Единственное решение: распадающаяся кривая + пучок прямых — задание 19 ЕГЭ по профильной математике
Системы неравенств с параметром. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система
y(y − 6) = xy − 4(x + 2)x ≤ 5a(x − 5) − 2y − 2 = 1
имеет единственное решение.
y(y − 6) = xy − 4(x + 2)x ≤ 5a(x − 5) − 2y − 2 = 1
имеет единственное решение.
Показать ответ
{−4/3} ∪ {−2/5} ∪ [0; 1)
Решение
Первое уравнение: y2 − 6y − xy + 4x + 8 = 0 ⟺ (y − 4)(y − x − 2) = 0, то есть y = 4 или y = x + 2.
Третье уравнение при y ≠ 2 равносильно a(x − 5) = y, то есть это пучок прямых с центром (5; 0).
Прямая пересекает y = 4 в точке x = 5 + 4/a и прямую y = x + 2 в точке x = (5a + 2)/(a − 1); годятся лишь точки с x ≤ 5 и y ≠ 2.
Ответ: {−4/3} ∪ {−2/5} ∪ [0; 1).
Третье уравнение при y ≠ 2 равносильно a(x − 5) = y, то есть это пучок прямых с центром (5; 0).
Прямая пересекает y = 4 в точке x = 5 + 4/a и прямую y = x + 2 в точке x = (5a + 2)/(a − 1); годятся лишь точки с x ≤ 5 и y ≠ 2.
Ответ: {−4/3} ∪ {−2/5} ∪ [0; 1).
Пример 2
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система
y(y − 8) = xy − 5(x + 3)x ≤ 6a(x − 6) − 3y − 3 = 1
имеет единственное решение.
y(y − 8) = xy − 5(x + 3)x ≤ 6a(x − 6) − 3y − 3 = 1
имеет единственное решение.
Показать ответ
{−5/4} ∪ {−1/2} ∪ [0; 1)
Решение
Первое уравнение: y2 − 8y − xy + 5x + 15 = 0 ⟺ (y − 5)(y − x − 3) = 0, то есть y = 5 или y = x + 3.
Третье уравнение при y ≠ 3 равносильно a(x − 6) = y, то есть это пучок прямых с центром (6; 0).
Прямая пересекает y = 5 в точке x = 6 + 5/a и прямую y = x + 3 в точке x = (6a + 3)/(a − 1); годятся лишь точки с x ≤ 6 и y ≠ 3.
Ответ: {−5/4} ∪ {−1/2} ∪ [0; 1).
Третье уравнение при y ≠ 3 равносильно a(x − 6) = y, то есть это пучок прямых с центром (6; 0).
Прямая пересекает y = 5 в точке x = 6 + 5/a и прямую y = x + 3 в точке x = (6a + 3)/(a − 1); годятся лишь точки с x ≤ 6 и y ≠ 3.
Ответ: {−5/4} ∪ {−1/2} ∪ [0; 1).
Пример 3
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система
y(y − 5) = xy − 4(x + 1)x ≤ 4a(x − 4) − 1y − 1 = 1
имеет единственное решение.
y(y − 5) = xy − 4(x + 1)x ≤ 4a(x − 4) − 1y − 1 = 1
имеет единственное решение.
Показать ответ
{−4} ∪ {−1/4} ∪ [0; 1)
Решение
Первое уравнение: y2 − 5y − xy + 4x + 4 = 0 ⟺ (y − 4)(y − x − 1) = 0, то есть y = 4 или y = x + 1.
Третье уравнение при y ≠ 1 равносильно a(x − 4) = y, то есть это пучок прямых с центром (4; 0).
Прямая пересекает y = 4 в точке x = 4 + 4/a и прямую y = x + 1 в точке x = (4a + 1)/(a − 1); годятся лишь точки с x ≤ 4 и y ≠ 1.
Ответ: {−4} ∪ {−1/4} ∪ [0; 1).
Третье уравнение при y ≠ 1 равносильно a(x − 4) = y, то есть это пучок прямых с центром (4; 0).
Прямая пересекает y = 4 в точке x = 4 + 4/a и прямую y = x + 1 в точке x = (4a + 1)/(a − 1); годятся лишь точки с x ≤ 4 и y ≠ 1.
Ответ: {−4} ∪ {−1/4} ∪ [0; 1).
Пример 4
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система
y(y − 7) = xy − 4(x + 3)x ≤ 5a(x − 5) − 3y − 3 = 1
имеет единственное решение.
y(y − 7) = xy − 4(x + 3)x ≤ 5a(x − 5) − 3y − 3 = 1
имеет единственное решение.
Показать ответ
{−1} ∪ {−3/5} ∪ [0; 1)
Решение
Первое уравнение: y2 − 7y − xy + 4x + 12 = 0 ⟺ (y − 4)(y − x − 3) = 0, то есть y = 4 или y = x + 3.
Третье уравнение при y ≠ 3 равносильно a(x − 5) = y, то есть это пучок прямых с центром (5; 0).
Прямая пересекает y = 4 в точке x = 5 + 4/a и прямую y = x + 3 в точке x = (5a + 3)/(a − 1); годятся лишь точки с x ≤ 5 и y ≠ 3.
Ответ: {−1} ∪ {−3/5} ∪ [0; 1).
Третье уравнение при y ≠ 3 равносильно a(x − 5) = y, то есть это пучок прямых с центром (5; 0).
Прямая пересекает y = 4 в точке x = 5 + 4/a и прямую y = x + 3 в точке x = (5a + 3)/(a − 1); годятся лишь точки с x ≤ 5 и y ≠ 3.
Ответ: {−1} ∪ {−3/5} ∪ [0; 1).
Пример 5
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система
y(y − 5) = xy − 3(x + 2)x ≤ 5a(x − 5) − 2y − 2 = 1
имеет единственное решение.
y(y − 5) = xy − 3(x + 2)x ≤ 5a(x − 5) − 2y − 2 = 1
имеет единственное решение.
Показать ответ
{−3/4} ∪ {−2/5} ∪ [0; 1)
Решение
Первое уравнение: y2 − 5y − xy + 3x + 6 = 0 ⟺ (y − 3)(y − x − 2) = 0, то есть y = 3 или y = x + 2.
Третье уравнение при y ≠ 2 равносильно a(x − 5) = y, то есть это пучок прямых с центром (5; 0).
Прямая пересекает y = 3 в точке x = 5 + 3/a и прямую y = x + 2 в точке x = (5a + 2)/(a − 1); годятся лишь точки с x ≤ 5 и y ≠ 2.
Ответ: {−3/4} ∪ {−2/5} ∪ [0; 1).
Третье уравнение при y ≠ 2 равносильно a(x − 5) = y, то есть это пучок прямых с центром (5; 0).
Прямая пересекает y = 3 в точке x = 5 + 3/a и прямую y = x + 2 в точке x = (5a + 2)/(a − 1); годятся лишь точки с x ≤ 5 и y ≠ 2.
Ответ: {−3/4} ∪ {−2/5} ∪ [0; 1).
Другие темы задания №19
1Линейный знаменатель: (k²x²−a²)/(px−q−ra) = 02Разность квадратов внизу: (k²x²−a²)/((x+m)²−a²) = 03Параметр в свободном члене: (x²−2mx+a)/((kx−a)(x−a)) = 04(ca−x²+bx)/(x−a²) = 0 — полюс x = a², кубическое уравнение выкалываний5Полюсы ±√a: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²−a) = 06Раскладывающийся знаменатель: (x²−2mx+a²+2ta)/((kx+a)(x−a)) = 07Выкалывания через резольвенту: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²+px−qa) = 08Параметр в обеих частях: (x²+2ux−ca)/(x²−2vx+a²−2wa) = 09Модуль в числителе: (|kx|−x−c−a)/(x²−px−qa) = 010Модуль и a² внизу: (|kx−b|+ra−b)/(x²−2mx+a²) = 011Промежуток области определения: (x²−a(a−1)x−a³)/√(квадратный) = 012(x²−2mx+a²)/√((a+b−x)(a−c+x)) = 0 на отрезке
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.