Единственное решение: {(a+p)x²+2ax+a+q ≤ 0; ax²+2(a+s)x+a+t ≥ 0} — задание 19 ЕГЭ по профильной математике
Системы неравенств с параметром. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Найдите все значения a, при каждом из которых система неравенств
(a − 4)x2 + 2ax + a + 2 ≤ 0ax2 + 2(a + 4)x + a + 2 ≥ 0
имеет единственное решение.
(a − 4)x2 + 2ax + a + 2 ≤ 0ax2 + 2(a + 4)x + a + 2 ≥ 0
имеет единственное решение.
Показать ответ
{−8/3} ∪ {14}
Решение
Каждое неравенство задаёт по оси x отрезок или дополнение отрезка: у первого ветви направлены вверх при a > 4 и вниз при a < 4, у второго — вверх при a > 0 и вниз при a < 0.
Концы этих множеств — корни трёхчленов, и радикалы у первого и второго неравенств РАЗНЫЕ, поэтому сравнивать концы «в лоб» нельзя.
Единственное решение возникает только в трёх случаях: множество первого неравенства стянулось в точку (нулевой дискриминант), множество второго стянулось в точку, либо два множества соприкоснулись концами — а последнее равносильно наличию ОБЩЕГО корня у трёхчленов, то есть равенству нулю их результанта.
Все три условия — многочлены по a; их корни и дают критические значения, между которыми конфигурация не меняется, поэтому достаточно проверить по одной точке каждого промежутка.
Ответ: {−8/3} ∪ {14}.
Концы этих множеств — корни трёхчленов, и радикалы у первого и второго неравенств РАЗНЫЕ, поэтому сравнивать концы «в лоб» нельзя.
Единственное решение возникает только в трёх случаях: множество первого неравенства стянулось в точку (нулевой дискриминант), множество второго стянулось в точку, либо два множества соприкоснулись концами — а последнее равносильно наличию ОБЩЕГО корня у трёхчленов, то есть равенству нулю их результанта.
Все три условия — многочлены по a; их корни и дают критические значения, между которыми конфигурация не меняется, поэтому достаточно проверить по одной точке каждого промежутка.
Ответ: {−8/3} ∪ {14}.
Пример 2
Найдите все значения a, при каждом из которых система неравенств
(a + 3)x2 + 2ax + a − 5 ≤ 0ax2 + 2(a + 1)x + a − 4 ≥ 0
имеет единственное решение.
(a + 3)x2 + 2ax + a − 5 ≤ 0ax2 + 2(a + 1)x + a − 4 ≥ 0
имеет единственное решение.
Показать ответ
{1/2} ∪ {21/2}
Решение
Каждое неравенство задаёт по оси x отрезок или дополнение отрезка: у первого ветви направлены вверх при a > −3 и вниз при a < −3, у второго — вверх при a > 0 и вниз при a < 0.
Концы этих множеств — корни трёхчленов, и радикалы у первого и второго неравенств РАЗНЫЕ, поэтому сравнивать концы «в лоб» нельзя.
Единственное решение возникает только в трёх случаях: множество первого неравенства стянулось в точку (нулевой дискриминант), множество второго стянулось в точку, либо два множества соприкоснулись концами — а последнее равносильно наличию ОБЩЕГО корня у трёхчленов, то есть равенству нулю их результанта.
Все три условия — многочлены по a; их корни и дают критические значения, между которыми конфигурация не меняется, поэтому достаточно проверить по одной точке каждого промежутка.
Ответ: {1/2} ∪ {21/2}.
Концы этих множеств — корни трёхчленов, и радикалы у первого и второго неравенств РАЗНЫЕ, поэтому сравнивать концы «в лоб» нельзя.
Единственное решение возникает только в трёх случаях: множество первого неравенства стянулось в точку (нулевой дискриминант), множество второго стянулось в точку, либо два множества соприкоснулись концами — а последнее равносильно наличию ОБЩЕГО корня у трёхчленов, то есть равенству нулю их результанта.
Все три условия — многочлены по a; их корни и дают критические значения, между которыми конфигурация не меняется, поэтому достаточно проверить по одной точке каждого промежутка.
Ответ: {1/2} ∪ {21/2}.
Пример 3
Найдите все значения a, при каждом из которых система неравенств
(a + 4)x2 + 2ax + a + 4 ≤ 0ax2 + 2(a + 3)x + a + 4 ≥ 0
имеет единственное решение.
(a + 4)x2 + 2ax + a + 4 ≤ 0ax2 + 2(a + 3)x + a + 4 ≥ 0
имеет единственное решение.
Показать ответ
{−4} ∪ {−2}
Решение
Каждое неравенство задаёт по оси x отрезок или дополнение отрезка: у первого ветви направлены вверх при a > −4 и вниз при a < −4, у второго — вверх при a > 0 и вниз при a < 0.
Концы этих множеств — корни трёхчленов, и радикалы у первого и второго неравенств РАЗНЫЕ, поэтому сравнивать концы «в лоб» нельзя.
Единственное решение возникает только в трёх случаях: множество первого неравенства стянулось в точку (нулевой дискриминант), множество второго стянулось в точку, либо два множества соприкоснулись концами — а последнее равносильно наличию ОБЩЕГО корня у трёхчленов, то есть равенству нулю их результанта.
Все три условия — многочлены по a; их корни и дают критические значения, между которыми конфигурация не меняется, поэтому достаточно проверить по одной точке каждого промежутка.
Ответ: {−4} ∪ {−2}.
Концы этих множеств — корни трёхчленов, и радикалы у первого и второго неравенств РАЗНЫЕ, поэтому сравнивать концы «в лоб» нельзя.
Единственное решение возникает только в трёх случаях: множество первого неравенства стянулось в точку (нулевой дискриминант), множество второго стянулось в точку, либо два множества соприкоснулись концами — а последнее равносильно наличию ОБЩЕГО корня у трёхчленов, то есть равенству нулю их результанта.
Все три условия — многочлены по a; их корни и дают критические значения, между которыми конфигурация не меняется, поэтому достаточно проверить по одной точке каждого промежутка.
Ответ: {−4} ∪ {−2}.
Пример 4
Найдите все значения a, при каждом из которых система неравенств
(a + 1)x2 + 2ax + a + 2 ≤ 0ax2 + 2(a + 2)x + a − 1 ≥ 0
имеет единственное решение.
(a + 1)x2 + 2ax + a + 2 ≤ 0ax2 + 2(a + 2)x + a − 1 ≥ 0
имеет единственное решение.
Показать ответ
{−4/5} ∪ {−2/3}
Решение
Каждое неравенство задаёт по оси x отрезок или дополнение отрезка: у первого ветви направлены вверх при a > −1 и вниз при a < −1, у второго — вверх при a > 0 и вниз при a < 0.
Концы этих множеств — корни трёхчленов, и радикалы у первого и второго неравенств РАЗНЫЕ, поэтому сравнивать концы «в лоб» нельзя.
Единственное решение возникает только в трёх случаях: множество первого неравенства стянулось в точку (нулевой дискриминант), множество второго стянулось в точку, либо два множества соприкоснулись концами — а последнее равносильно наличию ОБЩЕГО корня у трёхчленов, то есть равенству нулю их результанта.
Все три условия — многочлены по a; их корни и дают критические значения, между которыми конфигурация не меняется, поэтому достаточно проверить по одной точке каждого промежутка.
Ответ: {−4/5} ∪ {−2/3}.
Концы этих множеств — корни трёхчленов, и радикалы у первого и второго неравенств РАЗНЫЕ, поэтому сравнивать концы «в лоб» нельзя.
Единственное решение возникает только в трёх случаях: множество первого неравенства стянулось в точку (нулевой дискриминант), множество второго стянулось в точку, либо два множества соприкоснулись концами — а последнее равносильно наличию ОБЩЕГО корня у трёхчленов, то есть равенству нулю их результанта.
Все три условия — многочлены по a; их корни и дают критические значения, между которыми конфигурация не меняется, поэтому достаточно проверить по одной точке каждого промежутка.
Ответ: {−4/5} ∪ {−2/3}.
Пример 5
Найдите все значения a, при каждом из которых система неравенств
(a + 4)x2 + 2ax + a − 1 ≤ 0ax2 + 2(a + 2)x + a − 1 ≥ 0
имеет единственное решение.
(a + 4)x2 + 2ax + a − 1 ≤ 0ax2 + 2(a + 2)x + a − 1 ≥ 0
имеет единственное решение.
Показать ответ
{−3/4} ∪ {1}
Решение
Каждое неравенство задаёт по оси x отрезок или дополнение отрезка: у первого ветви направлены вверх при a > −4 и вниз при a < −4, у второго — вверх при a > 0 и вниз при a < 0.
Концы этих множеств — корни трёхчленов, и радикалы у первого и второго неравенств РАЗНЫЕ, поэтому сравнивать концы «в лоб» нельзя.
Единственное решение возникает только в трёх случаях: множество первого неравенства стянулось в точку (нулевой дискриминант), множество второго стянулось в точку, либо два множества соприкоснулись концами — а последнее равносильно наличию ОБЩЕГО корня у трёхчленов, то есть равенству нулю их результанта.
Все три условия — многочлены по a; их корни и дают критические значения, между которыми конфигурация не меняется, поэтому достаточно проверить по одной точке каждого промежутка.
Ответ: {−3/4} ∪ {1}.
Концы этих множеств — корни трёхчленов, и радикалы у первого и второго неравенств РАЗНЫЕ, поэтому сравнивать концы «в лоб» нельзя.
Единственное решение возникает только в трёх случаях: множество первого неравенства стянулось в точку (нулевой дискриминант), множество второго стянулось в точку, либо два множества соприкоснулись концами — а последнее равносильно наличию ОБЩЕГО корня у трёхчленов, то есть равенству нулю их результанта.
Все три условия — многочлены по a; их корни и дают критические значения, между которыми конфигурация не меняется, поэтому достаточно проверить по одной точке каждого промежутка.
Ответ: {−3/4} ∪ {1}.
Другие темы задания №19
1Линейный знаменатель: (k²x²−a²)/(px−q−ra) = 02Разность квадратов внизу: (k²x²−a²)/((x+m)²−a²) = 03Параметр в свободном члене: (x²−2mx+a)/((kx−a)(x−a)) = 04(ca−x²+bx)/(x−a²) = 0 — полюс x = a², кубическое уравнение выкалываний5Полюсы ±√a: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²−a) = 06Раскладывающийся знаменатель: (x²−2mx+a²+2ta)/((kx+a)(x−a)) = 07Выкалывания через резольвенту: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²+px−qa) = 08Параметр в обеих частях: (x²+2ux−ca)/(x²−2vx+a²−2wa) = 09Модуль в числителе: (|kx|−x−c−a)/(x²−px−qa) = 010Модуль и a² внизу: (|kx−b|+ra−b)/(x²−2mx+a²) = 011Промежуток области определения: (x²−a(a−1)x−a³)/√(квадратный) = 012(x²−2mx+a²)/√((a+b−x)(a−c+x)) = 0 на отрезке
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.