Есть решение < C: |log₀,₅(x²)−a| − |log₀,₅x+ma| = (log₀,₅x)² — задание 19 ЕГЭ по профильной математике
Модули на полупрямой: |kt−a|−|t+ma| = t². 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
|log0,5(x2) − a| − |log0,5x + 3a| = (log0,5x)2
имеет хотя бы одно решение, меньшее 0,5.
|log0,5(x2) − a| − |log0,5x + 3a| = (log0,5x)2
имеет хотя бы одно решение, меньшее 0,5.
Показать ответ
[−9/8; 0)
Решение
ОДЗ: x > 0. Обозначим t = log0,5x; тогда log0,5(x2) = 2t, а условие x < 0,5 равносильно t > 1 (логарифм по основанию 0,5 убывает).
Уравнение принимает вид |2t − a| − |t + 3a| = t2.
Модули меняют знак в точках t = a2 и t = −3a; между ними уравнение квадратное, поэтому достаточно на каждом куске полупрямой (1; +∞) посчитать корни и проверить, остался ли хоть один.
Ответ: [−9/8; 0).
Уравнение принимает вид |2t − a| − |t + 3a| = t2.
Модули меняют знак в точках t = a2 и t = −3a; между ними уравнение квадратное, поэтому достаточно на каждом куске полупрямой (1; +∞) посчитать корни и проверить, остался ли хоть один.
Ответ: [−9/8; 0).
Пример 2
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
|log0,5(x2) − a| − |log0,5x + a| = (log0,5x)2
имеет хотя бы одно решение, меньшее 1.
|log0,5(x2) − a| − |log0,5x + a| = (log0,5x)2
имеет хотя бы одно решение, меньшее 1.
Показать ответ
(−∞; 1/8]
Решение
ОДЗ: x > 0. Обозначим t = log0,5x; тогда log0,5(x2) = 2t, а условие x < 1 равносильно t > 0 (логарифм по основанию 0,5 убывает).
Уравнение принимает вид |2t − a| − |t + a| = t2.
Модули меняют знак в точках t = a2 и t = −a; между ними уравнение квадратное, поэтому достаточно на каждом куске полупрямой (0; +∞) посчитать корни и проверить, остался ли хоть один.
Ответ: (−∞; 1/8].
Уравнение принимает вид |2t − a| − |t + a| = t2.
Модули меняют знак в точках t = a2 и t = −a; между ними уравнение квадратное, поэтому достаточно на каждом куске полупрямой (0; +∞) посчитать корни и проверить, остался ли хоть один.
Ответ: (−∞; 1/8].
Пример 3
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
|log0,5(x2) − a| − |log0,5x + 2a| = (log0,5x)2
имеет хотя бы одно решение, меньшее 1.
|log0,5(x2) − a| − |log0,5x + 2a| = (log0,5x)2
имеет хотя бы одно решение, меньшее 1.
Показать ответ
[−9/4; 1/12]
Решение
ОДЗ: x > 0. Обозначим t = log0,5x; тогда log0,5(x2) = 2t, а условие x < 1 равносильно t > 0 (логарифм по основанию 0,5 убывает).
Уравнение принимает вид |2t − a| − |t + 2a| = t2.
Модули меняют знак в точках t = a2 и t = −2a; между ними уравнение квадратное, поэтому достаточно на каждом куске полупрямой (0; +∞) посчитать корни и проверить, остался ли хоть один.
Ответ: [−9/4; 1/12].
Уравнение принимает вид |2t − a| − |t + 2a| = t2.
Модули меняют знак в точках t = a2 и t = −2a; между ними уравнение квадратное, поэтому достаточно на каждом куске полупрямой (0; +∞) посчитать корни и проверить, остался ли хоть один.
Ответ: [−9/4; 1/12].
Пример 4
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
|log0,5(x2) − a| − |log0,5x + 2a| = (log0,5x)2
имеет хотя бы одно решение, меньшее 4.
|log0,5(x2) − a| − |log0,5x + 2a| = (log0,5x)2
имеет хотя бы одно решение, меньшее 4.
Показать ответ
[−9/4; 9/4]
Решение
ОДЗ: x > 0. Обозначим t = log0,5x; тогда log0,5(x2) = 2t, а условие x < 4 равносильно t > −2 (логарифм по основанию 0,5 убывает).
Уравнение принимает вид |2t − a| − |t + 2a| = t2.
Модули меняют знак в точках t = a2 и t = −2a; между ними уравнение квадратное, поэтому достаточно на каждом куске полупрямой (−2; +∞) посчитать корни и проверить, остался ли хоть один.
Ответ: [−9/4; 9/4].
Уравнение принимает вид |2t − a| − |t + 2a| = t2.
Модули меняют знак в точках t = a2 и t = −2a; между ними уравнение квадратное, поэтому достаточно на каждом куске полупрямой (−2; +∞) посчитать корни и проверить, остался ли хоть один.
Ответ: [−9/4; 9/4].
Пример 5
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
|log0,5(x2) − a| − |log0,5x + 3a| = (log0,5x)2
имеет хотя бы одно решение, меньшее 4.
|log0,5(x2) − a| − |log0,5x + 3a| = (log0,5x)2
имеет хотя бы одно решение, меньшее 4.
Показать ответ
[−9/8; 9/8]
Решение
ОДЗ: x > 0. Обозначим t = log0,5x; тогда log0,5(x2) = 2t, а условие x < 4 равносильно t > −2 (логарифм по основанию 0,5 убывает).
Уравнение принимает вид |2t − a| − |t + 3a| = t2.
Модули меняют знак в точках t = a2 и t = −3a; между ними уравнение квадратное, поэтому достаточно на каждом куске полупрямой (−2; +∞) посчитать корни и проверить, остался ли хоть один.
Ответ: [−9/8; 9/8].
Уравнение принимает вид |2t − a| − |t + 3a| = t2.
Модули меняют знак в точках t = a2 и t = −3a; между ними уравнение квадратное, поэтому достаточно на каждом куске полупрямой (−2; +∞) посчитать корни и проверить, остался ли хоть один.
Ответ: [−9/8; 9/8].
Другие темы задания №19
1Линейный знаменатель: (k²x²−a²)/(px−q−ra) = 02Разность квадратов внизу: (k²x²−a²)/((x+m)²−a²) = 03Параметр в свободном члене: (x²−2mx+a)/((kx−a)(x−a)) = 04(ca−x²+bx)/(x−a²) = 0 — полюс x = a², кубическое уравнение выкалываний5Полюсы ±√a: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²−a) = 06Раскладывающийся знаменатель: (x²−2mx+a²+2ta)/((kx+a)(x−a)) = 07Выкалывания через резольвенту: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²+px−qa) = 08Параметр в обеих частях: (x²+2ux−ca)/(x²−2vx+a²−2wa) = 09Модуль в числителе: (|kx|−x−c−a)/(x²−px−qa) = 010Модуль и a² внизу: (|kx−b|+ra−b)/(x²−2mx+a²) = 011Промежуток области определения: (x²−a(a−1)x−a³)/√(квадратный) = 012(x²−2mx+a²)/√((a+b−x)(a−c+x)) = 0 на отрезке
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.