Единственное решение: {px−qy+z = kx²+my²; −x+y+rz = a} — задание 19 ЕГЭ по профильной математике
Симметричные системы. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Найдите все значения a, при каждом из которых система
3x − y + z = 3x2 + y2−x + y + 3z = a
имеет единственное решение.
3x − y + z = 3x2 + y2−x + y + 3z = a
имеет единственное решение.
Показать ответ
{−37/9}
Решение
Из первой строки z выражается однозначно: z = 3x2 + y2 − 3x + y.
Подставим во вторую: −x + y + 3(3x2 + y2 − 3x + y) = a, то есть 9x2 + 3y2 − 10x + 4y = a.
Слева стоит положительно определённая функция: выделяя полные квадраты, получаем 9(x − 5/9)2 + 3(y + 2/3)2 − 37/9.
Её наименьшее значение равно −37/9; ниже него решений нет, выше — целый эллипс, и лишь в самом минимуме решение ЕДИНСТВЕННО (а z по нему восстанавливается однозначно).
Ответ: {−37/9}.
Подставим во вторую: −x + y + 3(3x2 + y2 − 3x + y) = a, то есть 9x2 + 3y2 − 10x + 4y = a.
Слева стоит положительно определённая функция: выделяя полные квадраты, получаем 9(x − 5/9)2 + 3(y + 2/3)2 − 37/9.
Её наименьшее значение равно −37/9; ниже него решений нет, выше — целый эллипс, и лишь в самом минимуме решение ЕДИНСТВЕННО (а z по нему восстанавливается однозначно).
Ответ: {−37/9}.
Пример 2
Найдите все значения a, при каждом из которых система
x − y + z = 2x2 + 2y2−x + y + z = a
имеет единственное решение.
x − y + z = 2x2 + 2y2−x + y + z = a
имеет единственное решение.
Показать ответ
{−1}
Решение
Из первой строки z выражается однозначно: z = 2x2 + 2y2 − x + y.
Подставим во вторую: −x + y + (2x2 + 2y2 − x + y) = a, то есть 2x2 + 2y2 − 2x + 2y = a.
Слева стоит положительно определённая функция: выделяя полные квадраты, получаем 2(x − 1/2)2 + 2(y + 1/2)2 − 1.
Её наименьшее значение равно −1; ниже него решений нет, выше — целый эллипс, и лишь в самом минимуме решение ЕДИНСТВЕННО (а z по нему восстанавливается однозначно).
Ответ: {−1}.
Подставим во вторую: −x + y + (2x2 + 2y2 − x + y) = a, то есть 2x2 + 2y2 − 2x + 2y = a.
Слева стоит положительно определённая функция: выделяя полные квадраты, получаем 2(x − 1/2)2 + 2(y + 1/2)2 − 1.
Её наименьшее значение равно −1; ниже него решений нет, выше — целый эллипс, и лишь в самом минимуме решение ЕДИНСТВЕННО (а z по нему восстанавливается однозначно).
Ответ: {−1}.
Пример 3
Найдите все значения a, при каждом из которых система
2x − 2y + z = x2 + y2−x + y + 3z = a
имеет единственное решение.
2x − 2y + z = x2 + y2−x + y + 3z = a
имеет единственное решение.
Показать ответ
{−49/6}
Решение
Из первой строки z выражается однозначно: z = x2 + y2 − 2x + 2y.
Подставим во вторую: −x + y + 3(x2 + y2 − 2x + 2y) = a, то есть 3x2 + 3y2 − 7x + 7y = a.
Слева стоит положительно определённая функция: выделяя полные квадраты, получаем 3(x − 7/6)2 + 3(y + 7/6)2 − 49/6.
Её наименьшее значение равно −49/6; ниже него решений нет, выше — целый эллипс, и лишь в самом минимуме решение ЕДИНСТВЕННО (а z по нему восстанавливается однозначно).
Ответ: {−49/6}.
Подставим во вторую: −x + y + 3(x2 + y2 − 2x + 2y) = a, то есть 3x2 + 3y2 − 7x + 7y = a.
Слева стоит положительно определённая функция: выделяя полные квадраты, получаем 3(x − 7/6)2 + 3(y + 7/6)2 − 49/6.
Её наименьшее значение равно −49/6; ниже него решений нет, выше — целый эллипс, и лишь в самом минимуме решение ЕДИНСТВЕННО (а z по нему восстанавливается однозначно).
Ответ: {−49/6}.
Пример 4
Найдите все значения a, при каждом из которых система
x − 3y + z = 3x2 + 3y2−x + y + z = a
имеет единственное решение.
x − 3y + z = 3x2 + 3y2−x + y + z = a
имеет единственное решение.
Показать ответ
{−5/3}
Решение
Из первой строки z выражается однозначно: z = 3x2 + 3y2 − x + 3y.
Подставим во вторую: −x + y + (3x2 + 3y2 − x + 3y) = a, то есть 3x2 + 3y2 − 2x + 4y = a.
Слева стоит положительно определённая функция: выделяя полные квадраты, получаем 3(x − 1/3)2 + 3(y + 2/3)2 − 5/3.
Её наименьшее значение равно −5/3; ниже него решений нет, выше — целый эллипс, и лишь в самом минимуме решение ЕДИНСТВЕННО (а z по нему восстанавливается однозначно).
Ответ: {−5/3}.
Подставим во вторую: −x + y + (3x2 + 3y2 − x + 3y) = a, то есть 3x2 + 3y2 − 2x + 4y = a.
Слева стоит положительно определённая функция: выделяя полные квадраты, получаем 3(x − 1/3)2 + 3(y + 2/3)2 − 5/3.
Её наименьшее значение равно −5/3; ниже него решений нет, выше — целый эллипс, и лишь в самом минимуме решение ЕДИНСТВЕННО (а z по нему восстанавливается однозначно).
Ответ: {−5/3}.
Пример 5
Найдите все значения a, при каждом из которых система
x − 3y + z = 3x2 + y2−x + y + z = a
имеет единственное решение.
x − 3y + z = 3x2 + y2−x + y + z = a
имеет единственное решение.
Показать ответ
{−13/3}
Решение
Из первой строки z выражается однозначно: z = 3x2 + y2 − x + 3y.
Подставим во вторую: −x + y + (3x2 + y2 − x + 3y) = a, то есть 3x2 + y2 − 2x + 4y = a.
Слева стоит положительно определённая функция: выделяя полные квадраты, получаем 3(x − 1/3)2 + (y + 2)2 − 13/3.
Её наименьшее значение равно −13/3; ниже него решений нет, выше — целый эллипс, и лишь в самом минимуме решение ЕДИНСТВЕННО (а z по нему восстанавливается однозначно).
Ответ: {−13/3}.
Подставим во вторую: −x + y + (3x2 + y2 − x + 3y) = a, то есть 3x2 + y2 − 2x + 4y = a.
Слева стоит положительно определённая функция: выделяя полные квадраты, получаем 3(x − 1/3)2 + (y + 2)2 − 13/3.
Её наименьшее значение равно −13/3; ниже него решений нет, выше — целый эллипс, и лишь в самом минимуме решение ЕДИНСТВЕННО (а z по нему восстанавливается однозначно).
Ответ: {−13/3}.
Другие темы задания №19
1Линейный знаменатель: (k²x²−a²)/(px−q−ra) = 02Разность квадратов внизу: (k²x²−a²)/((x+m)²−a²) = 03Параметр в свободном члене: (x²−2mx+a)/((kx−a)(x−a)) = 04(ca−x²+bx)/(x−a²) = 0 — полюс x = a², кубическое уравнение выкалываний5Полюсы ±√a: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²−a) = 06Раскладывающийся знаменатель: (x²−2mx+a²+2ta)/((kx+a)(x−a)) = 07Выкалывания через резольвенту: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²+px−qa) = 08Параметр в обеих частях: (x²+2ux−ca)/(x²−2vx+a²−2wa) = 09Модуль в числителе: (|kx|−x−c−a)/(x²−px−qa) = 010Модуль и a² внизу: (|kx−b|+ra−b)/(x²−2mx+a²) = 011Промежуток области определения: (x²−a(a−1)x−a³)/√(квадратный) = 012(x²−2mx+a²)/√((a+b−x)(a−c+x)) = 0 на отрезке
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.