Единственное решение: отрезок F₁F₂ и горизонталь — задание 19 ЕГЭ по профильной математике
Системы «две кривые»: точки, прямые, окружности. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Найдите все неотрицательные значения a, при каждом из которых система
+ = 5y = |6 − a2|
имеет единственное решение.
+ = 5y = |6 − a2|
имеет единственное решение.
Показать ответ
[1; 6]
Решение
Обозначим F1(−1; 0) и F2(0; a). Тогда |F1F2| = — ровно правая часть первого уравнения, а сумма расстояний до двух точек равна расстоянию между ними только на ОТРЕЗКЕ F1F2.
Вторая строка — горизонтальная прямая y = |6 − a2| : 5, её высота неотрицательна.
При a > 0 отрезок не горизонтален, и его ординаты пробегают [0; a] по одному разу, поэтому общая точка ровно одна ⟺ |6 − a2| ≤ 5a.
Раскрывая модуль: a2 − 5a − 6 ≤ 0 и a2 + 5a − 6 ≥ 0, то есть 1 ≤ a ≤ 6.
Ответ: [1; 6].
Вторая строка — горизонтальная прямая y = |6 − a2| : 5, её высота неотрицательна.
При a > 0 отрезок не горизонтален, и его ординаты пробегают [0; a] по одному разу, поэтому общая точка ровно одна ⟺ |6 − a2| ≤ 5a.
Раскрывая модуль: a2 − 5a − 6 ≤ 0 и a2 + 5a − 6 ≥ 0, то есть 1 ≤ a ≤ 6.
Ответ: [1; 6].
Пример 2
Найдите все неотрицательные значения a, при каждом из которых система
+ = 6y = |16 − a2|
имеет единственное решение.
+ = 6y = |16 − a2|
имеет единственное решение.
Показать ответ
[2; 8]
Решение
Обозначим F1(−1; 0) и F2(0; a). Тогда |F1F2| = — ровно правая часть первого уравнения, а сумма расстояний до двух точек равна расстоянию между ними только на ОТРЕЗКЕ F1F2.
Вторая строка — горизонтальная прямая y = |16 − a2| : 6, её высота неотрицательна.
При a > 0 отрезок не горизонтален, и его ординаты пробегают [0; a] по одному разу, поэтому общая точка ровно одна ⟺ |16 − a2| ≤ 6a.
Раскрывая модуль: a2 − 6a − 16 ≤ 0 и a2 + 6a − 16 ≥ 0, то есть 2 ≤ a ≤ 8.
Ответ: [2; 8].
Вторая строка — горизонтальная прямая y = |16 − a2| : 6, её высота неотрицательна.
При a > 0 отрезок не горизонтален, и его ординаты пробегают [0; a] по одному разу, поэтому общая точка ровно одна ⟺ |16 − a2| ≤ 6a.
Раскрывая модуль: a2 − 6a − 16 ≤ 0 и a2 + 6a − 16 ≥ 0, то есть 2 ≤ a ≤ 8.
Ответ: [2; 8].
Пример 3
Найдите все неотрицательные значения a, при каждом из которых система
+ = 2y = |24 − a2|
имеет единственное решение.
+ = 2y = |24 − a2|
имеет единственное решение.
Показать ответ
[4; 6]
Решение
Обозначим F1(−4; 0) и F2(0; a). Тогда |F1F2| = — ровно правая часть первого уравнения, а сумма расстояний до двух точек равна расстоянию между ними только на ОТРЕЗКЕ F1F2.
Вторая строка — горизонтальная прямая y = |24 − a2| : 2, её высота неотрицательна.
При a > 0 отрезок не горизонтален, и его ординаты пробегают [0; a] по одному разу, поэтому общая точка ровно одна ⟺ |24 − a2| ≤ 2a.
Раскрывая модуль: a2 − 2a − 24 ≤ 0 и a2 + 2a − 24 ≥ 0, то есть 4 ≤ a ≤ 6.
Ответ: [4; 6].
Вторая строка — горизонтальная прямая y = |24 − a2| : 2, её высота неотрицательна.
При a > 0 отрезок не горизонтален, и его ординаты пробегают [0; a] по одному разу, поэтому общая точка ровно одна ⟺ |24 − a2| ≤ 2a.
Раскрывая модуль: a2 − 2a − 24 ≤ 0 и a2 + 2a − 24 ≥ 0, то есть 4 ≤ a ≤ 6.
Ответ: [4; 6].
Пример 4
Найдите все неотрицательные значения a, при каждом из которых система
+ = 4y = |21 − a2|
имеет единственное решение.
+ = 4y = |21 − a2|
имеет единственное решение.
Показать ответ
[3; 7]
Решение
Обозначим F1(−4; 0) и F2(0; a). Тогда |F1F2| = — ровно правая часть первого уравнения, а сумма расстояний до двух точек равна расстоянию между ними только на ОТРЕЗКЕ F1F2.
Вторая строка — горизонтальная прямая y = |21 − a2| : 4, её высота неотрицательна.
При a > 0 отрезок не горизонтален, и его ординаты пробегают [0; a] по одному разу, поэтому общая точка ровно одна ⟺ |21 − a2| ≤ 4a.
Раскрывая модуль: a2 − 4a − 21 ≤ 0 и a2 + 4a − 21 ≥ 0, то есть 3 ≤ a ≤ 7.
Ответ: [3; 7].
Вторая строка — горизонтальная прямая y = |21 − a2| : 4, её высота неотрицательна.
При a > 0 отрезок не горизонтален, и его ординаты пробегают [0; a] по одному разу, поэтому общая точка ровно одна ⟺ |21 − a2| ≤ 4a.
Раскрывая модуль: a2 − 4a − 21 ≤ 0 и a2 + 4a − 21 ≥ 0, то есть 3 ≤ a ≤ 7.
Ответ: [3; 7].
Пример 5
Найдите все неотрицательные значения a, при каждом из которых система
+ = 6y = |40 − a2|
имеет единственное решение.
+ = 6y = |40 − a2|
имеет единственное решение.
Показать ответ
[4; 10]
Решение
Обозначим F1(−4; 0) и F2(0; a). Тогда |F1F2| = — ровно правая часть первого уравнения, а сумма расстояний до двух точек равна расстоянию между ними только на ОТРЕЗКЕ F1F2.
Вторая строка — горизонтальная прямая y = |40 − a2| : 6, её высота неотрицательна.
При a > 0 отрезок не горизонтален, и его ординаты пробегают [0; a] по одному разу, поэтому общая точка ровно одна ⟺ |40 − a2| ≤ 6a.
Раскрывая модуль: a2 − 6a − 40 ≤ 0 и a2 + 6a − 40 ≥ 0, то есть 4 ≤ a ≤ 10.
Ответ: [4; 10].
Вторая строка — горизонтальная прямая y = |40 − a2| : 6, её высота неотрицательна.
При a > 0 отрезок не горизонтален, и его ординаты пробегают [0; a] по одному разу, поэтому общая точка ровно одна ⟺ |40 − a2| ≤ 6a.
Раскрывая модуль: a2 − 6a − 40 ≤ 0 и a2 + 6a − 40 ≥ 0, то есть 4 ≤ a ≤ 10.
Ответ: [4; 10].
Другие темы задания №19
1Линейный знаменатель: (k²x²−a²)/(px−q−ra) = 02Разность квадратов внизу: (k²x²−a²)/((x+m)²−a²) = 03Параметр в свободном члене: (x²−2mx+a)/((kx−a)(x−a)) = 04(ca−x²+bx)/(x−a²) = 0 — полюс x = a², кубическое уравнение выкалываний5Полюсы ±√a: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²−a) = 06Раскладывающийся знаменатель: (x²−2mx+a²+2ta)/((kx+a)(x−a)) = 07Выкалывания через резольвенту: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²+px−qa) = 08Параметр в обеих частях: (x²+2ux−ca)/(x²−2vx+a²−2wa) = 09Модуль в числителе: (|kx|−x−c−a)/(x²−px−qa) = 010Модуль и a² внизу: (|kx−b|+ra−b)/(x²−2mx+a²) = 011Промежуток области определения: (x²−a(a−1)x−a³)/√(квадратный) = 012(x²−2mx+a²)/√((a+b−x)(a−c+x)) = 0 на отрезке
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.