Единственный корень: x²+(p−a)² = |x−a+p|+|x+a−p| — задание 19 ЕГЭ по профильной математике
Окружность и семейство кривых; два модуля. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
x2 + (4 − a)2 = 3|x − a + 4| + 3|x + a − 4|
имеет единственный корень.
x2 + (4 − a)2 = 3|x − a + 4| + 3|x + a − 4|
имеет единственный корень.
Показать ответ
{−2} ∪ {10}
Решение
Обозначим t = a − 4. Правая часть равна 3(|x − t| + |x + t|) = 6·max(|x|; |t|), а левая — x2 + t2.
Уравнение чётно и по x, и по t, поэтому положим u = |x| ≥ 0, v = |t| ≥ 0: u2 + v2 = 6·max(u; v). Каждое u > 0 даёт два корня x = ±u, а u = 0 — один.
При u ≤ v получаем u2 = 6v − v2 (годится, если правая часть неотрицательна и не больше v2), при u > v — u2 − 6u + v2 = 0.
Единственный корень возможен только когда корень — это x = 0 и других нет: 6v = v2, то есть v = 6 (при v = 0 добавляются ещё x = ±6).
Значит |a − 4| = 6.
Ответ: {−2} ∪ {10}.
Уравнение чётно и по x, и по t, поэтому положим u = |x| ≥ 0, v = |t| ≥ 0: u2 + v2 = 6·max(u; v). Каждое u > 0 даёт два корня x = ±u, а u = 0 — один.
При u ≤ v получаем u2 = 6v − v2 (годится, если правая часть неотрицательна и не больше v2), при u > v — u2 − 6u + v2 = 0.
Единственный корень возможен только когда корень — это x = 0 и других нет: 6v = v2, то есть v = 6 (при v = 0 добавляются ещё x = ±6).
Значит |a − 4| = 6.
Ответ: {−2} ∪ {10}.
Пример 2
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
x2 + (2 − a)2 = |x − a + 2| + |x + a − 2|
имеет единственный корень.
x2 + (2 − a)2 = |x − a + 2| + |x + a − 2|
имеет единственный корень.
Показать ответ
{0} ∪ {4}
Решение
Обозначим t = a − 2. Правая часть равна (|x − t| + |x + t|) = 2·max(|x|; |t|), а левая — x2 + t2.
Уравнение чётно и по x, и по t, поэтому положим u = |x| ≥ 0, v = |t| ≥ 0: u2 + v2 = 2·max(u; v). Каждое u > 0 даёт два корня x = ±u, а u = 0 — один.
При u ≤ v получаем u2 = 2v − v2 (годится, если правая часть неотрицательна и не больше v2), при u > v — u2 − 2u + v2 = 0.
Единственный корень возможен только когда корень — это x = 0 и других нет: 2v = v2, то есть v = 2 (при v = 0 добавляются ещё x = ±2).
Значит |a − 2| = 2.
Ответ: {0} ∪ {4}.
Уравнение чётно и по x, и по t, поэтому положим u = |x| ≥ 0, v = |t| ≥ 0: u2 + v2 = 2·max(u; v). Каждое u > 0 даёт два корня x = ±u, а u = 0 — один.
При u ≤ v получаем u2 = 2v − v2 (годится, если правая часть неотрицательна и не больше v2), при u > v — u2 − 2u + v2 = 0.
Единственный корень возможен только когда корень — это x = 0 и других нет: 2v = v2, то есть v = 2 (при v = 0 добавляются ещё x = ±2).
Значит |a − 2| = 2.
Ответ: {0} ∪ {4}.
Пример 3
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
x2 + (1 − a)2 = 3|x − a + 1| + 3|x + a − 1|
имеет единственный корень.
x2 + (1 − a)2 = 3|x − a + 1| + 3|x + a − 1|
имеет единственный корень.
Показать ответ
{−5} ∪ {7}
Решение
Обозначим t = a − 1. Правая часть равна 3(|x − t| + |x + t|) = 6·max(|x|; |t|), а левая — x2 + t2.
Уравнение чётно и по x, и по t, поэтому положим u = |x| ≥ 0, v = |t| ≥ 0: u2 + v2 = 6·max(u; v). Каждое u > 0 даёт два корня x = ±u, а u = 0 — один.
При u ≤ v получаем u2 = 6v − v2 (годится, если правая часть неотрицательна и не больше v2), при u > v — u2 − 6u + v2 = 0.
Единственный корень возможен только когда корень — это x = 0 и других нет: 6v = v2, то есть v = 6 (при v = 0 добавляются ещё x = ±6).
Значит |a − 1| = 6.
Ответ: {−5} ∪ {7}.
Уравнение чётно и по x, и по t, поэтому положим u = |x| ≥ 0, v = |t| ≥ 0: u2 + v2 = 6·max(u; v). Каждое u > 0 даёт два корня x = ±u, а u = 0 — один.
При u ≤ v получаем u2 = 6v − v2 (годится, если правая часть неотрицательна и не больше v2), при u > v — u2 − 6u + v2 = 0.
Единственный корень возможен только когда корень — это x = 0 и других нет: 6v = v2, то есть v = 6 (при v = 0 добавляются ещё x = ±6).
Значит |a − 1| = 6.
Ответ: {−5} ∪ {7}.
Пример 4
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
x2 + (4 − a)2 = 2|x − a + 4| + 2|x + a − 4|
имеет единственный корень.
x2 + (4 − a)2 = 2|x − a + 4| + 2|x + a − 4|
имеет единственный корень.
Показать ответ
{0} ∪ {8}
Решение
Обозначим t = a − 4. Правая часть равна 2(|x − t| + |x + t|) = 4·max(|x|; |t|), а левая — x2 + t2.
Уравнение чётно и по x, и по t, поэтому положим u = |x| ≥ 0, v = |t| ≥ 0: u2 + v2 = 4·max(u; v). Каждое u > 0 даёт два корня x = ±u, а u = 0 — один.
При u ≤ v получаем u2 = 4v − v2 (годится, если правая часть неотрицательна и не больше v2), при u > v — u2 − 4u + v2 = 0.
Единственный корень возможен только когда корень — это x = 0 и других нет: 4v = v2, то есть v = 4 (при v = 0 добавляются ещё x = ±4).
Значит |a − 4| = 4.
Ответ: {0} ∪ {8}.
Уравнение чётно и по x, и по t, поэтому положим u = |x| ≥ 0, v = |t| ≥ 0: u2 + v2 = 4·max(u; v). Каждое u > 0 даёт два корня x = ±u, а u = 0 — один.
При u ≤ v получаем u2 = 4v − v2 (годится, если правая часть неотрицательна и не больше v2), при u > v — u2 − 4u + v2 = 0.
Единственный корень возможен только когда корень — это x = 0 и других нет: 4v = v2, то есть v = 4 (при v = 0 добавляются ещё x = ±4).
Значит |a − 4| = 4.
Ответ: {0} ∪ {8}.
Пример 5
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
x2 + (5 − a)2 = |x − a + 5| + |x + a − 5|
имеет единственный корень.
x2 + (5 − a)2 = |x − a + 5| + |x + a − 5|
имеет единственный корень.
Показать ответ
{3} ∪ {7}
Решение
Обозначим t = a − 5. Правая часть равна (|x − t| + |x + t|) = 2·max(|x|; |t|), а левая — x2 + t2.
Уравнение чётно и по x, и по t, поэтому положим u = |x| ≥ 0, v = |t| ≥ 0: u2 + v2 = 2·max(u; v). Каждое u > 0 даёт два корня x = ±u, а u = 0 — один.
При u ≤ v получаем u2 = 2v − v2 (годится, если правая часть неотрицательна и не больше v2), при u > v — u2 − 2u + v2 = 0.
Единственный корень возможен только когда корень — это x = 0 и других нет: 2v = v2, то есть v = 2 (при v = 0 добавляются ещё x = ±2).
Значит |a − 5| = 2.
Ответ: {3} ∪ {7}.
Уравнение чётно и по x, и по t, поэтому положим u = |x| ≥ 0, v = |t| ≥ 0: u2 + v2 = 2·max(u; v). Каждое u > 0 даёт два корня x = ±u, а u = 0 — один.
При u ≤ v получаем u2 = 2v − v2 (годится, если правая часть неотрицательна и не больше v2), при u > v — u2 − 2u + v2 = 0.
Единственный корень возможен только когда корень — это x = 0 и других нет: 2v = v2, то есть v = 2 (при v = 0 добавляются ещё x = ±2).
Значит |a − 5| = 2.
Ответ: {3} ∪ {7}.
Другие темы задания №19
1Линейный знаменатель: (k²x²−a²)/(px−q−ra) = 02Разность квадратов внизу: (k²x²−a²)/((x+m)²−a²) = 03Параметр в свободном члене: (x²−2mx+a)/((kx−a)(x−a)) = 04(ca−x²+bx)/(x−a²) = 0 — полюс x = a², кубическое уравнение выкалываний5Полюсы ±√a: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²−a) = 06Раскладывающийся знаменатель: (x²−2mx+a²+2ta)/((kx+a)(x−a)) = 07Выкалывания через резольвенту: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²+px−qa) = 08Параметр в обеих частях: (x²+2ux−ca)/(x²−2vx+a²−2wa) = 09Модуль в числителе: (|kx|−x−c−a)/(x²−px−qa) = 010Модуль и a² внизу: (|kx−b|+ra−b)/(x²−2mx+a²) = 011Промежуток области определения: (x²−a(a−1)x−a³)/√(квадратный) = 012(x²−2mx+a²)/√((a+b−x)(a−c+x)) = 0 на отрезке
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.