Единственное решение: {окружность с центром на y = x; x/y+y/x = g(sin α)} — задание 19 ЕГЭ по профильной математике
Симметричные системы. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Найдите все значения α из промежутка (0; π), при каждом из которых система
x2 + y2 − 6(x + y)sin α + 18sin2α = 8sin2α − 4xy + yx = 2sin2α + 1
имеет единственное решение.
x2 + y2 − 6(x + y)sin α + 18sin2α = 8sin2α − 4xy + yx = 2sin2α + 1
имеет единственное решение.
Показать ответ
π/4; 3π/4
Решение
Первая строка — окружность: (x − 3sin α)2 + (y − 3sin α)2 = 8sin2α − 4. Её центр лежит на прямой y = x, а решения есть только при 8sin2α ≥ 4, то есть при sin2α ≥ 1/2.
Вторая строка (ОДЗ: xy ≠ 0) равносильна x2 + y2 = g·xy, где g = 2sin2α + 1. Подставив y = kx, получаем k2 − gk + 1 = 0: вещественные k существуют ровно при g ≥ 2, а это то же самое условие sin2α ≥ 1/2.
Корни связаны равенством k1k2 = 1, поэтому прямые y = k1x и y = k2x СИММЕТРИЧНЫ относительно y = x. Центр окружности лежит на этой оси симметрии, значит каждая из прямых пересекает окружность одинаковое число раз и общее число решений ЧЁТНО.
Нечётным (а именно единственным) оно может стать только тогда, когда прямые сливаются в одну: g = 2, то есть sin2α = 1/2. При этом радиус обращается в нуль, и окружность вырождается в точку (3sin α; 3sin α), лежащую как раз на прямой y = x, — ровно одно решение.
При sin2α > 1/2 решений четыре: расстояние от центра до прямой равно d2 = 9sin2α·(g − 2)/g (здесь k2 + 1 = gk и (k − 1)2 = k(g − 2)), и оно меньше квадрата радиуса на всём промежутке.
Осталось решить sin2α = 1/2 на (0; π): sin α = 2 — отсюда α = π/4; 3π/4.
Ответ: π/4; 3π/4.
Вторая строка (ОДЗ: xy ≠ 0) равносильна x2 + y2 = g·xy, где g = 2sin2α + 1. Подставив y = kx, получаем k2 − gk + 1 = 0: вещественные k существуют ровно при g ≥ 2, а это то же самое условие sin2α ≥ 1/2.
Корни связаны равенством k1k2 = 1, поэтому прямые y = k1x и y = k2x СИММЕТРИЧНЫ относительно y = x. Центр окружности лежит на этой оси симметрии, значит каждая из прямых пересекает окружность одинаковое число раз и общее число решений ЧЁТНО.
Нечётным (а именно единственным) оно может стать только тогда, когда прямые сливаются в одну: g = 2, то есть sin2α = 1/2. При этом радиус обращается в нуль, и окружность вырождается в точку (3sin α; 3sin α), лежащую как раз на прямой y = x, — ровно одно решение.
При sin2α > 1/2 решений четыре: расстояние от центра до прямой равно d2 = 9sin2α·(g − 2)/g (здесь k2 + 1 = gk и (k − 1)2 = k(g − 2)), и оно меньше квадрата радиуса на всём промежутке.
Осталось решить sin2α = 1/2 на (0; π): sin α = 2 — отсюда α = π/4; 3π/4.
Ответ: π/4; 3π/4.
Пример 2
Найдите все значения α из промежутка (0; π), при каждом из которых система
x2 + y2 − 4(x + y)sin α + 8sin2α = 6sin α − 3xy + yx = 6sin α − 1
имеет единственное решение.
x2 + y2 − 4(x + y)sin α + 8sin2α = 6sin α − 3xy + yx = 6sin α − 1
имеет единственное решение.
Показать ответ
π/6; 5π/6
Решение
Первая строка — окружность: (x − 2sin α)2 + (y − 2sin α)2 = 6sin α − 3. Её центр лежит на прямой y = x, а решения есть только при 6sin α ≥ 3, то есть при sin α ≥ 1/2.
Вторая строка (ОДЗ: xy ≠ 0) равносильна x2 + y2 = g·xy, где g = 6sin α − 1. Подставив y = kx, получаем k2 − gk + 1 = 0: вещественные k существуют ровно при g ≥ 2, а это то же самое условие sin α ≥ 1/2.
Корни связаны равенством k1k2 = 1, поэтому прямые y = k1x и y = k2x СИММЕТРИЧНЫ относительно y = x. Центр окружности лежит на этой оси симметрии, значит каждая из прямых пересекает окружность одинаковое число раз и общее число решений ЧЁТНО.
Нечётным (а именно единственным) оно может стать только тогда, когда прямые сливаются в одну: g = 2, то есть sin α = 1/2. При этом радиус обращается в нуль, и окружность вырождается в точку (2sin α; 2sin α), лежащую как раз на прямой y = x, — ровно одно решение.
При sin α > 1/2 решений четыре: расстояние от центра до прямой равно d2 = 4sin2α·(g − 2)/g (здесь k2 + 1 = gk и (k − 1)2 = k(g − 2)), и оно меньше квадрата радиуса на всём промежутке.
Осталось решить sin α = 1/2 на (0; π): sin α = 1/2 — отсюда α = π/6; 5π/6.
Ответ: π/6; 5π/6.
Вторая строка (ОДЗ: xy ≠ 0) равносильна x2 + y2 = g·xy, где g = 6sin α − 1. Подставив y = kx, получаем k2 − gk + 1 = 0: вещественные k существуют ровно при g ≥ 2, а это то же самое условие sin α ≥ 1/2.
Корни связаны равенством k1k2 = 1, поэтому прямые y = k1x и y = k2x СИММЕТРИЧНЫ относительно y = x. Центр окружности лежит на этой оси симметрии, значит каждая из прямых пересекает окружность одинаковое число раз и общее число решений ЧЁТНО.
Нечётным (а именно единственным) оно может стать только тогда, когда прямые сливаются в одну: g = 2, то есть sin α = 1/2. При этом радиус обращается в нуль, и окружность вырождается в точку (2sin α; 2sin α), лежащую как раз на прямой y = x, — ровно одно решение.
При sin α > 1/2 решений четыре: расстояние от центра до прямой равно d2 = 4sin2α·(g − 2)/g (здесь k2 + 1 = gk и (k − 1)2 = k(g − 2)), и оно меньше квадрата радиуса на всём промежутке.
Осталось решить sin α = 1/2 на (0; π): sin α = 1/2 — отсюда α = π/6; 5π/6.
Ответ: π/6; 5π/6.
Пример 3
Найдите все значения α из промежутка (0; π), при каждом из которых система
x2 + y2 − 4(x + y)sin α + 8sin2α = 8sin α − 4xy + yx = 4sin α
имеет единственное решение.
x2 + y2 − 4(x + y)sin α + 8sin2α = 8sin α − 4xy + yx = 4sin α
имеет единственное решение.
Показать ответ
π/6; 5π/6
Решение
Первая строка — окружность: (x − 2sin α)2 + (y − 2sin α)2 = 8sin α − 4. Её центр лежит на прямой y = x, а решения есть только при 8sin α ≥ 4, то есть при sin α ≥ 1/2.
Вторая строка (ОДЗ: xy ≠ 0) равносильна x2 + y2 = g·xy, где g = 4sin α. Подставив y = kx, получаем k2 − gk + 1 = 0: вещественные k существуют ровно при g ≥ 2, а это то же самое условие sin α ≥ 1/2.
Корни связаны равенством k1k2 = 1, поэтому прямые y = k1x и y = k2x СИММЕТРИЧНЫ относительно y = x. Центр окружности лежит на этой оси симметрии, значит каждая из прямых пересекает окружность одинаковое число раз и общее число решений ЧЁТНО.
Нечётным (а именно единственным) оно может стать только тогда, когда прямые сливаются в одну: g = 2, то есть sin α = 1/2. При этом радиус обращается в нуль, и окружность вырождается в точку (2sin α; 2sin α), лежащую как раз на прямой y = x, — ровно одно решение.
При sin α > 1/2 решений четыре: расстояние от центра до прямой равно d2 = 4sin2α·(g − 2)/g (здесь k2 + 1 = gk и (k − 1)2 = k(g − 2)), и оно меньше квадрата радиуса на всём промежутке.
Осталось решить sin α = 1/2 на (0; π): sin α = 1/2 — отсюда α = π/6; 5π/6.
Ответ: π/6; 5π/6.
Вторая строка (ОДЗ: xy ≠ 0) равносильна x2 + y2 = g·xy, где g = 4sin α. Подставив y = kx, получаем k2 − gk + 1 = 0: вещественные k существуют ровно при g ≥ 2, а это то же самое условие sin α ≥ 1/2.
Корни связаны равенством k1k2 = 1, поэтому прямые y = k1x и y = k2x СИММЕТРИЧНЫ относительно y = x. Центр окружности лежит на этой оси симметрии, значит каждая из прямых пересекает окружность одинаковое число раз и общее число решений ЧЁТНО.
Нечётным (а именно единственным) оно может стать только тогда, когда прямые сливаются в одну: g = 2, то есть sin α = 1/2. При этом радиус обращается в нуль, и окружность вырождается в точку (2sin α; 2sin α), лежащую как раз на прямой y = x, — ровно одно решение.
При sin α > 1/2 решений четыре: расстояние от центра до прямой равно d2 = 4sin2α·(g − 2)/g (здесь k2 + 1 = gk и (k − 1)2 = k(g − 2)), и оно меньше квадрата радиуса на всём промежутке.
Осталось решить sin α = 1/2 на (0; π): sin α = 1/2 — отсюда α = π/6; 5π/6.
Ответ: π/6; 5π/6.
Пример 4
Найдите все значения α из промежутка (0; π), при каждом из которых система
x2 + y2 − 6(x + y)sin α + 18sin2α = 12sin α − 6xy + yx = 6sin α − 1
имеет единственное решение.
x2 + y2 − 6(x + y)sin α + 18sin2α = 12sin α − 6xy + yx = 6sin α − 1
имеет единственное решение.
Показать ответ
π/6; 5π/6
Решение
Первая строка — окружность: (x − 3sin α)2 + (y − 3sin α)2 = 12sin α − 6. Её центр лежит на прямой y = x, а решения есть только при 12sin α ≥ 6, то есть при sin α ≥ 1/2.
Вторая строка (ОДЗ: xy ≠ 0) равносильна x2 + y2 = g·xy, где g = 6sin α − 1. Подставив y = kx, получаем k2 − gk + 1 = 0: вещественные k существуют ровно при g ≥ 2, а это то же самое условие sin α ≥ 1/2.
Корни связаны равенством k1k2 = 1, поэтому прямые y = k1x и y = k2x СИММЕТРИЧНЫ относительно y = x. Центр окружности лежит на этой оси симметрии, значит каждая из прямых пересекает окружность одинаковое число раз и общее число решений ЧЁТНО.
Нечётным (а именно единственным) оно может стать только тогда, когда прямые сливаются в одну: g = 2, то есть sin α = 1/2. При этом радиус обращается в нуль, и окружность вырождается в точку (3sin α; 3sin α), лежащую как раз на прямой y = x, — ровно одно решение.
При sin α > 1/2 решений четыре: расстояние от центра до прямой равно d2 = 9sin2α·(g − 2)/g (здесь k2 + 1 = gk и (k − 1)2 = k(g − 2)), и оно меньше квадрата радиуса на всём промежутке.
Осталось решить sin α = 1/2 на (0; π): sin α = 1/2 — отсюда α = π/6; 5π/6.
Ответ: π/6; 5π/6.
Вторая строка (ОДЗ: xy ≠ 0) равносильна x2 + y2 = g·xy, где g = 6sin α − 1. Подставив y = kx, получаем k2 − gk + 1 = 0: вещественные k существуют ровно при g ≥ 2, а это то же самое условие sin α ≥ 1/2.
Корни связаны равенством k1k2 = 1, поэтому прямые y = k1x и y = k2x СИММЕТРИЧНЫ относительно y = x. Центр окружности лежит на этой оси симметрии, значит каждая из прямых пересекает окружность одинаковое число раз и общее число решений ЧЁТНО.
Нечётным (а именно единственным) оно может стать только тогда, когда прямые сливаются в одну: g = 2, то есть sin α = 1/2. При этом радиус обращается в нуль, и окружность вырождается в точку (3sin α; 3sin α), лежащую как раз на прямой y = x, — ровно одно решение.
При sin α > 1/2 решений четыре: расстояние от центра до прямой равно d2 = 9sin2α·(g − 2)/g (здесь k2 + 1 = gk и (k − 1)2 = k(g − 2)), и оно меньше квадрата радиуса на всём промежутке.
Осталось решить sin α = 1/2 на (0; π): sin α = 1/2 — отсюда α = π/6; 5π/6.
Ответ: π/6; 5π/6.
Пример 5
Найдите все значения α из промежутка (0; π), при каждом из которых система
x2 + y2 − 4(x + y)sin α + 8sin2α = 4sin2α − 1xy + yx = 4sin2α + 1
имеет единственное решение.
x2 + y2 − 4(x + y)sin α + 8sin2α = 4sin2α − 1xy + yx = 4sin2α + 1
имеет единственное решение.
Показать ответ
π/6; 5π/6
Решение
Первая строка — окружность: (x − 2sin α)2 + (y − 2sin α)2 = 4sin2α − 1. Её центр лежит на прямой y = x, а решения есть только при 4sin2α ≥ 1, то есть при sin2α ≥ 1/4.
Вторая строка (ОДЗ: xy ≠ 0) равносильна x2 + y2 = g·xy, где g = 4sin2α + 1. Подставив y = kx, получаем k2 − gk + 1 = 0: вещественные k существуют ровно при g ≥ 2, а это то же самое условие sin2α ≥ 1/4.
Корни связаны равенством k1k2 = 1, поэтому прямые y = k1x и y = k2x СИММЕТРИЧНЫ относительно y = x. Центр окружности лежит на этой оси симметрии, значит каждая из прямых пересекает окружность одинаковое число раз и общее число решений ЧЁТНО.
Нечётным (а именно единственным) оно может стать только тогда, когда прямые сливаются в одну: g = 2, то есть sin2α = 1/4. При этом радиус обращается в нуль, и окружность вырождается в точку (2sin α; 2sin α), лежащую как раз на прямой y = x, — ровно одно решение.
При sin2α > 1/4 решений четыре: расстояние от центра до прямой равно d2 = 4sin2α·(g − 2)/g (здесь k2 + 1 = gk и (k − 1)2 = k(g − 2)), и оно меньше квадрата радиуса на всём промежутке.
Осталось решить sin2α = 1/4 на (0; π): sin α = 1/2 — отсюда α = π/6; 5π/6.
Ответ: π/6; 5π/6.
Вторая строка (ОДЗ: xy ≠ 0) равносильна x2 + y2 = g·xy, где g = 4sin2α + 1. Подставив y = kx, получаем k2 − gk + 1 = 0: вещественные k существуют ровно при g ≥ 2, а это то же самое условие sin2α ≥ 1/4.
Корни связаны равенством k1k2 = 1, поэтому прямые y = k1x и y = k2x СИММЕТРИЧНЫ относительно y = x. Центр окружности лежит на этой оси симметрии, значит каждая из прямых пересекает окружность одинаковое число раз и общее число решений ЧЁТНО.
Нечётным (а именно единственным) оно может стать только тогда, когда прямые сливаются в одну: g = 2, то есть sin2α = 1/4. При этом радиус обращается в нуль, и окружность вырождается в точку (2sin α; 2sin α), лежащую как раз на прямой y = x, — ровно одно решение.
При sin2α > 1/4 решений четыре: расстояние от центра до прямой равно d2 = 4sin2α·(g − 2)/g (здесь k2 + 1 = gk и (k − 1)2 = k(g − 2)), и оно меньше квадрата радиуса на всём промежутке.
Осталось решить sin2α = 1/4 на (0; π): sin α = 1/2 — отсюда α = π/6; 5π/6.
Ответ: π/6; 5π/6.
Другие темы задания №19
1Линейный знаменатель: (k²x²−a²)/(px−q−ra) = 02Разность квадратов внизу: (k²x²−a²)/((x+m)²−a²) = 03Параметр в свободном члене: (x²−2mx+a)/((kx−a)(x−a)) = 04(ca−x²+bx)/(x−a²) = 0 — полюс x = a², кубическое уравнение выкалываний5Полюсы ±√a: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²−a) = 06Раскладывающийся знаменатель: (x²−2mx+a²+2ta)/((kx+a)(x−a)) = 07Выкалывания через резольвенту: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²+px−qa) = 08Параметр в обеих частях: (x²+2ux−ca)/(x²−2vx+a²−2wa) = 09Модуль в числителе: (|kx|−x−c−a)/(x²−px−qa) = 010Модуль и a² внизу: (|kx−b|+ra−b)/(x²−2mx+a²) = 011Промежуток области определения: (x²−a(a−1)x−a³)/√(квадратный) = 012(x²−2mx+a²)/√((a+b−x)(a−c+x)) = 0 на отрезке
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.