Единственное решение: √(x⁴+(a−p)⁴) = сумма модулей — задание 19 ЕГЭ по профильной математике
Окружность и семейство кривых; два модуля. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
= 3|x − a + 2| + 3|x + a − 2|
имеет единственное решение.
= 3|x − a + 2| + 3|x + a − 2|
имеет единственное решение.
Показать ответ
{−4} ∪ {8}
Решение
Обозначим t = a − 2. Правая часть равна 6·max(|x|; |t|) и неотрицательна, поэтому можно возвести в квадрат: x4 + t4 = 36·max(|x|; |t|)2.
После замены u = |x| ≥ 0, v = |t| ≥ 0: при u ≤ v получаем u4 = 36v2 − v4, при u > v — u4 − 36u2 + v4 = 0.
Каждое u > 0 даёт два корня x = ±u, значит единственный корень — это x = 0 и никаких других: 36v2 = v4, то есть v2 = 36.
При v = 0 кроме нуля появляются ещё x = ±6, поэтому годится только v = 6, то есть |a − 2| = 6.
Ответ: {−4} ∪ {8}.
После замены u = |x| ≥ 0, v = |t| ≥ 0: при u ≤ v получаем u4 = 36v2 − v4, при u > v — u4 − 36u2 + v4 = 0.
Каждое u > 0 даёт два корня x = ±u, значит единственный корень — это x = 0 и никаких других: 36v2 = v4, то есть v2 = 36.
При v = 0 кроме нуля появляются ещё x = ±6, поэтому годится только v = 6, то есть |a − 2| = 6.
Ответ: {−4} ∪ {8}.
Пример 2
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
= |x − a + 1| + |x + a − 1|
имеет единственное решение.
= |x − a + 1| + |x + a − 1|
имеет единственное решение.
Показать ответ
{−1} ∪ {3}
Решение
Обозначим t = a − 1. Правая часть равна 2·max(|x|; |t|) и неотрицательна, поэтому можно возвести в квадрат: x4 + t4 = 4·max(|x|; |t|)2.
После замены u = |x| ≥ 0, v = |t| ≥ 0: при u ≤ v получаем u4 = 4v2 − v4, при u > v — u4 − 4u2 + v4 = 0.
Каждое u > 0 даёт два корня x = ±u, значит единственный корень — это x = 0 и никаких других: 4v2 = v4, то есть v2 = 4.
При v = 0 кроме нуля появляются ещё x = ±2, поэтому годится только v = 2, то есть |a − 1| = 2.
Ответ: {−1} ∪ {3}.
После замены u = |x| ≥ 0, v = |t| ≥ 0: при u ≤ v получаем u4 = 4v2 − v4, при u > v — u4 − 4u2 + v4 = 0.
Каждое u > 0 даёт два корня x = ±u, значит единственный корень — это x = 0 и никаких других: 4v2 = v4, то есть v2 = 4.
При v = 0 кроме нуля появляются ещё x = ±2, поэтому годится только v = 2, то есть |a − 1| = 2.
Ответ: {−1} ∪ {3}.
Пример 3
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
= 3|x − a + 4| + 3|x + a − 4|
имеет единственное решение.
= 3|x − a + 4| + 3|x + a − 4|
имеет единственное решение.
Показать ответ
{−2} ∪ {10}
Решение
Обозначим t = a − 4. Правая часть равна 6·max(|x|; |t|) и неотрицательна, поэтому можно возвести в квадрат: x4 + t4 = 36·max(|x|; |t|)2.
После замены u = |x| ≥ 0, v = |t| ≥ 0: при u ≤ v получаем u4 = 36v2 − v4, при u > v — u4 − 36u2 + v4 = 0.
Каждое u > 0 даёт два корня x = ±u, значит единственный корень — это x = 0 и никаких других: 36v2 = v4, то есть v2 = 36.
При v = 0 кроме нуля появляются ещё x = ±6, поэтому годится только v = 6, то есть |a − 4| = 6.
Ответ: {−2} ∪ {10}.
После замены u = |x| ≥ 0, v = |t| ≥ 0: при u ≤ v получаем u4 = 36v2 − v4, при u > v — u4 − 36u2 + v4 = 0.
Каждое u > 0 даёт два корня x = ±u, значит единственный корень — это x = 0 и никаких других: 36v2 = v4, то есть v2 = 36.
При v = 0 кроме нуля появляются ещё x = ±6, поэтому годится только v = 6, то есть |a − 4| = 6.
Ответ: {−2} ∪ {10}.
Пример 4
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
= 3|x − a + 5| + 3|x + a − 5|
имеет единственное решение.
= 3|x − a + 5| + 3|x + a − 5|
имеет единственное решение.
Показать ответ
{−1} ∪ {11}
Решение
Обозначим t = a − 5. Правая часть равна 6·max(|x|; |t|) и неотрицательна, поэтому можно возвести в квадрат: x4 + t4 = 36·max(|x|; |t|)2.
После замены u = |x| ≥ 0, v = |t| ≥ 0: при u ≤ v получаем u4 = 36v2 − v4, при u > v — u4 − 36u2 + v4 = 0.
Каждое u > 0 даёт два корня x = ±u, значит единственный корень — это x = 0 и никаких других: 36v2 = v4, то есть v2 = 36.
При v = 0 кроме нуля появляются ещё x = ±6, поэтому годится только v = 6, то есть |a − 5| = 6.
Ответ: {−1} ∪ {11}.
После замены u = |x| ≥ 0, v = |t| ≥ 0: при u ≤ v получаем u4 = 36v2 − v4, при u > v — u4 − 36u2 + v4 = 0.
Каждое u > 0 даёт два корня x = ±u, значит единственный корень — это x = 0 и никаких других: 36v2 = v4, то есть v2 = 36.
При v = 0 кроме нуля появляются ещё x = ±6, поэтому годится только v = 6, то есть |a − 5| = 6.
Ответ: {−1} ∪ {11}.
Пример 5
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
= 2|x − a + 2| + 2|x + a − 2|
имеет единственное решение.
= 2|x − a + 2| + 2|x + a − 2|
имеет единственное решение.
Показать ответ
{−2} ∪ {6}
Решение
Обозначим t = a − 2. Правая часть равна 4·max(|x|; |t|) и неотрицательна, поэтому можно возвести в квадрат: x4 + t4 = 16·max(|x|; |t|)2.
После замены u = |x| ≥ 0, v = |t| ≥ 0: при u ≤ v получаем u4 = 16v2 − v4, при u > v — u4 − 16u2 + v4 = 0.
Каждое u > 0 даёт два корня x = ±u, значит единственный корень — это x = 0 и никаких других: 16v2 = v4, то есть v2 = 16.
При v = 0 кроме нуля появляются ещё x = ±4, поэтому годится только v = 4, то есть |a − 2| = 4.
Ответ: {−2} ∪ {6}.
После замены u = |x| ≥ 0, v = |t| ≥ 0: при u ≤ v получаем u4 = 16v2 − v4, при u > v — u4 − 16u2 + v4 = 0.
Каждое u > 0 даёт два корня x = ±u, значит единственный корень — это x = 0 и никаких других: 16v2 = v4, то есть v2 = 16.
При v = 0 кроме нуля появляются ещё x = ±4, поэтому годится только v = 4, то есть |a − 2| = 4.
Ответ: {−2} ∪ {6}.
Другие темы задания №19
1Линейный знаменатель: (k²x²−a²)/(px−q−ra) = 02Разность квадратов внизу: (k²x²−a²)/((x+m)²−a²) = 03Параметр в свободном члене: (x²−2mx+a)/((kx−a)(x−a)) = 04(ca−x²+bx)/(x−a²) = 0 — полюс x = a², кубическое уравнение выкалываний5Полюсы ±√a: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²−a) = 06Раскладывающийся знаменатель: (x²−2mx+a²+2ta)/((kx+a)(x−a)) = 07Выкалывания через резольвенту: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²+px−qa) = 08Параметр в обеих частях: (x²+2ux−ca)/(x²−2vx+a²−2wa) = 09Модуль в числителе: (|kx|−x−c−a)/(x²−px−qa) = 010Модуль и a² внизу: (|kx−b|+ra−b)/(x²−2mx+a²) = 011Промежуток области определения: (x²−a(a−1)x−a³)/√(квадратный) = 012(x²−2mx+a²)/√((a+b−x)(a−c+x)) = 0 на отрезке
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.