Единственное решение: {(a+px+c)(a−qx+c) ≤ 0; a+rx ≥ x²} — задание 19 ЕГЭ по профильной математике

Обозначим A = a + 7. Первое неравенство — это произведение линейных по x функций с наклонами 7 и −3, то есть парабола ветвями вниз с корнями x = −A7 и x = A3; она неположительна ВНЕ интервала между ними.
Второе неравенство равносильно x² − 5x − a ≤ 0, то есть отрезку [u₁; u₂] с концами u = 5 ∓ 2 (он существует при a ≥ −25/4).
Значит множество решений — отрезок [u₁; u₂], из которого выброшен открытый интервал между корнями первой параболы. Оно состоит из двух «хвостов», и единственное решение получается ровно тогда, когда один хвост стянулся в точку, а второй пуст (либо когда сам отрезок выродился в точку, попавшую в нужную область).
Все сравнения концов точные: разность 5 − 2ρ ∓ 2 сравнивается с нулём возведением в квадрат с учётом знаков.
Ответ: {−25/4} ∪ {14}.

Обозначим A = a + 9. Первое неравенство — это произведение линейных по x функций с наклонами 13 и −3, то есть парабола ветвями вниз с корнями x = −A13 и x = A3; она неположительна ВНЕ интервала между ними.
Второе неравенство равносильно x² − 7x − a ≤ 0, то есть отрезку [u₁; u₂] с концами u = 7 ∓ 2 (он существует при a ≥ −49/4).
Значит множество решений — отрезок [u₁; u₂], из которого выброшен открытый интервал между корнями первой параболы. Оно состоит из двух «хвостов», и единственное решение получается ровно тогда, когда один хвост стянулся в точку, а второй пуст (либо когда сам отрезок выродился в точку, попавшую в нужную область).
Все сравнения концов точные: разность 7 − 2ρ ∓ 2 сравнивается с нулём возведением в квадрат с учётом знаков.
Ответ: {−49/4} ∪ {18} ∪ {30}.

Обозначим A = a + 9. Первое неравенство — это произведение линейных по x функций с наклонами 7 и −3, то есть парабола ветвями вниз с корнями x = −A7 и x = A3; она неположительна ВНЕ интервала между ними.
Второе неравенство равносильно x² − 3x − a ≤ 0, то есть отрезку [u₁; u₂] с концами u = 3 ∓ 2 (он существует при a ≥ −9/4).
Значит множество решений — отрезок [u₁; u₂], из которого выброшен открытый интервал между корнями первой параболы. Оно состоит из двух «хвостов», и единственное решение получается ровно тогда, когда один хвост стянулся в точку, а второй пуст (либо когда сам отрезок выродился в точку, попавшую в нужную область).
Все сравнения концов точные: разность 3 − 2ρ ∓ 2 сравнивается с нулём возведением в квадрат с учётом знаков.
Ответ: {0}.

Обозначим A = a + 9. Первое неравенство — это произведение линейных по x функций с наклонами 5 и −3, то есть парабола ветвями вниз с корнями x = −A5 и x = A3; она неположительна ВНЕ интервала между ними.
Второе неравенство равносильно x² − 7x − a ≤ 0, то есть отрезку [u₁; u₂] с концами u = 7 ∓ 2 (он существует при a ≥ −49/4).
Значит множество решений — отрезок [u₁; u₂], из которого выброшен открытый интервал между корнями первой параболы. Оно состоит из двух «хвостов», и единственное решение получается ровно тогда, когда один хвост стянулся в точку, а второй пуст (либо когда сам отрезок выродился в точку, попавшую в нужную область).
Все сравнения концов точные: разность 7 − 2ρ ∓ 2 сравнивается с нулём возведением в квадрат с учётом знаков.
Ответ: {−49/4} ∪ {18}.

Обозначим A = a + 9. Первое неравенство — это произведение линейных по x функций с наклонами 9 и −2, то есть парабола ветвями вниз с корнями x = −A9 и x = A2; она неположительна ВНЕ интервала между ними.
Второе неравенство равносильно x² − 3x − a ≤ 0, то есть отрезку [u₁; u₂] с концами u = 3 ∓ 2 (он существует при a ≥ −9/4).
Значит множество решений — отрезок [u₁; u₂], из которого выброшен открытый интервал между корнями первой параболы. Оно состоит из двух «хвостов», и единственное решение получается ровно тогда, когда один хвост стянулся в точку, а второй пуст (либо когда сам отрезок выродился в точку, попавшую в нужную область).
Все сравнения концов точные: разность 3 − 2ρ ∓ 2 сравнивается с нулём возведением в квадрат с учётом знаков.
Ответ: {18}.