Единственное решение: {a(x⁴+1) = y+c−|x|; окружность} — задание 19 ЕГЭ по профильной математике
Симметричные системы. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Найдите все значения a, при каждом из которых система
a(x4 + 1) = y + 1 − |x|x2 + y2 = 16
имеет единственное решение.
a(x4 + 1) = y + 1 − |x|x2 + y2 = 16
имеет единственное решение.
Показать ответ
{5}
Решение
Обе строки не меняются при замене x на −x (входят только x4, |x| и x2), поэтому вместе с (x; y) решением будет и (−x; y). Значит единственное решение обязано иметь x = 0.
При x = 0 первое уравнение даёт a = y + 1, второе — y = ±4. Отсюда только два кандидата: a = 5 и a = −3.
Проверка. При a = 5 из первой строки y = 5x4 + |x| + 4 ≥ 4, а из окружности y ≤ 4; равенство возможно лишь при x = 0, y = 4 — решение единственное.
При a = −3 кривая y = −3x4 + |x| − 4 выходит из точки (0; −4) круче, чем окружность, и пересекает её ещё в двух точках — решений три.
Ответ: {5}.
При x = 0 первое уравнение даёт a = y + 1, второе — y = ±4. Отсюда только два кандидата: a = 5 и a = −3.
Проверка. При a = 5 из первой строки y = 5x4 + |x| + 4 ≥ 4, а из окружности y ≤ 4; равенство возможно лишь при x = 0, y = 4 — решение единственное.
При a = −3 кривая y = −3x4 + |x| − 4 выходит из точки (0; −4) круче, чем окружность, и пересекает её ещё в двух точках — решений три.
Ответ: {5}.
Пример 2
Найдите все значения a, при каждом из которых система
a(x4 + 1) = y + 3 − |x|x2 + y2 = 9
имеет единственное решение.
a(x4 + 1) = y + 3 − |x|x2 + y2 = 9
имеет единственное решение.
Показать ответ
{6}
Решение
Обе строки не меняются при замене x на −x (входят только x4, |x| и x2), поэтому вместе с (x; y) решением будет и (−x; y). Значит единственное решение обязано иметь x = 0.
При x = 0 первое уравнение даёт a = y + 3, второе — y = ±3. Отсюда только два кандидата: a = 6 и a = 0.
Проверка. При a = 6 из первой строки y = 6x4 + |x| + 3 ≥ 3, а из окружности y ≤ 3; равенство возможно лишь при x = 0, y = 3 — решение единственное.
При a = 0 кривая y = |x| − 3 выходит из точки (0; −3) круче, чем окружность, и пересекает её ещё в двух точках — решений три.
Ответ: {6}.
При x = 0 первое уравнение даёт a = y + 3, второе — y = ±3. Отсюда только два кандидата: a = 6 и a = 0.
Проверка. При a = 6 из первой строки y = 6x4 + |x| + 3 ≥ 3, а из окружности y ≤ 3; равенство возможно лишь при x = 0, y = 3 — решение единственное.
При a = 0 кривая y = |x| − 3 выходит из точки (0; −3) круче, чем окружность, и пересекает её ещё в двух точках — решений три.
Ответ: {6}.
Пример 3
Найдите все значения a, при каждом из которых система
a(x4 + 1) = y + 4 − |x|x2 + y2 = 4
имеет единственное решение.
a(x4 + 1) = y + 4 − |x|x2 + y2 = 4
имеет единственное решение.
Показать ответ
{6}
Решение
Обе строки не меняются при замене x на −x (входят только x4, |x| и x2), поэтому вместе с (x; y) решением будет и (−x; y). Значит единственное решение обязано иметь x = 0.
При x = 0 первое уравнение даёт a = y + 4, второе — y = ±2. Отсюда только два кандидата: a = 6 и a = 2.
Проверка. При a = 6 из первой строки y = 6x4 + |x| + 2 ≥ 2, а из окружности y ≤ 2; равенство возможно лишь при x = 0, y = 2 — решение единственное.
При a = 2 кривая y = 2x4 + |x| − 2 выходит из точки (0; −2) круче, чем окружность, и пересекает её ещё в двух точках — решений три.
Ответ: {6}.
При x = 0 первое уравнение даёт a = y + 4, второе — y = ±2. Отсюда только два кандидата: a = 6 и a = 2.
Проверка. При a = 6 из первой строки y = 6x4 + |x| + 2 ≥ 2, а из окружности y ≤ 2; равенство возможно лишь при x = 0, y = 2 — решение единственное.
При a = 2 кривая y = 2x4 + |x| − 2 выходит из точки (0; −2) круче, чем окружность, и пересекает её ещё в двух точках — решений три.
Ответ: {6}.
Пример 4
Найдите все значения a, при каждом из которых система
a(x4 + 1) = y + 5 − |x|x2 + y2 = 9
имеет единственное решение.
a(x4 + 1) = y + 5 − |x|x2 + y2 = 9
имеет единственное решение.
Показать ответ
{8}
Решение
Обе строки не меняются при замене x на −x (входят только x4, |x| и x2), поэтому вместе с (x; y) решением будет и (−x; y). Значит единственное решение обязано иметь x = 0.
При x = 0 первое уравнение даёт a = y + 5, второе — y = ±3. Отсюда только два кандидата: a = 8 и a = 2.
Проверка. При a = 8 из первой строки y = 8x4 + |x| + 3 ≥ 3, а из окружности y ≤ 3; равенство возможно лишь при x = 0, y = 3 — решение единственное.
При a = 2 кривая y = 2x4 + |x| − 3 выходит из точки (0; −3) круче, чем окружность, и пересекает её ещё в двух точках — решений три.
Ответ: {8}.
При x = 0 первое уравнение даёт a = y + 5, второе — y = ±3. Отсюда только два кандидата: a = 8 и a = 2.
Проверка. При a = 8 из первой строки y = 8x4 + |x| + 3 ≥ 3, а из окружности y ≤ 3; равенство возможно лишь при x = 0, y = 3 — решение единственное.
При a = 2 кривая y = 2x4 + |x| − 3 выходит из точки (0; −3) круче, чем окружность, и пересекает её ещё в двух точках — решений три.
Ответ: {8}.
Пример 5
Найдите все значения a, при каждом из которых система
a(x4 + 1) = y + 3 − |x|x2 + y2 = 16
имеет единственное решение.
a(x4 + 1) = y + 3 − |x|x2 + y2 = 16
имеет единственное решение.
Показать ответ
{7}
Решение
Обе строки не меняются при замене x на −x (входят только x4, |x| и x2), поэтому вместе с (x; y) решением будет и (−x; y). Значит единственное решение обязано иметь x = 0.
При x = 0 первое уравнение даёт a = y + 3, второе — y = ±4. Отсюда только два кандидата: a = 7 и a = −1.
Проверка. При a = 7 из первой строки y = 7x4 + |x| + 4 ≥ 4, а из окружности y ≤ 4; равенство возможно лишь при x = 0, y = 4 — решение единственное.
При a = −1 кривая y = −x4 + |x| − 4 выходит из точки (0; −4) круче, чем окружность, и пересекает её ещё в двух точках — решений три.
Ответ: {7}.
При x = 0 первое уравнение даёт a = y + 3, второе — y = ±4. Отсюда только два кандидата: a = 7 и a = −1.
Проверка. При a = 7 из первой строки y = 7x4 + |x| + 4 ≥ 4, а из окружности y ≤ 4; равенство возможно лишь при x = 0, y = 4 — решение единственное.
При a = −1 кривая y = −x4 + |x| − 4 выходит из точки (0; −4) круче, чем окружность, и пересекает её ещё в двух точках — решений три.
Ответ: {7}.
Другие темы задания №19
1Линейный знаменатель: (k²x²−a²)/(px−q−ra) = 02Разность квадратов внизу: (k²x²−a²)/((x+m)²−a²) = 03Параметр в свободном члене: (x²−2mx+a)/((kx−a)(x−a)) = 04(ca−x²+bx)/(x−a²) = 0 — полюс x = a², кубическое уравнение выкалываний5Полюсы ±√a: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²−a) = 06Раскладывающийся знаменатель: (x²−2mx+a²+2ta)/((kx+a)(x−a)) = 07Выкалывания через резольвенту: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²+px−qa) = 08Параметр в обеих частях: (x²+2ux−ca)/(x²−2vx+a²−2wa) = 09Модуль в числителе: (|kx|−x−c−a)/(x²−px−qa) = 010Модуль и a² внизу: (|kx−b|+ra−b)/(x²−2mx+a²) = 011Промежуток области определения: (x²−a(a−1)x−a³)/√(квадратный) = 012(x²−2mx+a²)/√((a+b−x)(a−c+x)) = 0 на отрезке
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.