Единственное решение: 4ˣ + (a−c)2ˣ = (m+k|a|)2ˣ + … — задание 19 ЕГЭ по профильной математике
Показательные и модульные уравнения. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
4x + (a − 8)2x = (1 + 2|a|)2x + (a − 8)(2|a| + 1)
имеет единственное решение.
4x + (a − 8)2x = (1 + 2|a|)2x + (a − 8)(2|a| + 1)
имеет единственное решение.
Показать ответ
{−7} ∪ {7/3} ∪ [8; +∞)
Решение
Обозначим t = 2x > 0; тогда 4x = t2. Перенесём всё влево и разложим:
t2 + (a − 8)t − (1 + 2|a|)t − (a − 8)(2|a| + 1) = (t − 2|a| − 1)(t + a − 8) = 0.
Первый множитель даёт t = 2|a| + 1 > 0 — это всегда ровно один корень x. Второй даёт t = 8 − a, что годится лишь при a < 8.
Единственное решение — когда второй корень не подходит (a ≥ 8) либо совпал с первым: 2|a| + 1 = 8 − a.
Ответ: {−7} ∪ {7/3} ∪ [8; +∞).
t2 + (a − 8)t − (1 + 2|a|)t − (a − 8)(2|a| + 1) = (t − 2|a| − 1)(t + a − 8) = 0.
Первый множитель даёт t = 2|a| + 1 > 0 — это всегда ровно один корень x. Второй даёт t = 8 − a, что годится лишь при a < 8.
Единственное решение — когда второй корень не подходит (a ≥ 8) либо совпал с первым: 2|a| + 1 = 8 − a.
Ответ: {−7} ∪ {7/3} ∪ [8; +∞).
Пример 2
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
4x + (a − 6)2x = (1 + 2|a|)2x + (a − 6)(2|a| + 1)
имеет единственное решение.
4x + (a − 6)2x = (1 + 2|a|)2x + (a − 6)(2|a| + 1)
имеет единственное решение.
Показать ответ
{−5} ∪ {5/3} ∪ [6; +∞)
Решение
Обозначим t = 2x > 0; тогда 4x = t2. Перенесём всё влево и разложим:
t2 + (a − 6)t − (1 + 2|a|)t − (a − 6)(2|a| + 1) = (t − 2|a| − 1)(t + a − 6) = 0.
Первый множитель даёт t = 2|a| + 1 > 0 — это всегда ровно один корень x. Второй даёт t = 6 − a, что годится лишь при a < 6.
Единственное решение — когда второй корень не подходит (a ≥ 6) либо совпал с первым: 2|a| + 1 = 6 − a.
Ответ: {−5} ∪ {5/3} ∪ [6; +∞).
t2 + (a − 6)t − (1 + 2|a|)t − (a − 6)(2|a| + 1) = (t − 2|a| − 1)(t + a − 6) = 0.
Первый множитель даёт t = 2|a| + 1 > 0 — это всегда ровно один корень x. Второй даёт t = 6 − a, что годится лишь при a < 6.
Единственное решение — когда второй корень не подходит (a ≥ 6) либо совпал с первым: 2|a| + 1 = 6 − a.
Ответ: {−5} ∪ {5/3} ∪ [6; +∞).
Пример 3
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
4x + (a − 5)2x = (1 + 4|a|)2x + (a − 5)(4|a| + 1)
имеет единственное решение.
4x + (a − 5)2x = (1 + 4|a|)2x + (a − 5)(4|a| + 1)
имеет единственное решение.
Показать ответ
{−4/3} ∪ {4/5} ∪ [5; +∞)
Решение
Обозначим t = 2x > 0; тогда 4x = t2. Перенесём всё влево и разложим:
t2 + (a − 5)t − (1 + 4|a|)t − (a − 5)(4|a| + 1) = (t − 4|a| − 1)(t + a − 5) = 0.
Первый множитель даёт t = 4|a| + 1 > 0 — это всегда ровно один корень x. Второй даёт t = 5 − a, что годится лишь при a < 5.
Единственное решение — когда второй корень не подходит (a ≥ 5) либо совпал с первым: 4|a| + 1 = 5 − a.
Ответ: {−4/3} ∪ {4/5} ∪ [5; +∞).
t2 + (a − 5)t − (1 + 4|a|)t − (a − 5)(4|a| + 1) = (t − 4|a| − 1)(t + a − 5) = 0.
Первый множитель даёт t = 4|a| + 1 > 0 — это всегда ровно один корень x. Второй даёт t = 5 − a, что годится лишь при a < 5.
Единственное решение — когда второй корень не подходит (a ≥ 5) либо совпал с первым: 4|a| + 1 = 5 − a.
Ответ: {−4/3} ∪ {4/5} ∪ [5; +∞).
Пример 4
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
4x + (a − 6)2x = (2 + 2|a|)2x + (a − 6)(2|a| + 2)
имеет единственное решение.
4x + (a − 6)2x = (2 + 2|a|)2x + (a − 6)(2|a| + 2)
имеет единственное решение.
Показать ответ
{−4} ∪ {4/3} ∪ [6; +∞)
Решение
Обозначим t = 2x > 0; тогда 4x = t2. Перенесём всё влево и разложим:
t2 + (a − 6)t − (2 + 2|a|)t − (a − 6)(2|a| + 2) = (t − 2|a| − 2)(t + a − 6) = 0.
Первый множитель даёт t = 2|a| + 2 > 0 — это всегда ровно один корень x. Второй даёт t = 6 − a, что годится лишь при a < 6.
Единственное решение — когда второй корень не подходит (a ≥ 6) либо совпал с первым: 2|a| + 2 = 6 − a.
Ответ: {−4} ∪ {4/3} ∪ [6; +∞).
t2 + (a − 6)t − (2 + 2|a|)t − (a − 6)(2|a| + 2) = (t − 2|a| − 2)(t + a − 6) = 0.
Первый множитель даёт t = 2|a| + 2 > 0 — это всегда ровно один корень x. Второй даёт t = 6 − a, что годится лишь при a < 6.
Единственное решение — когда второй корень не подходит (a ≥ 6) либо совпал с первым: 2|a| + 2 = 6 − a.
Ответ: {−4} ∪ {4/3} ∪ [6; +∞).
Пример 5
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
4x + (a − 4)2x = (1 + 2|a|)2x + (a − 4)(2|a| + 1)
имеет единственное решение.
4x + (a − 4)2x = (1 + 2|a|)2x + (a − 4)(2|a| + 1)
имеет единственное решение.
Показать ответ
{−3} ∪ {1} ∪ [4; +∞)
Решение
Обозначим t = 2x > 0; тогда 4x = t2. Перенесём всё влево и разложим:
t2 + (a − 4)t − (1 + 2|a|)t − (a − 4)(2|a| + 1) = (t − 2|a| − 1)(t + a − 4) = 0.
Первый множитель даёт t = 2|a| + 1 > 0 — это всегда ровно один корень x. Второй даёт t = 4 − a, что годится лишь при a < 4.
Единственное решение — когда второй корень не подходит (a ≥ 4) либо совпал с первым: 2|a| + 1 = 4 − a.
Ответ: {−3} ∪ {1} ∪ [4; +∞).
t2 + (a − 4)t − (1 + 2|a|)t − (a − 4)(2|a| + 1) = (t − 2|a| − 1)(t + a − 4) = 0.
Первый множитель даёт t = 2|a| + 1 > 0 — это всегда ровно один корень x. Второй даёт t = 4 − a, что годится лишь при a < 4.
Единственное решение — когда второй корень не подходит (a ≥ 4) либо совпал с первым: 2|a| + 1 = 4 − a.
Ответ: {−3} ∪ {1} ∪ [4; +∞).
Другие темы задания №19
1Линейный знаменатель: (k²x²−a²)/(px−q−ra) = 02Разность квадратов внизу: (k²x²−a²)/((x+m)²−a²) = 03Параметр в свободном члене: (x²−2mx+a)/((kx−a)(x−a)) = 04(ca−x²+bx)/(x−a²) = 0 — полюс x = a², кубическое уравнение выкалываний5Полюсы ±√a: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²−a) = 06Раскладывающийся знаменатель: (x²−2mx+a²+2ta)/((kx+a)(x−a)) = 07Выкалывания через резольвенту: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²+px−qa) = 08Параметр в обеих частях: (x²+2ux−ca)/(x²−2vx+a²−2wa) = 09Модуль в числителе: (|kx|−x−c−a)/(x²−px−qa) = 010Модуль и a² внизу: (|kx−b|+ra−b)/(x²−2mx+a²) = 011Промежуток области определения: (x²−a(a−1)x−a³)/√(квадратный) = 012(x²−2mx+a²)/√((a+b−x)(a−c+x)) = 0 на отрезке
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.