровно два различных корня на промежутке [−1; 2).
9(ax − x2) + 1ax − x2 + 6 = 0
имеет ровно два различных корня на промежутке [−1; 2).
Показать ответ
[−2/3; 11/6)
Решение
Обозначим t = ax − x2 (он не равен нулю). Умножив на t, получаем 9t2 + 6t + 1 = 0, то есть (3t + 1)2 = 0 и t = −1/3.
Значит ax − x2 = −1/3, то есть 3x2 − 3ax − 1 = 0.
Произведение корней равно −1/3 < 0, поэтому корни всегда существуют, различны и лежат по разные стороны от нуля.
Оба корня попадают на [−1; 2) ровно тогда, когда значения левой части на концах имеют нужные знаки: отсюда границы по a.
Ответ: [−2/3; 11/6).
Значит ax − x2 = −1/3, то есть 3x2 − 3ax − 1 = 0.
Произведение корней равно −1/3 < 0, поэтому корни всегда существуют, различны и лежат по разные стороны от нуля.
Оба корня попадают на [−1; 2) ровно тогда, когда значения левой части на концах имеют нужные знаки: отсюда границы по a.
Ответ: [−2/3; 11/6).
Пример 5
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
9(ax − 2x2) + 1ax − 2x2 + 6 = 0
имеет ровно два различных корня на промежутке [−2; 1).
9(ax − 2x2) + 1ax − 2x2 + 6 = 0
имеет ровно два различных корня на промежутке [−2; 1).
Показать ответ
[−23/6; 5/3)
Решение
Обозначим t = ax − 2x2 (он не равен нулю). Умножив на t, получаем 9t2 + 6t + 1 = 0, то есть (3t + 1)2 = 0 и t = −1/3.
Значит ax − 2x2 = −1/3, то есть 6x2 − 3ax − 1 = 0.
Произведение корней равно −1/6 < 0, поэтому корни всегда существуют, различны и лежат по разные стороны от нуля.
Оба корня попадают на [−2; 1) ровно тогда, когда значения левой части на концах имеют нужные знаки: отсюда границы по a.
Ответ: [−23/6; 5/3).
Значит ax − 2x2 = −1/3, то есть 6x2 − 3ax − 1 = 0.
Произведение корней равно −1/6 < 0, поэтому корни всегда существуют, различны и лежат по разные стороны от нуля.
Оба корня попадают на [−2; 1) ровно тогда, когда значения левой части на концах имеют нужные знаки: отсюда границы по a.
Ответ: [−23/6; 5/3).
Другие темы задания №19
1Линейный знаменатель: (k²x²−a²)/(px−q−ra) = 02Разность квадратов внизу: (k²x²−a²)/((x+m)²−a²) = 03Параметр в свободном члене: (x²−2mx+a)/((kx−a)(x−a)) = 04(ca−x²+bx)/(x−a²) = 0 — полюс x = a², кубическое уравнение выкалываний5Полюсы ±√a: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²−a) = 06Раскладывающийся знаменатель: (x²−2mx+a²+2ta)/((kx+a)(x−a)) = 07Выкалывания через резольвенту: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²+px−qa) = 08Параметр в обеих частях: (x²+2ux−ca)/(x²−2vx+a²−2wa) = 09Модуль в числителе: (|kx|−x−c−a)/(x²−px−qa) = 010Модуль и a² внизу: (|kx−b|+ra−b)/(x²−2mx+a²) = 011Промежуток области определения: (x²−a(a−1)x−a³)/√(квадратный) = 012(x²−2mx+a²)/√((a+b−x)(a−c+x)) = 0 на отрезке
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.