Единственное: сумма расстояний = |F₁F₂| (отрезок) и круг — задание 19 ЕГЭ по профильной математике
Системы «две кривые»: точки, прямые, окружности. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Найдите все значения a, при каждом из которых система
+ = |a|x2 + y2 ≤ 20
имеет единственное решение.
+ = |a|x2 + y2 ≤ 20
имеет единственное решение.
Показать ответ
{−5} ∪ {0} ∪ {5}
Решение
Обозначим F1(a; 0) и F2(0; −2a). Тогда |F1F2| = = |a| — ровно правая часть.
Сумма расстояний до двух точек равна расстоянию между ними только для точек ОТРЕЗКА F1F2, значит первая строка задаёт этот отрезок.
Угол F1OF2 прямой, поэтому расстояние от начала координат до отрезка равно |a|·2a : |F1F2| = 2|a| : , а основание перпендикуляра лежит внутри отрезка.
Вторая строка — круг радиуса . Общая точка ровно одна в двух случаях: a = 0 (отрезок стянулся в точку (0; 0), она в круге) и касание — когда это расстояние равно , то есть |a| = 5.
При меньшем расстоянии внутрь круга попадает целый кусок отрезка (решений бесконечно много), при большем — ни одной точки.
Ответ: {−5} ∪ {0} ∪ {5}.
Сумма расстояний до двух точек равна расстоянию между ними только для точек ОТРЕЗКА F1F2, значит первая строка задаёт этот отрезок.
Угол F1OF2 прямой, поэтому расстояние от начала координат до отрезка равно |a|·2a : |F1F2| = 2|a| : , а основание перпендикуляра лежит внутри отрезка.
Вторая строка — круг радиуса . Общая точка ровно одна в двух случаях: a = 0 (отрезок стянулся в точку (0; 0), она в круге) и касание — когда это расстояние равно , то есть |a| = 5.
При меньшем расстоянии внутрь круга попадает целый кусок отрезка (решений бесконечно много), при большем — ни одной точки.
Ответ: {−5} ∪ {0} ∪ {5}.
Пример 2
Найдите все значения a, при каждом из которых система
+ = |a|x2 + y2 ≤ 2
имеет единственное решение.
+ = |a|x2 + y2 ≤ 2
имеет единственное решение.
Показать ответ
{−2} ∪ {0} ∪ {2}
Решение
Обозначим F1(a; 0) и F2(0; −a). Тогда |F1F2| = = |a| — ровно правая часть.
Сумма расстояний до двух точек равна расстоянию между ними только для точек ОТРЕЗКА F1F2, значит первая строка задаёт этот отрезок.
Угол F1OF2 прямой, поэтому расстояние от начала координат до отрезка равно |a|·a : |F1F2| = |a| : , а основание перпендикуляра лежит внутри отрезка.
Вторая строка — круг радиуса . Общая точка ровно одна в двух случаях: a = 0 (отрезок стянулся в точку (0; 0), она в круге) и касание — когда это расстояние равно , то есть |a| = 2.
При меньшем расстоянии внутрь круга попадает целый кусок отрезка (решений бесконечно много), при большем — ни одной точки.
Ответ: {−2} ∪ {0} ∪ {2}.
Сумма расстояний до двух точек равна расстоянию между ними только для точек ОТРЕЗКА F1F2, значит первая строка задаёт этот отрезок.
Угол F1OF2 прямой, поэтому расстояние от начала координат до отрезка равно |a|·a : |F1F2| = |a| : , а основание перпендикуляра лежит внутри отрезка.
Вторая строка — круг радиуса . Общая точка ровно одна в двух случаях: a = 0 (отрезок стянулся в точку (0; 0), она в круге) и касание — когда это расстояние равно , то есть |a| = 2.
При меньшем расстоянии внутрь круга попадает целый кусок отрезка (решений бесконечно много), при большем — ни одной точки.
Ответ: {−2} ∪ {0} ∪ {2}.
Пример 3
Найдите все значения a, при каждом из которых система
+ = |a|x2 + y2 ≤ 5
имеет единственное решение.
+ = |a|x2 + y2 ≤ 5
имеет единственное решение.
Показать ответ
{−5/2} ∪ {0} ∪ {5/2}
Решение
Обозначим F1(a; 0) и F2(0; −2a). Тогда |F1F2| = = |a| — ровно правая часть.
Сумма расстояний до двух точек равна расстоянию между ними только для точек ОТРЕЗКА F1F2, значит первая строка задаёт этот отрезок.
Угол F1OF2 прямой, поэтому расстояние от начала координат до отрезка равно |a|·2a : |F1F2| = 2|a| : , а основание перпендикуляра лежит внутри отрезка.
Вторая строка — круг радиуса . Общая точка ровно одна в двух случаях: a = 0 (отрезок стянулся в точку (0; 0), она в круге) и касание — когда это расстояние равно , то есть |a| = 5/2.
При меньшем расстоянии внутрь круга попадает целый кусок отрезка (решений бесконечно много), при большем — ни одной точки.
Ответ: {−5/2} ∪ {0} ∪ {5/2}.
Сумма расстояний до двух точек равна расстоянию между ними только для точек ОТРЕЗКА F1F2, значит первая строка задаёт этот отрезок.
Угол F1OF2 прямой, поэтому расстояние от начала координат до отрезка равно |a|·2a : |F1F2| = 2|a| : , а основание перпендикуляра лежит внутри отрезка.
Вторая строка — круг радиуса . Общая точка ровно одна в двух случаях: a = 0 (отрезок стянулся в точку (0; 0), она в круге) и касание — когда это расстояние равно , то есть |a| = 5/2.
При меньшем расстоянии внутрь круга попадает целый кусок отрезка (решений бесконечно много), при большем — ни одной точки.
Ответ: {−5/2} ∪ {0} ∪ {5/2}.
Пример 4
Найдите все значения a, при каждом из которых система
+ = |a|x2 + y2 ≤ 45
имеет единственное решение.
+ = |a|x2 + y2 ≤ 45
имеет единственное решение.
Показать ответ
{−15/2} ∪ {0} ∪ {15/2}
Решение
Обозначим F1(a; 0) и F2(0; −2a). Тогда |F1F2| = = |a| — ровно правая часть.
Сумма расстояний до двух точек равна расстоянию между ними только для точек ОТРЕЗКА F1F2, значит первая строка задаёт этот отрезок.
Угол F1OF2 прямой, поэтому расстояние от начала координат до отрезка равно |a|·2a : |F1F2| = 2|a| : , а основание перпендикуляра лежит внутри отрезка.
Вторая строка — круг радиуса . Общая точка ровно одна в двух случаях: a = 0 (отрезок стянулся в точку (0; 0), она в круге) и касание — когда это расстояние равно , то есть |a| = 15/2.
При меньшем расстоянии внутрь круга попадает целый кусок отрезка (решений бесконечно много), при большем — ни одной точки.
Ответ: {−15/2} ∪ {0} ∪ {15/2}.
Сумма расстояний до двух точек равна расстоянию между ними только для точек ОТРЕЗКА F1F2, значит первая строка задаёт этот отрезок.
Угол F1OF2 прямой, поэтому расстояние от начала координат до отрезка равно |a|·2a : |F1F2| = 2|a| : , а основание перпендикуляра лежит внутри отрезка.
Вторая строка — круг радиуса . Общая точка ровно одна в двух случаях: a = 0 (отрезок стянулся в точку (0; 0), она в круге) и касание — когда это расстояние равно , то есть |a| = 15/2.
При меньшем расстоянии внутрь круга попадает целый кусок отрезка (решений бесконечно много), при большем — ни одной точки.
Ответ: {−15/2} ∪ {0} ∪ {15/2}.
Пример 5
Найдите все значения a, при каждом из которых система
+ = |a|x2 + y2 ≤ 90
имеет единственное решение.
+ = |a|x2 + y2 ≤ 90
имеет единственное решение.
Показать ответ
{−10} ∪ {0} ∪ {10}
Решение
Обозначим F1(a; 0) и F2(0; −3a). Тогда |F1F2| = = |a| — ровно правая часть.
Сумма расстояний до двух точек равна расстоянию между ними только для точек ОТРЕЗКА F1F2, значит первая строка задаёт этот отрезок.
Угол F1OF2 прямой, поэтому расстояние от начала координат до отрезка равно |a|·3a : |F1F2| = 3|a| : , а основание перпендикуляра лежит внутри отрезка.
Вторая строка — круг радиуса . Общая точка ровно одна в двух случаях: a = 0 (отрезок стянулся в точку (0; 0), она в круге) и касание — когда это расстояние равно , то есть |a| = 10.
При меньшем расстоянии внутрь круга попадает целый кусок отрезка (решений бесконечно много), при большем — ни одной точки.
Ответ: {−10} ∪ {0} ∪ {10}.
Сумма расстояний до двух точек равна расстоянию между ними только для точек ОТРЕЗКА F1F2, значит первая строка задаёт этот отрезок.
Угол F1OF2 прямой, поэтому расстояние от начала координат до отрезка равно |a|·3a : |F1F2| = 3|a| : , а основание перпендикуляра лежит внутри отрезка.
Вторая строка — круг радиуса . Общая точка ровно одна в двух случаях: a = 0 (отрезок стянулся в точку (0; 0), она в круге) и касание — когда это расстояние равно , то есть |a| = 10.
При меньшем расстоянии внутрь круга попадает целый кусок отрезка (решений бесконечно много), при большем — ни одной точки.
Ответ: {−10} ∪ {0} ∪ {10}.
Другие темы задания №19
1Линейный знаменатель: (k²x²−a²)/(px−q−ra) = 02Разность квадратов внизу: (k²x²−a²)/((x+m)²−a²) = 03Параметр в свободном члене: (x²−2mx+a)/((kx−a)(x−a)) = 04(ca−x²+bx)/(x−a²) = 0 — полюс x = a², кубическое уравнение выкалываний5Полюсы ±√a: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²−a) = 06Раскладывающийся знаменатель: (x²−2mx+a²+2ta)/((kx+a)(x−a)) = 07Выкалывания через резольвенту: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²+px−qa) = 08Параметр в обеих частях: (x²+2ux−ca)/(x²−2vx+a²−2wa) = 09Модуль в числителе: (|kx|−x−c−a)/(x²−px−qa) = 010Модуль и a² внизу: (|kx−b|+ra−b)/(x²−2mx+a²) = 011Промежуток области определения: (x²−a(a−1)x−a³)/√(квадратный) = 012(x²−2mx+a²)/√((a+b−x)(a−c+x)) = 0 на отрезке
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.