Единственный корень: |sin²x+k·cos x+a| = sin²x+m·cos x−a — задание 19 ЕГЭ по профильной математике
Тригонометрия с параметром. 4 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
|sin2x + 5cos x + a| = sin2x − 2cos x − a
имеет единственный корень на промежутке π2; π.
|sin2x + 5cos x + a| = sin2x − 2cos x − a
имеет единственный корень на промежутке π2; π.
Показать ответ
(−∞; 0] ∪ {7/4}
Решение
На промежутке (π/2; π] косинус строго убывает, поэтому u = cos x пробегает [−1; 0) и каждому такому u отвечает ровно один x.
Заменим sin2x = 1 − u2 и обозначим A = 1 − u2 + 5u + a, B = 1 − u2 − 2u − a. Равенство |A| = B требует B ≥ 0 и A = B либо A = −B.
Из A = B получаем 7u = −2a, то есть u = −2/7a.
Из A = −B получаем 2u2 − 3u − 2 = 0, то есть u = 2 (не подходит) или u = −0,5.
Осталось потребовать B ≥ 0 для каждого из кандидатов и не забыть, что при a = 7/4 они совпадают.
Ответ: (−∞; 0] ∪ {7/4}.
Заменим sin2x = 1 − u2 и обозначим A = 1 − u2 + 5u + a, B = 1 − u2 − 2u − a. Равенство |A| = B требует B ≥ 0 и A = B либо A = −B.
Из A = B получаем 7u = −2a, то есть u = −2/7a.
Из A = −B получаем 2u2 − 3u − 2 = 0, то есть u = 2 (не подходит) или u = −0,5.
Осталось потребовать B ≥ 0 для каждого из кандидатов и не забыть, что при a = 7/4 они совпадают.
Ответ: (−∞; 0] ∪ {7/4}.
Пример 2
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
|sin2x + 4cos x + a| = sin2x − cos x − a
имеет единственный корень на промежутке π2; π.
|sin2x + 4cos x + a| = sin2x − cos x − a
имеет единственный корень на промежутке π2; π.
Показать ответ
(−∞; 0] ∪ {5/4}
Решение
На промежутке (π/2; π] косинус строго убывает, поэтому u = cos x пробегает [−1; 0) и каждому такому u отвечает ровно один x.
Заменим sin2x = 1 − u2 и обозначим A = 1 − u2 + 4u + a, B = 1 − u2 − u − a. Равенство |A| = B требует B ≥ 0 и A = B либо A = −B.
Из A = B получаем 5u = −2a, то есть u = −2/5a.
Из A = −B получаем 2u2 − 3u − 2 = 0, то есть u = 2 (не подходит) или u = −0,5.
Осталось потребовать B ≥ 0 для каждого из кандидатов и не забыть, что при a = 5/4 они совпадают.
Ответ: (−∞; 0] ∪ {5/4}.
Заменим sin2x = 1 − u2 и обозначим A = 1 − u2 + 4u + a, B = 1 − u2 − u − a. Равенство |A| = B требует B ≥ 0 и A = B либо A = −B.
Из A = B получаем 5u = −2a, то есть u = −2/5a.
Из A = −B получаем 2u2 − 3u − 2 = 0, то есть u = 2 (не подходит) или u = −0,5.
Осталось потребовать B ≥ 0 для каждого из кандидатов и не забыть, что при a = 5/4 они совпадают.
Ответ: (−∞; 0] ∪ {5/4}.
Пример 3
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
|sin2x + 3cos x + a| = sin2x − a
имеет единственный корень на промежутке π2; π.
|sin2x + 3cos x + a| = sin2x − a
имеет единственный корень на промежутке π2; π.
Показать ответ
(−∞; 0] ∪ {3/4}
Решение
На промежутке (π/2; π] косинус строго убывает, поэтому u = cos x пробегает [−1; 0) и каждому такому u отвечает ровно один x.
Заменим sin2x = 1 − u2 и обозначим A = 1 − u2 + 3u + a, B = 1 − u2 − a. Равенство |A| = B требует B ≥ 0 и A = B либо A = −B.
Из A = B получаем 3u = −2a, то есть u = −2/3a.
Из A = −B получаем 2u2 − 3u − 2 = 0, то есть u = 2 (не подходит) или u = −0,5.
Осталось потребовать B ≥ 0 для каждого из кандидатов и не забыть, что при a = 3/4 они совпадают.
Ответ: (−∞; 0] ∪ {3/4}.
Заменим sin2x = 1 − u2 и обозначим A = 1 − u2 + 3u + a, B = 1 − u2 − a. Равенство |A| = B требует B ≥ 0 и A = B либо A = −B.
Из A = B получаем 3u = −2a, то есть u = −2/3a.
Из A = −B получаем 2u2 − 3u − 2 = 0, то есть u = 2 (не подходит) или u = −0,5.
Осталось потребовать B ≥ 0 для каждого из кандидатов и не забыть, что при a = 3/4 они совпадают.
Ответ: (−∞; 0] ∪ {3/4}.
Пример 4
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
|sin2x + 2cos x + a| = sin2x + cos x − a
имеет единственный корень на промежутке π2; π.
|sin2x + 2cos x + a| = sin2x + cos x − a
имеет единственный корень на промежутке π2; π.
Показать ответ
(−∞; 0] ∪ {1/4}
Решение
На промежутке (π/2; π] косинус строго убывает, поэтому u = cos x пробегает [−1; 0) и каждому такому u отвечает ровно один x.
Заменим sin2x = 1 − u2 и обозначим A = 1 − u2 + 2u + a, B = 1 − u2 + u − a. Равенство |A| = B требует B ≥ 0 и A = B либо A = −B.
Из A = B получаем u = −2a, то есть u = −2a.
Из A = −B получаем 2u2 − 3u − 2 = 0, то есть u = 2 (не подходит) или u = −0,5.
Осталось потребовать B ≥ 0 для каждого из кандидатов и не забыть, что при a = 1/4 они совпадают.
Ответ: (−∞; 0] ∪ {1/4}.
Заменим sin2x = 1 − u2 и обозначим A = 1 − u2 + 2u + a, B = 1 − u2 + u − a. Равенство |A| = B требует B ≥ 0 и A = B либо A = −B.
Из A = B получаем u = −2a, то есть u = −2a.
Из A = −B получаем 2u2 − 3u − 2 = 0, то есть u = 2 (не подходит) или u = −0,5.
Осталось потребовать B ≥ 0 для каждого из кандидатов и не забыть, что при a = 1/4 они совпадают.
Ответ: (−∞; 0] ∪ {1/4}.
Другие темы задания №19
1Линейный знаменатель: (k²x²−a²)/(px−q−ra) = 02Разность квадратов внизу: (k²x²−a²)/((x+m)²−a²) = 03Параметр в свободном члене: (x²−2mx+a)/((kx−a)(x−a)) = 04(ca−x²+bx)/(x−a²) = 0 — полюс x = a², кубическое уравнение выкалываний5Полюсы ±√a: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²−a) = 06Раскладывающийся знаменатель: (x²−2mx+a²+2ta)/((kx+a)(x−a)) = 07Выкалывания через резольвенту: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²+px−qa) = 08Параметр в обеих частях: (x²+2ux−ca)/(x²−2vx+a²−2wa) = 09Модуль в числителе: (|kx|−x−c−a)/(x²−px−qa) = 010Модуль и a² внизу: (|kx−b|+ra−b)/(x²−2mx+a²) = 011Промежуток области определения: (x²−a(a−1)x−a³)/√(квадратный) = 012(x²−2mx+a²)/√((a+b−x)(a−c+x)) = 0 на отрезке
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.