Единственный корень: bˣ − a = √(b²ˣ−ka+m) — задание 19 ЕГЭ по профильной математике
Иррациональные уравнения. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
2x − a =
имеет единственный корень.
2x − a =
имеет единственный корень.
Показать ответ
(−18; 0) ∪ [6; 9]
Решение
Обозначим t = 2x > 0; каждому t > 0 отвечает ровно один x = log2t. Левая часть t − a обязана быть неотрицательной.
После возведения в квадрат t2 сокращается: −15a + 54 = −2at + a2, то есть 2at = a2 + 15a − 54.
При a = 0 это даёт −54 = 0 — неверно, значит a ≠ 0 и t = a2 + 15a − 542a.
Осталось два условия: t > 0 и t − a = −(a2 − 15a + 54)2a ≥ 0. Оба числителя раскладываются на линейные множители, и метод интервалов даёт ответ.
Ответ: (−18; 0) ∪ [6; 9].
После возведения в квадрат t2 сокращается: −15a + 54 = −2at + a2, то есть 2at = a2 + 15a − 54.
При a = 0 это даёт −54 = 0 — неверно, значит a ≠ 0 и t = a2 + 15a − 542a.
Осталось два условия: t > 0 и t − a = −(a2 − 15a + 54)2a ≥ 0. Оба числителя раскладываются на линейные множители, и метод интервалов даёт ответ.
Ответ: (−18; 0) ∪ [6; 9].
Пример 2
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
2x − a =
имеет единственный корень.
2x − a =
имеет единственный корень.
Показать ответ
(−21; −4) ∪ (0; 28]
Решение
Обозначим t = 2x > 0; каждому t > 0 отвечает ровно один x = log2t. Левая часть t − a обязана быть неотрицательной.
После возведения в квадрат t2 сокращается: −25a − 84 = −2at + a2, то есть 2at = a2 + 25a + 84.
При a = 0 это даёт 84 = 0 — неверно, значит a ≠ 0 и t = a2 + 25a + 842a.
Осталось два условия: t > 0 и t − a = −(a2 − 25a − 84)2a ≥ 0. Оба числителя раскладываются на линейные множители, и метод интервалов даёт ответ.
Ответ: (−21; −4) ∪ (0; 28].
После возведения в квадрат t2 сокращается: −25a − 84 = −2at + a2, то есть 2at = a2 + 25a + 84.
При a = 0 это даёт 84 = 0 — неверно, значит a ≠ 0 и t = a2 + 25a + 842a.
Осталось два условия: t > 0 и t − a = −(a2 − 25a − 84)2a ≥ 0. Оба числителя раскладываются на линейные множители, и метод интервалов даёт ответ.
Ответ: (−21; −4) ∪ (0; 28].
Пример 3
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
3x − a =
имеет единственный корень.
3x − a =
имеет единственный корень.
Показать ответ
(−6; 0) ∪ [2; 3]
Решение
Обозначим t = 3x > 0; каждому t > 0 отвечает ровно один x = log3t. Левая часть t − a обязана быть неотрицательной.
После возведения в квадрат t2 сокращается: −5a + 6 = −2at + a2, то есть 2at = a2 + 5a − 6.
При a = 0 это даёт −6 = 0 — неверно, значит a ≠ 0 и t = a2 + 5a − 62a.
Осталось два условия: t > 0 и t − a = −(a2 − 5a + 6)2a ≥ 0. Оба числителя раскладываются на линейные множители, и метод интервалов даёт ответ.
Ответ: (−6; 0) ∪ [2; 3].
После возведения в квадрат t2 сокращается: −5a + 6 = −2at + a2, то есть 2at = a2 + 5a − 6.
При a = 0 это даёт −6 = 0 — неверно, значит a ≠ 0 и t = a2 + 5a − 62a.
Осталось два условия: t > 0 и t − a = −(a2 − 5a + 6)2a ≥ 0. Оба числителя раскладываются на линейные множители, и метод интервалов даёт ответ.
Ответ: (−6; 0) ∪ [2; 3].
Пример 4
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
3x − a =
имеет единственный корень.
3x − a =
имеет единственный корень.
Показать ответ
(−15; −10) ∪ (0; 30]
Решение
Обозначим t = 3x > 0; каждому t > 0 отвечает ровно один x = log3t. Левая часть t − a обязана быть неотрицательной.
После возведения в квадрат t2 сокращается: −25a − 150 = −2at + a2, то есть 2at = a2 + 25a + 150.
При a = 0 это даёт 150 = 0 — неверно, значит a ≠ 0 и t = a2 + 25a + 1502a.
Осталось два условия: t > 0 и t − a = −(a2 − 25a − 150)2a ≥ 0. Оба числителя раскладываются на линейные множители, и метод интервалов даёт ответ.
Ответ: (−15; −10) ∪ (0; 30].
После возведения в квадрат t2 сокращается: −25a − 150 = −2at + a2, то есть 2at = a2 + 25a + 150.
При a = 0 это даёт 150 = 0 — неверно, значит a ≠ 0 и t = a2 + 25a + 1502a.
Осталось два условия: t > 0 и t − a = −(a2 − 25a − 150)2a ≥ 0. Оба числителя раскладываются на линейные множители, и метод интервалов даёт ответ.
Ответ: (−15; −10) ∪ (0; 30].
Пример 5
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
5x − a =
имеет единственный корень.
5x − a =
имеет единственный корень.
Показать ответ
(−15; −10) ∪ (0; 30]
Решение
Обозначим t = 5x > 0; каждому t > 0 отвечает ровно один x = log5t. Левая часть t − a обязана быть неотрицательной.
После возведения в квадрат t2 сокращается: −25a − 150 = −2at + a2, то есть 2at = a2 + 25a + 150.
При a = 0 это даёт 150 = 0 — неверно, значит a ≠ 0 и t = a2 + 25a + 1502a.
Осталось два условия: t > 0 и t − a = −(a2 − 25a − 150)2a ≥ 0. Оба числителя раскладываются на линейные множители, и метод интервалов даёт ответ.
Ответ: (−15; −10) ∪ (0; 30].
После возведения в квадрат t2 сокращается: −25a − 150 = −2at + a2, то есть 2at = a2 + 25a + 150.
При a = 0 это даёт 150 = 0 — неверно, значит a ≠ 0 и t = a2 + 25a + 1502a.
Осталось два условия: t > 0 и t − a = −(a2 − 25a − 150)2a ≥ 0. Оба числителя раскладываются на линейные множители, и метод интервалов даёт ответ.
Ответ: (−15; −10) ∪ (0; 30].
Другие темы задания №19
1Линейный знаменатель: (k²x²−a²)/(px−q−ra) = 02Разность квадратов внизу: (k²x²−a²)/((x+m)²−a²) = 03Параметр в свободном члене: (x²−2mx+a)/((kx−a)(x−a)) = 04(ca−x²+bx)/(x−a²) = 0 — полюс x = a², кубическое уравнение выкалываний5Полюсы ±√a: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²−a) = 06Раскладывающийся знаменатель: (x²−2mx+a²+2ta)/((kx+a)(x−a)) = 07Выкалывания через резольвенту: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²+px−qa) = 08Параметр в обеих частях: (x²+2ux−ca)/(x²−2vx+a²−2wa) = 09Модуль в числителе: (|kx|−x−c−a)/(x²−px−qa) = 010Модуль и a² внизу: (|kx−b|+ra−b)/(x²−2mx+a²) = 011Промежуток области определения: (x²−a(a−1)x−a³)/√(квадратный) = 012(x²−2mx+a²)/√((a+b−x)(a−c+x)) = 0 на отрезке
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.