Единственное: {(|x|−q)²+(y−h)²=ρ²; окружность радиуса a} — задание 19 ЕГЭ по профильной математике
Окружность и семейство кривых; два модуля. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Найдите все положительные значения a, при каждом из которых система
(|x| − 20)2 + (y − 12)2 = 25(x + 15)2 + y2 = a2
имеет единственное решение.
(|x| − 20)2 + (y − 12)2 = 25(x + 15)2 + y2 = a2
имеет единственное решение.
Показать ответ
{8} ∪ {18} ∪ {32} ∪ {42}
Решение
При x ≥ 0 первая строка — окружность с центром O1(20; 12) и радиусом 5, при x ≤ 0 — окружность с центром O2(−20; 12) и тем же радиусом; так как 5 < 20, каждая целиком лежит в своей полуплоскости, то есть первая строка задаёт ровно эти две окружности.
Вторая строка — окружность с центром C(−15; 0) и радиусом a.
Расстояния от C до центров: CO2 = = 13 и CO1 = = 37.
С каждой из окружностей радиуса 5 окружность радиуса a имеет две общие точки при |d − a| < 5 < d + a и одну при касании (a = d ± 5).
Единственное решение всей системы — когда касание есть с одной окружностью, а со второй общих точек нет.
Ответ: {8} ∪ {18} ∪ {32} ∪ {42}.
Вторая строка — окружность с центром C(−15; 0) и радиусом a.
Расстояния от C до центров: CO2 = = 13 и CO1 = = 37.
С каждой из окружностей радиуса 5 окружность радиуса a имеет две общие точки при |d − a| < 5 < d + a и одну при касании (a = d ± 5).
Единственное решение всей системы — когда касание есть с одной окружностью, а со второй общих точек нет.
Ответ: {8} ∪ {18} ∪ {32} ∪ {42}.
Пример 2
Найдите все положительные значения a, при каждом из которых система
(|x| − 26)2 + (y − 9)2 = 64(x + 14)2 + y2 = a2
имеет единственное решение.
(|x| − 26)2 + (y − 9)2 = 64(x + 14)2 + y2 = a2
имеет единственное решение.
Показать ответ
{7} ∪ {23} ∪ {33} ∪ {49}
Решение
При x ≥ 0 первая строка — окружность с центром O1(26; 9) и радиусом 8, при x ≤ 0 — окружность с центром O2(−26; 9) и тем же радиусом; так как 8 < 26, каждая целиком лежит в своей полуплоскости, то есть первая строка задаёт ровно эти две окружности.
Вторая строка — окружность с центром C(−14; 0) и радиусом a.
Расстояния от C до центров: CO2 = = 15 и CO1 = = 41.
С каждой из окружностей радиуса 8 окружность радиуса a имеет две общие точки при |d − a| < 8 < d + a и одну при касании (a = d ± 8).
Единственное решение всей системы — когда касание есть с одной окружностью, а со второй общих точек нет.
Ответ: {7} ∪ {23} ∪ {33} ∪ {49}.
Вторая строка — окружность с центром C(−14; 0) и радиусом a.
Расстояния от C до центров: CO2 = = 15 и CO1 = = 41.
С каждой из окружностей радиуса 8 окружность радиуса a имеет две общие точки при |d − a| < 8 < d + a и одну при касании (a = d ± 8).
Единственное решение всей системы — когда касание есть с одной окружностью, а со второй общих точек нет.
Ответ: {7} ∪ {23} ∪ {33} ∪ {49}.
Пример 3
Найдите все положительные значения a, при каждом из которых система
(|x| − 28)2 + (y − 15)2 = 9(x + 8)2 + y2 = a2
имеет единственное решение.
(|x| − 28)2 + (y − 15)2 = 9(x + 8)2 + y2 = a2
имеет единственное решение.
Показать ответ
{22} ∪ {28} ∪ {36} ∪ {42}
Решение
При x ≥ 0 первая строка — окружность с центром O1(28; 15) и радиусом 3, при x ≤ 0 — окружность с центром O2(−28; 15) и тем же радиусом; так как 3 < 28, каждая целиком лежит в своей полуплоскости, то есть первая строка задаёт ровно эти две окружности.
Вторая строка — окружность с центром C(−8; 0) и радиусом a.
Расстояния от C до центров: CO2 = = 25 и CO1 = = 39.
С каждой из окружностей радиуса 3 окружность радиуса a имеет две общие точки при |d − a| < 3 < d + a и одну при касании (a = d ± 3).
Единственное решение всей системы — когда касание есть с одной окружностью, а со второй общих точек нет.
Ответ: {22} ∪ {28} ∪ {36} ∪ {42}.
Вторая строка — окружность с центром C(−8; 0) и радиусом a.
Расстояния от C до центров: CO2 = = 25 и CO1 = = 39.
С каждой из окружностей радиуса 3 окружность радиуса a имеет две общие точки при |d − a| < 3 < d + a и одну при касании (a = d ± 3).
Единственное решение всей системы — когда касание есть с одной окружностью, а со второй общих точек нет.
Ответ: {22} ∪ {28} ∪ {36} ∪ {42}.
Пример 4
Найдите все положительные значения a, при каждом из которых система
(|x| − 22)2 + (y − 15)2 = 36(x + 14)2 + y2 = a2
имеет единственное решение.
(|x| − 22)2 + (y − 15)2 = 36(x + 14)2 + y2 = a2
имеет единственное решение.
Показать ответ
{11} ∪ {23} ∪ {33} ∪ {45}
Решение
При x ≥ 0 первая строка — окружность с центром O1(22; 15) и радиусом 6, при x ≤ 0 — окружность с центром O2(−22; 15) и тем же радиусом; так как 6 < 22, каждая целиком лежит в своей полуплоскости, то есть первая строка задаёт ровно эти две окружности.
Вторая строка — окружность с центром C(−14; 0) и радиусом a.
Расстояния от C до центров: CO2 = = 17 и CO1 = = 39.
С каждой из окружностей радиуса 6 окружность радиуса a имеет две общие точки при |d − a| < 6 < d + a и одну при касании (a = d ± 6).
Единственное решение всей системы — когда касание есть с одной окружностью, а со второй общих точек нет.
Ответ: {11} ∪ {23} ∪ {33} ∪ {45}.
Вторая строка — окружность с центром C(−14; 0) и радиусом a.
Расстояния от C до центров: CO2 = = 17 и CO1 = = 39.
С каждой из окружностей радиуса 6 окружность радиуса a имеет две общие точки при |d − a| < 6 < d + a и одну при касании (a = d ± 6).
Единственное решение всей системы — когда касание есть с одной окружностью, а со второй общих точек нет.
Ответ: {11} ∪ {23} ∪ {33} ∪ {45}.
Пример 5
Найдите все положительные значения a, при каждом из которых система
(|x| − 22)2 + (y − 15)2 = 64(x + 14)2 + y2 = a2
имеет единственное решение.
(|x| − 22)2 + (y − 15)2 = 64(x + 14)2 + y2 = a2
имеет единственное решение.
Показать ответ
{9} ∪ {25} ∪ {31} ∪ {47}
Решение
При x ≥ 0 первая строка — окружность с центром O1(22; 15) и радиусом 8, при x ≤ 0 — окружность с центром O2(−22; 15) и тем же радиусом; так как 8 < 22, каждая целиком лежит в своей полуплоскости, то есть первая строка задаёт ровно эти две окружности.
Вторая строка — окружность с центром C(−14; 0) и радиусом a.
Расстояния от C до центров: CO2 = = 17 и CO1 = = 39.
С каждой из окружностей радиуса 8 окружность радиуса a имеет две общие точки при |d − a| < 8 < d + a и одну при касании (a = d ± 8).
Единственное решение всей системы — когда касание есть с одной окружностью, а со второй общих точек нет.
Ответ: {9} ∪ {25} ∪ {31} ∪ {47}.
Вторая строка — окружность с центром C(−14; 0) и радиусом a.
Расстояния от C до центров: CO2 = = 17 и CO1 = = 39.
С каждой из окружностей радиуса 8 окружность радиуса a имеет две общие точки при |d − a| < 8 < d + a и одну при касании (a = d ± 8).
Единственное решение всей системы — когда касание есть с одной окружностью, а со второй общих точек нет.
Ответ: {9} ∪ {25} ∪ {31} ∪ {47}.
Другие темы задания №19
1Линейный знаменатель: (k²x²−a²)/(px−q−ra) = 02Разность квадратов внизу: (k²x²−a²)/((x+m)²−a²) = 03Параметр в свободном члене: (x²−2mx+a)/((kx−a)(x−a)) = 04(ca−x²+bx)/(x−a²) = 0 — полюс x = a², кубическое уравнение выкалываний5Полюсы ±√a: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²−a) = 06Раскладывающийся знаменатель: (x²−2mx+a²+2ta)/((kx+a)(x−a)) = 07Выкалывания через резольвенту: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²+px−qa) = 08Параметр в обеих частях: (x²+2ux−ca)/(x²−2vx+a²−2wa) = 09Модуль в числителе: (|kx|−x−c−a)/(x²−px−qa) = 010Модуль и a² внизу: (|kx−b|+ra−b)/(x²−2mx+a²) = 011Промежуток области определения: (x²−a(a−1)x−a³)/√(квадратный) = 012(x²−2mx+a²)/√((a+b−x)(a−c+x)) = 0 на отрезке
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.