Единственное решение: две окружности, касание — задание 19 ЕГЭ по профильной математике
Системы «две кривые»: точки, прямые, окружности. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Найдите все положительные значения a, при каждом из которых система
(x − 2a + 3)2 + (y − a)2 = 4(x + 3)2 + (y − a)2 = a2 + 10a + 25
имеет единственное решение.
(x − 2a + 3)2 + (y − a)2 = 4(x + 3)2 + (y − a)2 = a2 + 10a + 25
имеет единственное решение.
Показать ответ
{3} ∪ {7}
Решение
Первая строка — окружность с центром O1(2a − 3; a) и радиусом 2.
Во второй строке a2 + 10a + 25 = (a + 5)2, то есть это окружность с центром O2(−3; a) и радиусом a + 5 (он положителен при a > 0).
Ординаты центров совпадают, поэтому расстояние между ними d = 2a.
Общая точка ровно одна ⟺ окружности касаются: 2a = 2 + a + 5 (внешнее касание) или 2a = |2 − a − 5| (внутреннее).
Ответ: {3} ∪ {7}.
Во второй строке a2 + 10a + 25 = (a + 5)2, то есть это окружность с центром O2(−3; a) и радиусом a + 5 (он положителен при a > 0).
Ординаты центров совпадают, поэтому расстояние между ними d = 2a.
Общая точка ровно одна ⟺ окружности касаются: 2a = 2 + a + 5 (внешнее касание) или 2a = |2 − a − 5| (внутреннее).
Ответ: {3} ∪ {7}.
Пример 2
Найдите все положительные значения a, при каждом из которых система
(x − 3a + 2)2 + (y − a)2 = 1(x + 2)2 + (y − a)2 = a2 + 6a + 9
имеет единственное решение.
(x − 3a + 2)2 + (y − a)2 = 1(x + 2)2 + (y − a)2 = a2 + 6a + 9
имеет единственное решение.
Показать ответ
{1} ∪ {2}
Решение
Первая строка — окружность с центром O1(3a − 2; a) и радиусом 1.
Во второй строке a2 + 6a + 9 = (a + 3)2, то есть это окружность с центром O2(−2; a) и радиусом a + 3 (он положителен при a > 0).
Ординаты центров совпадают, поэтому расстояние между ними d = 3a.
Общая точка ровно одна ⟺ окружности касаются: 3a = 1 + a + 3 (внешнее касание) или 3a = |1 − a − 3| (внутреннее).
Ответ: {1} ∪ {2}.
Во второй строке a2 + 6a + 9 = (a + 3)2, то есть это окружность с центром O2(−2; a) и радиусом a + 3 (он положителен при a > 0).
Ординаты центров совпадают, поэтому расстояние между ними d = 3a.
Общая точка ровно одна ⟺ окружности касаются: 3a = 1 + a + 3 (внешнее касание) или 3a = |1 − a − 3| (внутреннее).
Ответ: {1} ∪ {2}.
Пример 3
Найдите все положительные значения a, при каждом из которых система
(x − 3a + 1)2 + (y − a)2 = 16(x + 1)2 + (y − a)2 = a2 + 10a + 25
имеет единственное решение.
(x − 3a + 1)2 + (y − a)2 = 16(x + 1)2 + (y − a)2 = a2 + 10a + 25
имеет единственное решение.
Показать ответ
{1/2} ∪ {9/2}
Решение
Первая строка — окружность с центром O1(3a − 1; a) и радиусом 4.
Во второй строке a2 + 10a + 25 = (a + 5)2, то есть это окружность с центром O2(−1; a) и радиусом a + 5 (он положителен при a > 0).
Ординаты центров совпадают, поэтому расстояние между ними d = 3a.
Общая точка ровно одна ⟺ окружности касаются: 3a = 4 + a + 5 (внешнее касание) или 3a = |4 − a − 5| (внутреннее).
Ответ: {1/2} ∪ {9/2}.
Во второй строке a2 + 10a + 25 = (a + 5)2, то есть это окружность с центром O2(−1; a) и радиусом a + 5 (он положителен при a > 0).
Ординаты центров совпадают, поэтому расстояние между ними d = 3a.
Общая точка ровно одна ⟺ окружности касаются: 3a = 4 + a + 5 (внешнее касание) или 3a = |4 − a − 5| (внутреннее).
Ответ: {1/2} ∪ {9/2}.
Пример 4
Найдите все положительные значения a, при каждом из которых система
(x − 2a + 1)2 + (y − a)2 = 4(x + 1)2 + (y − a)2 = a2 + 8a + 16
имеет единственное решение.
(x − 2a + 1)2 + (y − a)2 = 4(x + 1)2 + (y − a)2 = a2 + 8a + 16
имеет единственное решение.
Показать ответ
{2} ∪ {6}
Решение
Первая строка — окружность с центром O1(2a − 1; a) и радиусом 2.
Во второй строке a2 + 8a + 16 = (a + 4)2, то есть это окружность с центром O2(−1; a) и радиусом a + 4 (он положителен при a > 0).
Ординаты центров совпадают, поэтому расстояние между ними d = 2a.
Общая точка ровно одна ⟺ окружности касаются: 2a = 2 + a + 4 (внешнее касание) или 2a = |2 − a − 4| (внутреннее).
Ответ: {2} ∪ {6}.
Во второй строке a2 + 8a + 16 = (a + 4)2, то есть это окружность с центром O2(−1; a) и радиусом a + 4 (он положителен при a > 0).
Ординаты центров совпадают, поэтому расстояние между ними d = 2a.
Общая точка ровно одна ⟺ окружности касаются: 2a = 2 + a + 4 (внешнее касание) или 2a = |2 − a − 4| (внутреннее).
Ответ: {2} ∪ {6}.
Пример 5
Найдите все положительные значения a, при каждом из которых система
(x − 2a + 2)2 + (y − a)2 = 9(x + 2)2 + (y − a)2 = a2 + 4a + 4
имеет единственное решение.
(x − 2a + 2)2 + (y − a)2 = 9(x + 2)2 + (y − a)2 = a2 + 4a + 4
имеет единственное решение.
Показать ответ
{1/3} ∪ {5}
Решение
Первая строка — окружность с центром O1(2a − 2; a) и радиусом 3.
Во второй строке a2 + 4a + 4 = (a + 2)2, то есть это окружность с центром O2(−2; a) и радиусом a + 2 (он положителен при a > 0).
Ординаты центров совпадают, поэтому расстояние между ними d = 2a.
Общая точка ровно одна ⟺ окружности касаются: 2a = 3 + a + 2 (внешнее касание) или 2a = |3 − a − 2| (внутреннее).
Ответ: {1/3} ∪ {5}.
Во второй строке a2 + 4a + 4 = (a + 2)2, то есть это окружность с центром O2(−2; a) и радиусом a + 2 (он положителен при a > 0).
Ординаты центров совпадают, поэтому расстояние между ними d = 2a.
Общая точка ровно одна ⟺ окружности касаются: 2a = 3 + a + 2 (внешнее касание) или 2a = |3 − a − 2| (внутреннее).
Ответ: {1/3} ∪ {5}.
Другие темы задания №19
1Линейный знаменатель: (k²x²−a²)/(px−q−ra) = 02Разность квадратов внизу: (k²x²−a²)/((x+m)²−a²) = 03Параметр в свободном члене: (x²−2mx+a)/((kx−a)(x−a)) = 04(ca−x²+bx)/(x−a²) = 0 — полюс x = a², кубическое уравнение выкалываний5Полюсы ±√a: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²−a) = 06Раскладывающийся знаменатель: (x²−2mx+a²+2ta)/((kx+a)(x−a)) = 07Выкалывания через резольвенту: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²+px−qa) = 08Параметр в обеих частях: (x²+2ux−ca)/(x²−2vx+a²−2wa) = 09Модуль в числителе: (|kx|−x−c−a)/(x²−px−qa) = 010Модуль и a² внизу: (|kx−b|+ra−b)/(x²−2mx+a²) = 011Промежуток области определения: (x²−a(a−1)x−a³)/√(квадратный) = 012(x²−2mx+a²)/√((a+b−x)(a−c+x)) = 0 на отрезке
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.