Единственное решение: √(a²+x²) = cos kx + a²+pa−c — задание 19 ЕГЭ по профильной математике
Симметричные системы. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
= cos 2x + a2 − 1
имеет единственное решение.
= cos 2x + a2 − 1
имеет единственное решение.
Показать ответ
{−1} ∪ {0} ∪ {1}
Решение
Уравнение ЧЁТНО по x: вместе с x решением будет и −x. Значит при x ≠ 0 решения идут парами, и единственное решение обязано быть при x = 0.
Оценим части. Слева √(a2 + x2) ≥ |a|, причём равенство только при x = 0. Справа cos 2x + (a2 − 1) ≤ 1 + a2 − 1, и равенство только при cos 2x = 1.
Если |a| > 1 + a2 − 1, то левая часть всюду больше правой — решений нет; если |a| < 1 + …, решений чётное число (и они идут парами).
Остаётся случай |a| = 1 + a2 − 1: тогда равенство вынуждает одновременно x = 0 и cos 2x = 1, то есть решение ровно одно.
Решая это уравнение отдельно при a ≥ 0 и при a < 0, получаем ответ.
Ответ: {−1} ∪ {0} ∪ {1}.
Оценим части. Слева √(a2 + x2) ≥ |a|, причём равенство только при x = 0. Справа cos 2x + (a2 − 1) ≤ 1 + a2 − 1, и равенство только при cos 2x = 1.
Если |a| > 1 + a2 − 1, то левая часть всюду больше правой — решений нет; если |a| < 1 + …, решений чётное число (и они идут парами).
Остаётся случай |a| = 1 + a2 − 1: тогда равенство вынуждает одновременно x = 0 и cos 2x = 1, то есть решение ровно одно.
Решая это уравнение отдельно при a ≥ 0 и при a < 0, получаем ответ.
Ответ: {−1} ∪ {0} ∪ {1}.
Пример 2
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
= cos 3x + a2 + 3a + 2
имеет единственное решение.
= cos 3x + a2 + 3a + 2
имеет единственное решение.
Показать ответ
{−3} ∪ {−1}
Решение
Уравнение ЧЁТНО по x: вместе с x решением будет и −x. Значит при x ≠ 0 решения идут парами, и единственное решение обязано быть при x = 0.
Оценим части. Слева √(a2 + x2) ≥ |a|, причём равенство только при x = 0. Справа cos 3x + (a2 + 3a + 2) ≤ 1 + a2 + 3a + 2, и равенство только при cos 3x = 1.
Если |a| > 1 + a2 + 3a + 2, то левая часть всюду больше правой — решений нет; если |a| < 1 + …, решений чётное число (и они идут парами).
Остаётся случай |a| = 1 + a2 + 3a + 2: тогда равенство вынуждает одновременно x = 0 и cos 3x = 1, то есть решение ровно одно.
Решая это уравнение отдельно при a ≥ 0 и при a < 0, получаем ответ.
Ответ: {−3} ∪ {−1}.
Оценим части. Слева √(a2 + x2) ≥ |a|, причём равенство только при x = 0. Справа cos 3x + (a2 + 3a + 2) ≤ 1 + a2 + 3a + 2, и равенство только при cos 3x = 1.
Если |a| > 1 + a2 + 3a + 2, то левая часть всюду больше правой — решений нет; если |a| < 1 + …, решений чётное число (и они идут парами).
Остаётся случай |a| = 1 + a2 + 3a + 2: тогда равенство вынуждает одновременно x = 0 и cos 3x = 1, то есть решение ровно одно.
Решая это уравнение отдельно при a ≥ 0 и при a < 0, получаем ответ.
Ответ: {−3} ∪ {−1}.
Пример 3
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
= cos x + a2 + 3a − 1
имеет единственное решение.
= cos x + a2 + 3a − 1
имеет единственное решение.
Показать ответ
{−4} ∪ {0}
Решение
Уравнение ЧЁТНО по x: вместе с x решением будет и −x. Значит при x ≠ 0 решения идут парами, и единственное решение обязано быть при x = 0.
Оценим части. Слева √(a2 + x2) ≥ |a|, причём равенство только при x = 0. Справа cos x + (a2 + 3a − 1) ≤ 1 + a2 + 3a − 1, и равенство только при cos x = 1.
Если |a| > 1 + a2 + 3a − 1, то левая часть всюду больше правой — решений нет; если |a| < 1 + …, решений чётное число (и они идут парами).
Остаётся случай |a| = 1 + a2 + 3a − 1: тогда равенство вынуждает одновременно x = 0 и cos x = 1, то есть решение ровно одно.
Решая это уравнение отдельно при a ≥ 0 и при a < 0, получаем ответ.
Ответ: {−4} ∪ {0}.
Оценим части. Слева √(a2 + x2) ≥ |a|, причём равенство только при x = 0. Справа cos x + (a2 + 3a − 1) ≤ 1 + a2 + 3a − 1, и равенство только при cos x = 1.
Если |a| > 1 + a2 + 3a − 1, то левая часть всюду больше правой — решений нет; если |a| < 1 + …, решений чётное число (и они идут парами).
Остаётся случай |a| = 1 + a2 + 3a − 1: тогда равенство вынуждает одновременно x = 0 и cos x = 1, то есть решение ровно одно.
Решая это уравнение отдельно при a ≥ 0 и при a < 0, получаем ответ.
Ответ: {−4} ∪ {0}.
Пример 4
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
= cos 2x + a2 + 2a + 1
имеет единственное решение.
= cos 2x + a2 + 2a + 1
имеет единственное решение.
Показать ответ
{−2} ∪ {−1}
Решение
Уравнение ЧЁТНО по x: вместе с x решением будет и −x. Значит при x ≠ 0 решения идут парами, и единственное решение обязано быть при x = 0.
Оценим части. Слева √(a2 + x2) ≥ |a|, причём равенство только при x = 0. Справа cos 2x + (a2 + 2a + 1) ≤ 1 + a2 + 2a + 1, и равенство только при cos 2x = 1.
Если |a| > 1 + a2 + 2a + 1, то левая часть всюду больше правой — решений нет; если |a| < 1 + …, решений чётное число (и они идут парами).
Остаётся случай |a| = 1 + a2 + 2a + 1: тогда равенство вынуждает одновременно x = 0 и cos 2x = 1, то есть решение ровно одно.
Решая это уравнение отдельно при a ≥ 0 и при a < 0, получаем ответ.
Ответ: {−2} ∪ {−1}.
Оценим части. Слева √(a2 + x2) ≥ |a|, причём равенство только при x = 0. Справа cos 2x + (a2 + 2a + 1) ≤ 1 + a2 + 2a + 1, и равенство только при cos 2x = 1.
Если |a| > 1 + a2 + 2a + 1, то левая часть всюду больше правой — решений нет; если |a| < 1 + …, решений чётное число (и они идут парами).
Остаётся случай |a| = 1 + a2 + 2a + 1: тогда равенство вынуждает одновременно x = 0 и cos 2x = 1, то есть решение ровно одно.
Решая это уравнение отдельно при a ≥ 0 и при a < 0, получаем ответ.
Ответ: {−2} ∪ {−1}.
Пример 5
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
= cos x + a2 + 2a − 1
имеет единственное решение.
= cos x + a2 + 2a − 1
имеет единственное решение.
Показать ответ
{−3} ∪ {0}
Решение
Уравнение ЧЁТНО по x: вместе с x решением будет и −x. Значит при x ≠ 0 решения идут парами, и единственное решение обязано быть при x = 0.
Оценим части. Слева √(a2 + x2) ≥ |a|, причём равенство только при x = 0. Справа cos x + (a2 + 2a − 1) ≤ 1 + a2 + 2a − 1, и равенство только при cos x = 1.
Если |a| > 1 + a2 + 2a − 1, то левая часть всюду больше правой — решений нет; если |a| < 1 + …, решений чётное число (и они идут парами).
Остаётся случай |a| = 1 + a2 + 2a − 1: тогда равенство вынуждает одновременно x = 0 и cos x = 1, то есть решение ровно одно.
Решая это уравнение отдельно при a ≥ 0 и при a < 0, получаем ответ.
Ответ: {−3} ∪ {0}.
Оценим части. Слева √(a2 + x2) ≥ |a|, причём равенство только при x = 0. Справа cos x + (a2 + 2a − 1) ≤ 1 + a2 + 2a − 1, и равенство только при cos x = 1.
Если |a| > 1 + a2 + 2a − 1, то левая часть всюду больше правой — решений нет; если |a| < 1 + …, решений чётное число (и они идут парами).
Остаётся случай |a| = 1 + a2 + 2a − 1: тогда равенство вынуждает одновременно x = 0 и cos x = 1, то есть решение ровно одно.
Решая это уравнение отдельно при a ≥ 0 и при a < 0, получаем ответ.
Ответ: {−3} ∪ {0}.
Другие темы задания №19
1Линейный знаменатель: (k²x²−a²)/(px−q−ra) = 02Разность квадратов внизу: (k²x²−a²)/((x+m)²−a²) = 03Параметр в свободном члене: (x²−2mx+a)/((kx−a)(x−a)) = 04(ca−x²+bx)/(x−a²) = 0 — полюс x = a², кубическое уравнение выкалываний5Полюсы ±√a: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²−a) = 06Раскладывающийся знаменатель: (x²−2mx+a²+2ta)/((kx+a)(x−a)) = 07Выкалывания через резольвенту: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²+px−qa) = 08Параметр в обеих частях: (x²+2ux−ca)/(x²−2vx+a²−2wa) = 09Модуль в числителе: (|kx|−x−c−a)/(x²−px−qa) = 010Модуль и a² внизу: (|kx−b|+ra−b)/(x²−2mx+a²) = 011Промежуток области определения: (x²−a(a−1)x−a³)/√(квадратный) = 012(x²−2mx+a²)/√((a+b−x)(a−c+x)) = 0 на отрезке
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.